Lösung für hyperbolische Geschwindigkeit

Nach einigen mathematischen Manipulationen fand ich schließlich eine tatsächliche Lösung, die die hyperbolische Anomalie nutzt$H$.

Im Folgenden,$e$ist die Exzentrizität der Umlaufbahn,$\nu$ist die wahre Anomalie und$a$ist die große Halbachse.

Voraussetzung: Beweisen$iH = E$in einer hyperbolischen Umlaufbahn

Dieser kleine Beweis soll nur zeigen, wie man die Gleichheit aus den bekannten Formeln der exzentrischen Anomalien herausholen kann.

• Für eine Ellipsenbahn ($e < 1$), die exzentrische Anomalie$E$ist definiert durch:

  $$\tag{1} \tan\frac{E}{2} =\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac{\nu }{2}$$

• Für eine hyperbolische Umlaufbahn ($e > 1$), die hyperbolische Anomalie$H$(auch geschrieben$F$) ist definiert durch:

  $$\tag{2} \tanh\frac{H}{2} =\sqrt{\frac{e-1}{e+1}}\tan\frac{\nu }{2}$$

Bei einer hyperbolischen Umlaufbahn$1-e < 0$führt zu einer undefinierten Definition von$E$in (1) wegen des Quadratwurzelterms. Daher die Notwendigkeit, sein hyperbolisches Äquivalent (2) zu verwenden. Betrachtet man jedoch die Beziehung (1) in$\mathbb{C}$durch Einbeziehung$i = \sqrt{-1}$ermöglicht eine komplexe Definition von$E$:

$$\tan\frac{E}{2} = i\sqrt{\frac{e-1}{e+1}}\tan\frac{\nu }{2}$$

wobei wir den rechten Term von (2) bemerken. Dies ist tatsächlich direkt verknüpft$E \in \mathbb{C}$Und$H \in \mathbb{R}$von:

$$\tag{3} \tan\frac{E}{2} = i\tanh\frac{H}{2}$$

Die Beziehungen zwischen hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen ergeben:

$$\forall x \in \mathbb{R} \ \ \ i\tanh(x) = \tan(ix)$$

was, wenn es auf (3) angewendet wird, zu Folgendem führt:

$$\tan\frac{E}{2} = \tan\frac{iH}{2}$$

Und da$x \mapsto \tan(ix)$ist bijektiv$\forall x \in \mathbb{R}$weil es proportional ist$x \mapsto \tanh(x)$, wir folgern daraus:

$$\tag{4} iH = E$$

im Fall einer hyperbolischen Umlaufbahn mit$H \in \mathbb{R}$(und deshalb$E \in i\mathbb{R}$).

Anpassung der Zwischengeschwindigkeitsvektorformel an hyperbolische Bahnen

Die von René Schwarz beschriebene Gleichung zur Berechnung des Zwischengeschwindigkeitsvektors (ohne Berücksichtigung der z-Komponente mit dem Wert 0) lautet:

$$\tag{5} \dot{\vec{o}} =\frac{\sqrt{\mu a}}{r}\left(\begin{array}{ c } -\sin E\\ \sqrt{1-e^{2}}\cos E \end{array}\right)$$

Wir nehmen daher jetzt eine hyperbolische Umlaufbahn an$e > 1$Und$a < 0$. Daher kann (5) nicht direkt verwendet werden, weil$\sqrt{1-e^2}$Und$\sqrt{\mu a}$sind undefiniert in$\mathbb{R}$. Indem man die Tatsache nutzt, dass$a = -|a|$Und$1 - e^2 = -(e^2 - 1)$, unter Berücksichtigung der Gleichung in$\mathbb{C}$gibt:

$$\begin{array}{ c c l } ( 5) \ \ \Leftrightarrow \ \ \dot{\vec{o}} & = & \dfrac{\sqrt{-\mu |a|}}{r}\left(\begin{array}{ c } -\sin E\\ \sqrt{-\left( e^{2} -1\right)}\cos E \end{array}\right)\\ & = & i\dfrac{\sqrt{\mu |a|}}{r}\left(\begin{array}{ c } -\sin E\\ i\sqrt{e^{2} -1}\cos E \end{array}\right)\\ & = & \dfrac{\sqrt{\mu |a|}}{r}\left(\begin{array}{ c } -i\sin E\\ -\sqrt{e^{2} -1}\cos E \end{array}\right)\\ & = & \dfrac{\sqrt{\mu |a|}}{r}\left(\begin{array}{ c } -\sinh iE\\ -\sqrt{e^{2} -1}\cosh iE \end{array}\right) \end{array}$$

Weil$\forall x \in \mathbb{R} \ \ i\sin x = \sinh ix$Und$\cos x = \cosh ix$.
Endlich einbeziehen$iH = E \Leftrightarrow iE = -H$, und die Tatsache, dass$\cosh$ist sogar und$\sinh$ungerade ist , erhalten wir:

$$\tag{6} \dot{\vec{o}} =\frac{\sqrt{-\mu a}}{r}\left(\begin{array}{ c } \sinh H\\ -\sqrt{e^{2} -1}\cosh H \end{array}\right)$$

mit$|a|$geschrieben als$-a$zur Klarheit.

Diese Formel scheint in praktischen Fällen zu funktionieren (Bahnsimulation und -bestimmung). Bitte zögern Sie nicht, einen Kommentar abzugeben, um eventuelle Fehler zu korrigieren.