Wie beschreibt man die Quantenblase mathematisch?

"Das Vakuum ist gefüllt mit Quantenblasen."

Die genaue technische Bedeutung davon ist, dass die Vakuumenergie (Dichte) einer freien und einer wechselwirkenden Quantenfeldtheorie unterschiedlich ist und dass die Art und Weise, die wechselwirkende Vakuumenergie in einem Schema zu berechnen, in dem die freie Vakuumenergie auf Null renormiert wurde besteht darin, alle "Blasen"-Feynman-Diagramme auszuwerten, dh Diagramme mit null externen Beinen. Dies ist die einzige Bedeutung dieser Blasendiagramme in der aktuellen Quantenfeldtheorie. Zu sagen „das Vakuum ist gefüllt mit Quantenblasen“ klingt beeindruckend, aber wir müssen davon absehen, diesen Satz mit einer zusätzlichen Bedeutung zu interpretieren, wie dies leider oft bei nicht-technischen Präsentationen der QFT der Fall ist.

Technisch liegt dies daran, dass die Summe aller Blasendiagramme den Ausdruck darstellt$\langle 0\vert T\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\int H_I\mathrm{d}t}\vert 0\rangle$(Jedes Einfügen eines Feldes vor dem Exponential würde einem externen Bein entsprechen), zu dem durch eine Standardrechnung im Wechselwirkungsbild (siehe zB Abschnitt 2.8.1 von Weigands QFT-Notizen [pdf- Link ]) proportional ist$\mathrm{e}^{-E_\Omega 2T}$, Wo$E_\Omega$ist die (unendliche) Energie des wechselwirkenden Vakuums. Was in einem unendlichen Universum wirklich zählt, ist die Energiedichte , nicht die Energie, und es stellt sich heraus, dass die Energiedichte$\rho_\Omega$wird von gegeben

$$\rho_\Omega = \mathrm{i}\frac{\sum_j V_j}{\delta^{(4)}(0)},$$ Wo$V_j$sind die Werte aller Blasendiagramme mit einer einzigen verbundenen Komponente, befreit von einer Infrarotdivergenz der Form$\delta(0)$. Dieser Wert ist immer noch UV-divergent und muss in allen Ordnungen in der Störungstheorie renormiert werden, genau wie die freie Energiedichte.

Beachten Sie, dass Ihre Beschreibung von Blasendiagrammen als "In einem Feynman-Diagramm würde dies einer geschlossenen Ein-Partikel-Ausbreitungslinie, einem Kreis oder einer Blase entsprechen" falsch ist. Ein einzelner Propagator ist kein Blasendiagramm, und tatsächlich hat die freie Theorie, die nur Propagatoren hat, überhaupt keine Blasen. Die Blasendiagramme werden durch Zeichnen der Scheitelpunkte der Wechselwirkungstheorie gegeben, wobei alle ihre Linien mit anderen Scheitelpunkten verbunden sind und keine mit einer externen Linie. Für$\phi^4$Theorie mit einem einzigen 4-Knoten sieht die Summe aller Blasen so aus: