Ableitung der binären Massenfunktion für exzentrische Umlaufbahn

Ich habe nach meinem Scheitern versucht, online eine detaillierte Ableitung zu finden. Schließlich fand ich es in The Exoplanet Handbook von Michael Perryman :

Tatsächlich ist K, oder die sogenannte Halbamplitude der Radialgeschwindigkeit , nicht die Spitzenradialgeschwindigkeit (die ich vorher verstanden habe), sondern eine Art Amplitude der Fluktuation der Radialgeschwindigkeit . Und es muss im 3D-Raum betrachtet werden.
sei z = Sternposition allein die Sichtlinie =$r(t) \sin(\omega + \theta)\sin i$

dann Radialgeschwindigkeit$v_r = \dot{z} = \sin{i}[\dot{r}\sin(\omega + \theta)+r \dot{\theta}\cos(\omega+\theta)]$.
Andererseits haben wir:

$$r = \frac{a_1(1-e^2)}{1+e\cos{\theta}} \\ \cos{\theta} = \frac{\cos{E}-e}{1-e\cos{E}} \\ E - e\sin{E} = \frac{2\pi}{P}t$$ Wo$E=E(t)$ist die sogenannte exzentrische Anomalie .
Nach langem Rechnen erhalten wir: $$v_r(t) = \frac{2\pi a_1}{P}\frac{\sin{i}}{\sqrt{1-e^2}}[e\cos{\omega} + \cos(\omega + \theta(t))]$$ und hier erscheint K (Amplitude):
$$K = \frac{2\pi a_1}{P}\frac{\sin{i}}{\sqrt{1-e^2}}$$
Verwenden Sie dies als Ersatz$a_1$in Keplers drittem Gesetz: $$\frac{M_2^3}{M^2_{tot}}=\frac{4π^2}{GP^2}a_1^3$$ endlich gibt es: $$\frac{M_2^3 \sin^3 i}{M_{tot}^2}=\frac{PK^3}{2\pi G}(1-e^2)^{3/2}$$