Wie erzeugt das Pauli-Ausschlussprinzip eine Kraft in entarteter Materie?

Wie erzeugt das Pauli-Ausschlussprinzip eigentlich eine Kraft?

Das Pauli-Ausschlussprinzip besagt nicht wirklich, dass zwei Fermionen nicht am selben Ort sein können. Es ist sowohl stärker als auch schwächer als das. Es besagt, dass sie nicht im selben Zustand sein können, dh wenn sie stehende Wellen sind, können zwei von ihnen nicht dasselbe stehende Wellenmuster haben. Aber für Massenmaterial ist es für unsere Zwecke eine anständige Annäherung, das Ausschlussprinzip so zu behandeln, als würde es sagen, dass wenn$n$Teilchen sind auf ein Volumen beschränkt$V$, sie müssen jeweils auf einen Raum von etwa beschränkt werden$V/n$. Da das Volumen wie die Kubiklänge ist, bedeutet dies, dass ihre Wellenlängen gleich sein müssen$\lesssim (V/n)^{1/3}$. Wie$V$schrumpft, schrumpft auch diese maximale Wellenlänge, und die De-Broglie-Beziehung sagt uns dann, dass der Impuls ansteigt. Der erhöhte Impuls zeigt sich als Druck, genau wie wenn Sie den Impuls aller Moleküle in einer Luftprobe erhöhen würden. Ein entarteter Körper wie ein Neutronenstern oder Weißer Zwerg befindet sich in einem Zustand, in dem dieser Druck im Gleichgewicht mit der Schwerkraft ist.

Ich mag Bens Antwort, aber hier ist meine Meinung dazu.

Der Entartungsdruck beruht nicht auf einer fundamentalen Kraft; Tatsächlich tritt es im einfachsten Modell in idealen Gasen nicht wechselwirkender Fermionen auf.

Die einfache Quantenmechanik von Teilchen in einem unendlichen Potentialtopf (dh gefangen in einem Volumen) sagt uns, dass nur bestimmte quantisierte Wellenfunktionen möglich sind. Jeder dieser Wellenfunktionen ist ein Impuls zugeordnet. Daher gibt es eine endliche Anzahl von Quantenzuständen pro Volumeneinheit, pro Impulseinheit (manchmal als "Phasenraum" bezeichnet). Das Pauli-Ausschlussprinzip (PEP) sagt uns, dass nur zwei (eine für Spin-up, eine für Spin-down) Fermionen jeden dieser "Impuls-Eigenzustände" einnehmen könnten.

Was passiert in einem "normalen" (Nicht-Quanten-)Gas, wenn wir es in ein kleines Volumen quetschen? Nun, die kinetische Theorie sagt uns, dass der Druck zunimmt, weil die Anzahldichte der Teilchen zunimmt und die Temperatur zunimmt, was sich in einer Zunahme der Geschwindigkeiten und Impulse der Teilchen manifestiert. Diese schnelleren Teilchen tauschen größere Mengen an Impuls mit den Wänden unseres Behälters aus und üben daher einen größeren Druck aus. Aber mit unserem "normalen" Gas könnten wir es in einen Kühlschrank stellen und den Druck reduzieren. Dies liegt daran, dass Partikeln in einem normalen Gas ihre kinetische Energie entzogen werden kann und sie ohne Einschränkung fallen können, um niedrigere Energie-/Impulszustände einzunehmen.

Wenden Sie sich nun einem Gas von Fermionen zu. Genauso wird in einem Fermiongas Druck ausgeübt. Das kinetische Theoriebild gilt. Aber wenn wir jetzt das Gas kühlen, könnte das Verhalten anfangs ziemlich ähnlich sein, aber wenn alle Quantenzustände mit niedriger Energie/Impuls aufgefüllt werden, stellen wir fest, dass die PEP uns daran hindert, den Teilchen noch mehr Wärme zu entziehen. Sie begeben sich in Quantenzustände, die eine beträchtliche Menge an Impuls und kinetischer Energie haben können, weil das so niedrig ist, wie sie gehen können. Selbst wenn wir also unser Fermionengas auf nahezu den absoluten Nullpunkt abkühlen würden, würden wir immer noch Fermionen mit einem Impuls ungleich Null finden und das Gas würde einen (Entartungs-)Druck ausüben.

