Wie berechnet man die kinetische Energie von Supernova-Ejekta?

Bei der Beobachtung von Supernovae ist der Großteil des Materials oft optisch dick, sodass wir nur die Oberflächenschichten sehen. Diese bewegen sich mit einer gewissen Geschwindigkeit$v_\mathrm{surf}$.

Bei der Modellierung von Supernovae ist das sehr vereinfachte Modell, das jeder gerne verwendet, das der homologen Expansion einer gleichmäßig dichten (Dichte$\rho$) Kugel. Das heißt, die Geschwindigkeit des Materials steigt linear mit dem Radius von an$0$in der Mitte zu$v_\mathrm{surf}$an der Oberfläche (Radius$R$).

Die kinetische Energie ist dann

$$\begin{align} E & = \int\limits_\mathrm{ejecta} \frac{1}{2} \rho v^2 \,\mathrm{d}V \\ & = \frac{2\pi\rho}{R^2} v_\mathrm{surf}^2 \int_0^R r^4 \,\mathrm{d}r \\ & = \frac{2\pi}{5} \rho R^3 v_\mathrm{surf}^2 \\ & = \frac{3}{10} M_\mathrm{ej} v_\mathrm{surf}^2, \end{align}$$ wobei die zweite Zeile die Annahmen von gleichmäßiger Dichte, Kugelsymmetrie und homologer Ausdehnung verwendet ( $v = (r/R) v_\mathrm{surf}$), und die vierte Zeile verwendet die gesamte Auswurfmasse $M_\mathrm{ej} = (4\pi/3) R^3 \rho$.

Die Oberflächengeschwindigkeit wird vielleicht richtiger als photosphärische Geschwindigkeit bezeichnet, da man in etwa der Tiefe der Photosphäre tatsächlich die Geschwindigkeit misst. Natürlich kann das Betrachten verschiedener Linien verschiedener Elemente die Definition der Photosphäre ändern. Man kann hoffen, dass dies insofern kein großes Problem darstellt, als dass die überwiegende Mehrheit der Masse innerhalb einer vernünftigen Definition der Photosphäre liegt. Selbst dann würde man annehmen$\rho$bis zum Photosphärenradius konstant ist, um die obige Berechnung durchzuführen, und dies kann eindeutig nicht für alle Photosphären gelten.

Man sieht auch so was ich geschrieben habe$v_\mathrm{surf}$die "Auswurfgeschwindigkeit" genannt wird. Es versteht sich einfach, dass dies nur die Geschwindigkeit der äußeren Schichten des Auswurfs ist.

Wenn Sie eine "effektive Geschwindigkeit" wünschen, können Sie diese mit definieren

$$\frac{1}{2} M_\mathrm{ej} v_\mathrm{eff}^2 = E,$$ führt zu $v_\mathrm{eff} = \sqrt{3/5} v_\mathrm{surf}$. Beachten Sie, dass dies nur der Durchschnitt im quadrierten Sinne ist: $$v_\mathrm{eff}^2 = \frac{1}{M_\mathrm{ej}} \int\limits_\mathrm{ejecta} v^2 \rho \,\mathrm{d}V.$$ Der Mittelwert im linearen Sinne (nützlich für die Berücksichtigung von Impuls statt Energie) ist $$v_\mathrm{ave} = \frac{1}{M_\mathrm{ej}} \int\limits_\mathrm{ejecta} v \rho \,\mathrm{d}V = \frac{3}{4} v_\mathrm{surf}.$$