Wie groß ist die Anziehungskraft, die durch eine induzierte Ladung von einer unendlichen geerdeten leitenden Ebene auf eine Punktladung ausgeübt wird?

Diese Frage wird durch Abschnitt 3.2.3 in Griffiths' Buch über Elektrodynamik motiviert .

Ich versuche, die Anziehungskraft zu berechnen, die durch eine induzierte Ladung von einer unendlichen geerdeten Ebene auf eine Punktladung ausgeübt wird. Mit der Methode der Bilder können wir das Potenzial berechnen

v ( X , j , z ) = 1 4 π ϵ 0 [ Q X 2 + j 2 + ( z − D ) 2 − Q X 2 + j 2 + ( z + D ) 2 ] .

Ich bin mir nicht sicher, wohin ich von hier aus gehen soll. Griffiths schlägt vor, die Beziehung zu verwenden

F = − Q   ∇ v ,
aber ich verstehe nicht, warum dies die anziehende Kraft ist. Ich kann nicht verstehen, warum dies die Kraft sein sollte, auf die ausgeübt wird Q , und nicht die ausgeübte Kraft B j Q .

Aber selbst wenn F = − Q   ∇ v , ich weiß immer noch nicht, wie ich die Kraft berechnen soll. Die Komponenten des Gradienten sind gegeben durch

∂ v ∂ X = 1 4 π ϵ 0 { − Q X [ X 2 + j 2 + ( z − D ) 2 ) ] 3 / 2 + Q X [ X 2 + j 2 + ( z + D ) 2 ] 3 / 2 } , ∂ v ∂ j = 1 4 π ϵ 0 { − Q j [ X 2 + j 2 + ( z − D ) 2 ) ] 3 / 2 + Q j [ X 2 + j 2 + ( z + D ) 2 ] 3 / 2 } , ∂ v ∂ z = 1 4 π ϵ 0 { − Q ( z − D ) [ X 2 + j 2 + ( z − D ) 2 ) ] 3 / 2 + Q ( z + D ) [ X 2 + j 2 + ( z + D ) 2 ] 3 / 2 } .

Auswertung der Steigung bei ( 0 , 0 , 0 ) gibt F = − 1 4 π ϵ 0 2 Q 2 D 2 z ^ , aber Griffiths sagt uns, dass die Kraft ist F = − 1 4 π ϵ 0 Q 2 ( 2 D ) 2 z ^ . Die einzige Möglichkeit, die ich sehe, um zu diesem Ergebnis zu gelangen, besteht darin, den Gradienten bei zu bewerten ( 0 , 0 , D ) , aber die z Komponente des Gradienten ( ∂ v / ∂ z ) ist dort einzigartig. Und ich bin mir nicht einmal sicher, warum man die Steigung so bewerten würde ( 0 , 0 , D ) , statt ( 0 , 0 , 0 ) .

Ich habe Google und diese Seite durchsucht und konnte keine Antworten auf meine Fragen finden. Mir ist klar, dass diese Fragen ziemlich einfach sind, aber ich habe nicht viel von einem physikalischen Hintergrund. Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

Antworten (3)

Das Teilchen kann keine Kraft auf sich selbst ausüben, sodass Sie bei der Berechnung der Kraft sein eigenes Potenzial nicht einbeziehen müssen. Außerdem ist das Teilchen bei ( 0 , 0 , D ) also Berechnung der Steigung bei ( 0 , 0 , 0 ) ist nutzlos.

Wir können das Potential auf der Oberfläche der geerdeten leitenden Ebene zu Null wählen. Die von Jackrogers zitierte Referenz weist darauf hin, dass wir, wenn wir die Ebene entfernen und durch eine gleiche und entgegengesetzte Ladung ersetzen, die gleich weit über die Position der Ebene hinausgeht, das Potential an allen Punkten entlang der Position der Ebene wieder auf Null setzen können. Das bedeutet, dass das Feld über der Ebene in beiden Fällen gleich sein muss. Anstatt mit dem Feld der in der Ebene induzierten verteilten Ladungen zu arbeiten, können wir mit dem der „Bild“-Ladung arbeiten.

Ein sehr guter Hinweis auf die Antwort auf diese Frage (oder möglicherweise ihre Antwort) wird hier gegeben .

Das Potential, das einer Punktladung in der oberen Halbebene und einem unendlich geerdeten Leiter entspricht, ist durch das Potential gegeben v in der obigen Frage angegeben.

Die Kraft, die durch diese Anordnung an jedem Punkt erzeugt wird, ist gegeben durch F = − Q ∇ v . Die Beiträge zu dieser Truppe umfassen:

  1. die Punktladung Q ,
  2. die induzierte Ladung von der leitenden Ebene.

Wenn wir also die Kraft von der leitenden Ebene berechnen möchten, können wir den Beitrag von der Punktladung abziehen:

F ich N D u C e D = F − F Q ,
Wo F Q stellt den Beitrag zur Kraft von der Punktladung dar. Die Gültigkeit dieser Gleichung wird durch das Superpositionsprinzip garantiert. Daraus können wir schließen
F ich N D u C e D = F − F Q = F ich M A G e ,
Wo F ich M A G e ist die Kraft aus der Bildladung. Am Ort der Punktladung ist dies gegeben
F ich N D u C e D = F ich M A G e = − 1 4 π ϵ 0 Q 2 ( 2 D ) 2 z ^ .

Wie groß ist die Anziehungskraft, die durch eine induzierte Ladung von einer unendlichen geerdeten leitenden Ebene auf eine Punktladung ausgeübt wird?
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