Wie berechne ich den differentiellen Wirkungsquerschnitt bezüglich des Querimpulses?

Question

Wie berechne ich den differentiellen Wirkungsquerschnitt bezüglich des Querimpulses?

Physik
Teilchenphysik
Large Hadron Collider
Streuquerschnitt

Shawn Hellmann

Erstmal Entschuldigung für mein Englisch, meine Muttersprache ist Deutsch.

Mein Problem ist: Ich habe das Matrixelement des Quark-Gluon-Compton-Prozesses (q+g -> gamma + q) berechnet. Mit der Kinematik der Streuung im Schwerpunktsystem konnte ich dsigma/dt berechnen. Dieser differentielle Wirkungsquerschnitt hängt nur von den Mandelstam-Variablen ab. Später sollte ich die Parton-Verteilungsfunktionen einbeziehen, um den differentiellen Wirkungsquerschnitt zu berechnen (mit einer Monte-Carlo-Simulation). Mein Endergebnis sollte der differentielle Querschnitt in Bezug auf den transversalen Impuls des direkten Photons sein.

Wie transformiere ich mein dsigma/dt in dsigma/dp, ohne die PDFs einzuschließen? Ich möchte wissen, wie ich diese Aufgabe im Allgemeinen erledige, bevor ich mit den PDFs herumspiele.

Danke euch allen!

Lubos Motl

Das Ergebnis hängt von den Mandelstam-Variablen ab, wie Sie geschrieben haben, aber sie sind es

s, t, u

$s,t,u$ und mindestens zwei davon

s, t

$s,t$ , sind unabhängig, oder? Also warum redest du nur

d t

$dt$ und nicht

d s

$ds$ ? Ich denke, dass Sie am Ende den Prozess auf Parton-Ebene berechnen, sodass PDF überhaupt nicht eingeht, wie Sie richtig oder optimistisch erwartet haben, und

s, t

$s,t$ ebenso gut wie

p, E

$p,E$ (?) beschreiben Eigenschaften der Elementarteilchen (und Partonen) und es gibt eine einfache Transformation von einigen Variablen zu anderen, oder?

Shawn Hellmann

Ich rede nur darüber

d t

$dt$ weil ich den differentiellen Querschnitt auf diese Weise abgeleitet habe. Die allgemeine Formel für ein 2->2-Körperstreuungsproblem lautet:

\frac{d σ}{d t} = \frac{1}{64 π s p_{i}^{2, *}} | M |^{2}

$\frac{d\sigma}{dt} =\frac{1}{64 \pi s p_i^{2,*}} |M|^2$ . Aber wie kann ich mich verwandeln

\frac{d σ}{d t}

$\frac{d\sigma}{dt}$ Zu

\frac{d σ}{d p_{t}}

$\frac{d\sigma}{dp_t}$ . Aber während ich diese Zeilen schrieb, kam mir eine Idee. Ich werde es ausprobieren. Danke für deine Antwort.

Shawn Hellmann

Okay, ich habe mehrere Methoden ausprobiert, aber ich habe keine Ahnung.

Antworten (1)

Wie berechne ich den differentiellen Wirkungsquerschnitt bezüglich des Querimpulses?

Das Ergebnis hängt von den Mandelstam-Variablen ab, wie Sie geschrieben haben, aber sie sind es $s,t,u$ und mindestens zwei davon $s,t$ , sind unabhängig, oder? Also warum redest du nur $dt$ und nicht $ds$ ? Ich denke, dass Sie am Ende den Prozess auf Parton-Ebene berechnen, sodass PDF überhaupt nicht eingeht, wie Sie richtig oder optimistisch erwartet haben, und $s,t$ ebenso gut wie $p,E$ (?) beschreiben Eigenschaften der Elementarteilchen (und Partonen) und es gibt eine einfache Transformation von einigen Variablen zu anderen, oder?
Ich rede nur darüber $dt$ weil ich den differentiellen Querschnitt auf diese Weise abgeleitet habe. Die allgemeine Formel für ein 2->2-Körperstreuungsproblem lautet: $\frac{d\sigma}{dt} =\frac{1}{64 \pi s p_i^{2,*}} |M|^2$ . Aber wie kann ich mich verwandeln $\frac{d\sigma}{dt}$ Zu $\frac{d\sigma}{dp_t}$ . Aber während ich diese Zeilen schrieb, kam mir eine Idee. Ich werde es ausprobieren. Danke für deine Antwort.
Okay, ich habe mehrere Methoden ausprobiert, aber ich habe keine Ahnung.

Lubos Motl · Answer 1

Der Prozess wird auf Parton-Ebene besprochen – sowohl in der Ausgangsform als auch in der gewünschten Form – sodass die Konvertierung nicht von PDFs abhängen kann.