Eine einfache Betrachtungsweise ist eine 3-D-Version der Unschärferelation.

$$(\Delta x \Delta p_x) (\Delta y \Delta p_y) (\Delta z \Delta p_z) = \Delta V (\Delta p)^3 \sim \hbar^3$$ Diese Beziehung sagt Ihnen, dass Teilchen dicht gepackt werden können, aber wenn sie es sind, dann müssen sie sehr unterschiedliche Impulse haben. Dieser große Impulsbereich führt zu Entartungsdruck.

Der Extremfall ist als vollständige Entartung bekannt und ist eine gute Näherung für ideale Fermiongase bei entweder sehr niedriger Temperatur oder sehr hoher Dichte. In diesem Fall sind alle Impulszustände vollständig ausgefüllt bis hin zur sogenannten Fermi-Energie, und es werden überhaupt keine höheren Energiezustände besetzt. Dieses Gas übt einen temperaturunabhängigen Entartungsdruck aus .

Der Rest ist die Mathematik der Berechnung: (i) der Dichte von Quantenzuständen; (ii) wenn die Entartung wichtig wird; (iii) welcher Druck von einem entarteten Gas unter Verwendung der kinetischen Theorie ausgeübt wird. Es stellt sich heraus, dass Weiße Zwergsterne bei Dichten von fast vollständig durch den Entartungsdruck von Elektronen gestützt werden$10^{9}-10^{11}$kg/m$^{3}$und die Annäherung an eine vollständige Entartung ist sehr gut, auch wenn ihre Innentemperaturen reichen können$10^{7}$K. Am oberen Ende dieses Bereichs sind die Elektronen im Weißen Zwerg relativistisch. (Siehe dieses Geogebra-Applet , das ich erstellt habe, um zu sehen, wie die Besetzung von Quantenzuständen mit Dichte und Temperatur in einem Weißen Zwerg variiert). Da Neutronen viel massiver als Elektronen sind, werden sie erst bei viel höheren Dichten entartet (die Mathematik zeigt, dass es ungefähr so ​​​​ausgeht wie die dritte Potenz der Fermionenmasse). Neutronensterne werden teilweise durch den Neutronentartungsdruck bei Dichten von unterstützt$10^{17}-10^{18}$kg/m$^{3}$.

Die Kraft, die wir mit dem Pauli-Ausschlussprinzip assoziieren, ist keine fundamentale Kraft, die mit den vier fundamentalen Wechselwirkungen verbunden ist, sondern eher eine entropische Kraft , eine Folge der Einschränkungen, die das Prinzip erlaubten Wellenfunktionen auferlegt.

Eine allgemeinere Aussage des Prinzips besagt, dass die Gesamtwellenfunktion eines Systems aus zwei (oder mehr) identischen Fermionen unter Austausch zweier Teilchen antisymmetrisch ist. Wenn sich also zwei Atome, die Elektronen mit gleichem Spin tragen, näher kommen, muss der räumliche Anteil der Wellenfunktion antisymmetrisch sein. Wie Sie wissen, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Position des Elektrons das Quadrat der Amplitude der Wellenfunktion und somit wird für ein Elektron mit einer antisymmetrischen Wellenfunktion der Abstand zwischen den Atomen vermieden. Dieses Phänomen hängt mit der Austauschwechselwirkung zusammen

Dadurch wird der Phasenraum der Elektronen in einem hochdichten Festkörper eingeschränkt, eine Einschränkung, die wir makroskopisch als „Kraft“ wahrnehmen.