Wie gelingt es Spektrographen, die Radialgeschwindigkeiten messen, Variationen in den Spektrallinien der Sterne in die "Geschwindigkeit" des Sterns zu übersetzen?

Es gibt viele Möglichkeiten, die Bewegung eines Sterns zu messen , die Radialgeschwindigkeit (Wobble) kann mit Doppler-Spektroskopie gemessen werden . Der erste mit dieser Methode entdeckte Exoplanet war 51 Pegasi b von Michel Mayor und Didier Queloz, die den Planeten im Dezember 1995 entdeckten.

Ein Nachteil dieser Methode ist, dass sie nur die Bewegung eines Sterns auf die Erde zu oder von ihr weg erkennen kann. Wenn die Orbitalebene des Planeten von der Erde aus beobachtet wird, ist das Wackeln des Sterns senkrecht zur Blickrichtung eines Beobachters, und es wird keine Spektrumverschiebung festgestellt.

In den meisten Fällen ist die Umlaufbahnebene eines entfernten Planeten weder "kantig" noch "frontal", wenn sie von der Erde aus beobachtet wird. Höchstwahrscheinlich ist es in einem bestimmten Winkel zur Sichtlinie geneigt, was normalerweise unbekannt ist. Das bedeutet, dass ein Spektrograph nicht die volle Bewegung des Sterns erfassen würde, sondern nur die Komponente seines Wackelns , die ihn auf die Erde zu oder von ihr weg bewegt.

Das ESPRESSO-Instrument verwendet zwei 90 x 90 mm CCD-Detektoren, einen rot- und einen blauempfindlichen. Die Detektoren sehen das Licht, nachdem es an einem Echelle-Gitter reflektiert wurde, das für die Verwendung bei hohen Einfallswinkeln und daher in hohen Beugungsordnungen optimiert ist. Höhere Beugungsordnungen ermöglichen eine erhöhte Streuung (Abstand) von spektralen Merkmalen am Detektor, wodurch eine stärkere Differenzierung dieser Merkmale ermöglicht wird.

Die Gleichungen sind relativ einfach. Die beobachtete Dopplergeschwindigkeit ist$K=V_{\mathrm {star} }\sin(i)$, Wo$i$ist die Neigung der Umlaufbahn des Planeten zur Linie senkrecht zur Sichtlinie.

Referenz:

„ A Jupiter-mass Begleiter zu einem Stern vom Sonnentyp “, Nature Band 378, Seiten 355–359 (1995), von Michel Mayor und Didier Queloz

Eine Verbesserung der Gleichungen von Mayor und Queloz wird angeboten in:

„ Der Rossiter-McLaughlin-Effekt und analytische Radialgeschwindigkeitskurven für transitierende extrasolare Planetensysteme “ (25. März 2005), von Yasuhiro Ohta, Atsushi Taruya und Yasushi Suto

7. Schlussfolgerungen und Diskussion
Wir haben eine Methodik diskutiert, um die Winkelgeschwindigkeit des Sternspins und seinen Richtungswinkel in Bezug auf die Planetenumlaufbahn für transitierende extrasolare Planetensysteme abzuschätzen, wobei der RM-Effekt verwendet wird, der zuvor bei der Verfinsterung von Doppelsternen bekannt war (Rossiter 1924; McLaughlin 1924; Kopal 1990) Insbesondere haben wir analytische Ausdrücke der Radialgeschwindigkeitsanomalie hergeleitet,$\Delta_{vs}$, die für extrasolare Planetensysteme ausreichend genau sind. Wird die Sternrandverdunklung vernachlässigt, ist der Ausdruck exakt. Wir haben das Ergebnis auf den Fall mit Gliedmaßenverdunkelung ausgedehnt und ungefähre, aber genaue analytische Formeln erhalten. Für einen typischen Wert von$\gamma = R_p / R_s \sim 0.1$, reduzieren sich die Formeln auf eine einfache Form (Gl. [40], [43], [44], [45], [48] und [49]):

