Wie berechnet man die Gravitationskraft eines Schwarzen Lochs außerhalb des Ereignishorizonts in einer bestimmten Entfernung rrr? [Duplikat]

Ich werde die zweite Frage zuerst beantworten, da ich es bei den Berechnungen einfacher finde, und da die Berechnung für die erste Frage ähnlich ist, werde ich sie nur kommentieren und die Details für Sie überlassen.

Zunächst einmal gibt es darunter keine stabilen Kreisbahnen$r=3r_s$und keine Kreisbahnen unter$r=3r_s/2$für Schwarzschild-Schwarzes Loch.

Nun befindet sich die Weltlinie des Satelliten auf einer Kreisbahn$x^\mu(t)=(t,r,\pi/2,\omega t)$, Wo$\omega$die Winkelgeschwindigkeit in Schwarschild-Koordinaten ist. Wir können also die 4-Geschwindigkeit berechnen:

$$v^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}=(1,0,0,\omega)\frac{dt}{d\tau},$$ Wo$\tau$ist die Eigenzeit entlang der Kurve, dh: $$d\tau^2=g_{tt}dt^2+g_{\phi\phi}\omega^2dt^2=dt^2\left(g_{tt}+g_{\phi\phi}\omega^2\right).$$ Somit ist die 4-Geschwindigkeit: $$v^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}=(1,0,0,\omega)\frac{1}{\sqrt{g_{tt}+g_{\phi\phi}\omega^2}}.$$

Beachten Sie, dass die 4-Geschwindigkeit in diesen Koordinaten konstant ist. Daher wird die 4-Beschleunigung einfach durch Christoffel-Symbole angegeben:

$$a^\lambda=\Gamma^\lambda_{\nu\mu}v^\mu v^\nu.$$

Wir interessieren uns für Nicht-Null-Komponenten, also nur für$\Gamma^\lambda_{tt}$,$\Gamma^\lambda_{t\phi}$,$\Gamma^\lambda_{\phi t}$,$\Gamma^\lambda_{\phi\phi}.$Sie können googeln oder berechnen, dass von diesen die einzigen Nicht-Null-Werte sind

$$\Gamma^r_{tt}=-\frac{r_s}{2r^2}g_{tt}$$ $$\Gamma^r_{\phi\phi}=r g_{tt}$$

Natürlich ist die Kreisbahn geodätisch, also gibt es keine Beschleunigung. Deshalb fordern wir:

$$0=\Gamma^r_{tt}v^t v^t+\Gamma^r_{\phi\phi}v^\phi v^\phi$$ und nutze diese zur Berechnung$\omega:$ $$0=-\frac{r_s}{2r^2}+\omega^2r \Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{r_s}{2r^3}}.$$ Nun hängt die Umlaufgeschwindigkeit vom Beobachter ab. Wenn wir einen ruhenden Beobachter in Schwarzschildkoordinaten nehmen, misst dieser die Geschwindigkeit als: $$v=\frac{\sqrt{g_{\phi\phi}}d\phi}{\sqrt{-g_{tt}}dt}=\omega\sqrt{\frac{g_{\phi\phi}}{-g_{tt}}}=\sqrt{\frac{r_s}{2r^3}\frac{r^2}{1-\frac{r_s}{r}}}=\sqrt{\frac{r_s}{2(r-r_s)}}.$$

Wie Sie sehen können, erhalten Sie dadurch Lichtgeschwindigkeit$v=1$für$r=3r_s/2$. Das ist also die engste kreisförmige Umlaufbahn, die es geben kann.

Jetzt können Sie die gleiche Berechnung durchführen, um die Gravitationskraft in einiger Entfernung zu erhalten$r$. Aber machen Sie sich zuerst klar, dass es in GR keine Gravitationskraft gibt. Aber es gibt eine Beschleunigung. Sie können also die 4-Beschleunigung eines Objekts auf die gleiche Weise berechnen, wie ich es gerade getan habe, und dann schauen, welche Art von Kraft diese Beschleunigung erzeugt. Wenn dieses Objekt bezüglich des Schwarzen Lochs ruht (dh der Weltlinie folgt$x^\mu(t)=(t,0,0,0)$in Schwarzschild-Koordinaten) stellt diese Kraft, die benötigt wird, um das Objekt an Ort und Stelle zu halten, dar, wie stark die Gravitation auf das Objekt wirkt, obwohl dies konzeptionell nicht das ist, was wirklich passiert. Die Berechnung überlasse ich Ihnen.