Nun, die Mandelstam-Variable $t$ ist gleich

T = (P_{1}^{μ} - P_{3}^{μ})^{2} = M_{1}^{2} + M_{3}^{2} - 2 E_{1} E_{3} + 2 {\vec{P}}_{1} \cdot {\vec{P}}_{3}

$t = (p^\mu_1 - p^\mu_3)^2 = m_1^2+m_3^2 -2 E_1 E_3 +2 \vec p_1\cdot \vec p_3$ in der Metrikkonvention "meistens minus". Die Massen der Teilchen sind festgelegt und die Gesamtenergie ist durch den Anfangszustand gegeben. Wir müssen eine Beziehung zwischen finden

t

$t$ und der Querimpuls

p_{t}

$p_t$ und zwischen ihren Differentialen. Das Skalarprodukt der 3-Vektoren ist der Schlüssel zur Quer-/Längsaufspaltung:

{\vec{P}}_{1} \cdot {\vec{P}}_{3} = P_{1}^{L} P_{3}^{L} + {\vec{P}}_{1}^{T} \cdot {\vec{P}}_{3}^{T}

$\vec p_1\cdot \vec p_3 = p_1^L p_3^L + \vec p_1^T\cdot \vec p_3^T$ Der Ausgangszustand hat

{\vec{p}}_{1, 2}^{T} = 0

$\vec p^T_{1,2}=0$ Der zweite Term kann also entfallen. Andererseits ist die einzige streuwinkelabhängige Größe

P_{3}^{L} = \sqrt{P_{3, M A X}^{2} - (P_{3}^{T})^{2}}

$p_3^L = \sqrt{p_{3,\rm max}^2 - (p_3^T)^2}$ So

T = M_{1}^{2} + M_{3}^{2} - 2 E_{1} E_{3} + 2 P_{1}^{L} \sqrt{P_{3, M A X}^{2} - (P_{3}^{T})^{2}}

$t = m_1^2+m_3^2-2E_1E_3+2 p_1^L \sqrt{p_{3,\rm max}^2 - (p_3^T)^2}$ Dies ist eine Beziehung zwischen

t

$t$ Und

p^{T}

$p^T$ und Sie können es differenzieren, um die Beziehung zwischen zu finden

d t

$dt$ Und

d p^{T}

$dp^T$ . Es muss eine Menge uneinsichtiger Berechnungen durchgeführt werden, und ich denke, es sollte am Ende von Ihnen durchgeführt werden.

Ich kämpfe mit dem Verständnis der zweiten und dritten Gleichung. Woher kommen sie? Übrigens. Danke für deine Antwort.
@ShawnHellmann schreiben $\vec p_i=\vec p_i^L+\vec p_i^T$ mit $\vec p_i^L\cdot \vec p_j^T=0$ .
Okay, das habe ich versucht. Ich beziehe mich auf deine letzte Gleichung: $\frac{d\sigma}{d p_3^T} = \frac{d\sigma}{dt} \frac{dt}{dp_T^3}$ . Jetzt: $\frac{dt}{dp_T^3} = 2p_1^L \frac{1}{2 \sqrt{p_3^2-p_3^{T,2}}}\cdot (-2 p_3^T)$ . Aber das ist null, nicht wahr? Und warum kann ich ersetzen $p_3^L$ in deiner zweiten Gleichung. Es ist kein Vektor. Wie stelle ich das sicher $\vec p_1^L \vec p_3^L = p_1^L p_3^L$ hält?
Die letzte Gleichheit folgt tautologisch, denn wenn Sie die Längsteile der 3-Vektoren überhaupt als Vektoren definieren, handelt es sich um 1-dimensionale Vektoren, sodass das innere Produkt der Vektoren dasselbe ist wie das Produkt der "nur Komponenten". Nein, die Ableitung von $t$ gegenüber $p^T$ ist sicher nicht null.
ok, das ist jetzt klar. Aber wo ist mein Denkproblem? Hängt die Energie vom Impuls ab? Edit: oooohhh. Energie-Impuls-Beziehung der speziellen Relativitätstheorie. Funktioniert es dann?
Entschuldigung, Shawn, Sie könnten mich (oder jemand anderen) dazu zwingen, das gesamte Problem zu lösen, aber ich denke, wenn das passiert, könnte es nur zum Schummeln verwendet werden. Ich helfe dir nicht mehr wirklich. Sie sollten wirklich nicht versuchen, ähnlich komplexe Probleme wie die Parametrisierung des differentiellen Querschnitts zu lösen, bevor Sie sich neben anderen grundlegenderen Dingen sicher genug über die relativistischen Dispersionsbeziehungen sind. Bei all diesen 2-zu-2-Aufgaben gibt es vier gehorchende Momente $p^2=m^2$ mit dem offensichtlichen $m$ , und 4-Impulserhaltung gilt. Über diese Dinge muss man sich vor komplexeren Sachen sicher sein

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