$$\Delta v_s = \Omega s X_p \sin I_s \frac{\gamma^2 \{1-\varepsilon(1-W_2) \} }{ 1-\gamma^2-\varepsilon \{ \frac{1}{3}-\gamma^2 \} } \tag{56}$$

während der gesamten Transitphase und (das Folgende ist scrollbar):

$$\small { \Delta v_s = \Omega_s X_p \sin I_s \frac { (1- \varepsilon) \{ - z_0 \zeta + \gamma^2 \cos^{-1} (\zeta / \gamma) \} + \frac { \varepsilon }{ 1 + \eta_p } W_4 }{ \pi (1- \frac {1}{3} \varepsilon ) - (1 - \varepsilon) \{ \sin^{-1} z_0 - (1 - \eta_p) z_0 + \gamma^2 \cos^{-1} (\zeta / \gamma) \} } \tag {57} }$$

während der Austritts-/Eintrittsphasen, wo

$$\begin{align} W_2 & = \frac { (R^2_s - X^2_p - Z^2_p)^{1/2} }{ R_s }, \tag {58} \\ W_4 & = \frac {\pi}{2} \, \gamma^{3/2} (2 - \gamma)^{1/2} \, (\gamma - \zeta) \; x_c \frac {g(x_c ; \eta_p , \gamma) }{ g(1- \gamma ; - \gamma , \gamma) }, \tag {59} \end{align}$$

Wo$g(x; a, b)$ist in Gleichung (A17) definiert. Die Definition und die Bedeutung der Variablen in den obigen Ausdrücken sind in Tabelle 1 zusammengefasst.

Die numerische Genauigkeit der obigen Formeln wurde anhand eines spezifischen Beispiels des transversierenden extrasolaren Planetensystems, HD 209458, überprüft, und wir fanden heraus, dass sie auf wenige Prozent genau sind . Unsere analytischen Formeln für die Radialgeschwindigkeitsanomalie sind in mehrfacher Hinsicht nützlich. Man kann die Planetenparameter viel effizienter und einfacher abschätzen, da man nicht auf rechenintensive numerische Modellierung zurückgreifen muss. Darüber hinaus lassen sich die resultierenden Unsicherheiten der angepassten Parameter und deren Korrelationen leicht auswerten.

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Tabelle 1. Notationsliste
Variablen Definition Bedeutung

Orbitalparameter
$m_p$        Abschnitt 2 Planetenmasse
$m_s$        Abschnitt 2 Sternmasse
$a$          Abb.1 Große Halbachse
$e$          Abb.1 Exzentrizität der Planetenbahn
$\varpi$         Abb.1 Negativer Längengrad der Sichtlinie
$i$           Abb.2 Neigung zwischen der Normalenrichtung der Orbitalebene und der y-Achse
$r_p$         Gl.[1] Entfernung zwischen Stern und Planet (siehe Abb.1)
$f$          Gl.[2] Echte Anomalie (siehe Abb.1)
$E$         Gl.[2] Exzentrische Anomalie
$n$          Gl.[3] Mittlere Bewegung
$M$        Gl.[4] Mittlere Anomalie

Interne Parameter von Stern und Planet
$Is$        Abb.2 Neigung zwischen Sternspinachse und y-Achse
$λ$          Abb.3 Winkel zwischen$z$-Achse und Normalenvektor$\hat{n}_p$An$(x, z)$-Ebene
$Ω_s$         Gl.[12] Ringgeschwindigkeit des Sterns (siehe Abb.2)
$R_s$         Abschnitt 4 Sternradius
$R_p$         Abschnitt 4 Planetenradius
$\varepsilon$         Gl.[38] Parameter für die Verdunkelung der Extremitäten
$V$           Abschnitt 6 Stellare Oberflächengeschwindigkeit,$R_sΩ_s$

Mathematische Notation
$X_p$         Abschnitt 4 Position des Planeten
$γ$         Gl.[25] Verhältnis von Planetenradius zu Sternradius,$Rp/Rs$
$η_p$          Gl.[28] Siehe Abb.6
$x_0$          Gl.[33] Siehe Abb.6