Wie groß ist der Abstand zwischen Photonen?

Der durchschnittliche Abstand zwischen Photonen kann auf folgende konzeptionelle Weise abgeschätzt werden.

Berechnen Sie zunächst die Energiedichte des Schwarzkörper-Strahlungsfeldes.

Teilen Sie dann durch die durchschnittliche Energie eines Photons (was ist$2.7 k_BT$- Siehe meine Antwort auf Warum ist die Energie einzelner Photonen in einem thermischen Gleichgewicht proportional zur Temperatur? ).

Das Ergebnis ist die Anzahldichte (pro Volumeneinheit) von Photonen. Die Umkehrung davon gibt das von einem Photon eingenommene Volumen an, und die Kubikwurzel davon ergibt eine Schätzung für den durchschnittlichen Abstand zwischen Photonen.

Formeller:

Die Energiedichte eines Schwarzkörper-Strahlungsfeldes ist

$$u_{\nu} = \frac{4\pi}{c} B_{\nu}\ d\nu = \frac{8\pi h \nu^{3}}{c^3} \frac{d\nu}{\exp(h\nu/k_BT) - 1}$$ Die Anzahldichte von Photonen ist daher $$n = \int \frac{u_{\nu}}{h\nu}\ d\nu = \frac{8\pi}{c^3} \int \frac{\nu^2\ d\nu}{\exp(h\nu/k_BT) - 1}$$ Dieses Integral braucht die Hilfe eines Satzes von Integraltabellen oder Wolfram-Integrator zu geben $$n = 8\pi \left(\frac{k_BT}{hc}\right)^3 \times 2.404$$

Aber aus dem Wienschen Gesetz wissen wir, dass ein "typisches" Photon eine Wellenlänge (also die Wellenlänge eines Photons am Höhepunkt der Planck-Verteilung) hat

$$\lambda_{\rm Wien} = \frac{2.9\times 10^{-3}}{T}$$

Wenn wir diese zusammensetzen, können wir die Anzahldichte in Bezug auf die Wien-Wellenlänge und nicht auf die Temperatur als ausdrücken

$$n = 8\pi (\frac{0.20}{\lambda_{\rm Wien}})^3 \times 2.404$$
Wenn wir die inverse Kubikwurzel ziehen, kommen wir schließlich zu einem typischen Photonenabstand von $$l_{\rm photon} \simeq 1.27 \lambda_{\rm Wien}$$