Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit des Alpha-Centauri-Systems im Baryzentrum der Binärdatei

Das ist eine gute Frage, aber ich fürchte, die Antwort ist nichts Besonderes, sie ist nur durch den Richtungsvektor eingeschränkt. Im Falle eines Vektors, der genau senkrecht zu beiden Körpern des binären Systems steht, ist die Fluchtgeschwindigkeit die kombinierte Fluchtgeschwindigkeit jedes der beiden Körper im Abstand zu ihnen. So:

$$v_{e}={\sqrt {{\frac {2GM_\alpha}{r_\alpha}}}} + {\sqrt {{\frac {2GM_\beta}{r_\beta}}}}$$

Wo$G$ist die universelle Gravitationskonstante $6.67384(80)\cdot 10^{{-11}}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{{-1}}\ {\mbox{s}}^{{-2}}$. Diese unsere Funktion beschreibt das kombinierte Gravitationspotential zweier Körper an ihrem gemeinsamen Schwerpunkt, dem wir entkommen müssen, und ist am kleinsten mit einem Richtungsvektor, der genau senkrecht zur Achse zwischen ihnen steht, wodurch ihr Gravitationspotential gleich stark bleibt. Wenn Sie den Vektor auch nur geringfügig in Richtung eines der beiden ändern, führt dies nur zu einer höheren erforderlichen Fluchtgeschwindigkeit, da Sie sich einem von ihnen nähern und den Radius verringern$r$, während der andere Gravitationspotential im entgegengesetzten Vektor verliert, aber in Richtung des weniger massiven Körpers etwas nachsichtiger wäre.

In unserem Fall ist der gemeinsame Schwerpunkt der Sattelpunkt , oder$L_1$Lagrange-Punkt, an dem das Gravitationspotential der beiden Körper gleich stark ist. Aber um diese Entfernung relativ zu beiden Körpern zu erhalten, müssen wir sie zuerst berechnen , da die Alpha Centauri -Doppelsterne α Cen A und α Cen B (unser Doppelsternsystem Alpha Centauri AB) nicht genau dieselbe Masse haben. Wikipedia über Alpha Centauri sagt uns Folgendes über ihre Entfernung zueinander:

Während der 79,91-jährigen Umlaufbahn des Paares um ein gemeinsames Zentrum variiert der Abstand zwischen ihnen von etwa dem zwischen Pluto und der Sonne bis zu dem zwischen Saturn und der Sonne.

Dies ist in Bezug auf die Genauigkeit nicht sehr ermutigend, aber da wir die Messlatte bereits niedriger legen und Durchschnittswerte berechnen, können wir die Gravitationseffekte von Proxima Centauri (Alpha Centauri C) vernachlässigen. Die α Cen AB sind also von 778.547.200 km (5,204267 AE) bis zu 5.874.000.000 km (39,264 AE) voneinander entfernt, was die großen Halbachsen von Jupiter bzw. Pluto sind . Lassen Sie uns dies geometrisch halbieren, bei 3.326.273.600 km (22,2341335 AU). Nun hat α Cen A eine Masse von$M_\alpha = 1.100\ \mbox{M}_{\odot }$und α Cen B$M_\beta = 0.907\ \mbox{M}_{\odot }$, wobei die Einheit in Sonnenmassen ist $\mbox{M}_{\odot }=(1.98855\ \pm \ 0.00025)\ \cdot 10^{{30}}{\hbox{ kg}}$.

Um den Abstand zum gemeinsamen Schwerpunkt zu finden, müssen wir ein Zweikörperproblem lösen . Für die Entfernung zum Primärstern, α Cen A, sieht unser Solver so aus:

$$r_{\alpha}=a\cdot {M_{\alpha} \over M_{\alpha}+M_{\beta}}={a \over 1+M_{\alpha}/M_{\beta}}$$

Wo$a$ist der Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Körper (3.326.273.600 km). Wenn wir das lösen, bekommen wir$r_{\alpha} = 1,823,069,735.92\ \mbox{km}$und da$r_{\beta} = a - r_{\alpha}$, wir bekommen$r_{\beta} = 1,503,203,864.08\ \mbox{km}$. OK, wir haben jetzt alle Informationen, die wir benötigen, um es in unseren ersten Solver einzufügen, und wir erhalten:

$$v_{e\alpha}={\sqrt {{\frac {2 \cdot 6.67384\cdot 10^{{-11}}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{{-1}}\ {\mbox{s}}^{{-2}} \cdot 1.100 \cdot 1.98855 \cdot 10^{{30}}{\hbox{ kg}}}{1,823,069,735,920\ \mbox{m}}}}}$$

$$v_{e\beta}={\sqrt {{\frac {2 \times 6.67384\times 10^{{-11}}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{{-1}}\ {\mbox{s}}^{{-2}} \cdot 0.907 \cdot 1.98855 \cdot 10^{{30}}{\hbox{ kg}}}{1,503,203,864,080\ \mbox{m}}}}}$$

oder$v_{e\alpha} = 17,064.14\ {\mbox{m s}}^{{-1}}$und$v_{e\beta} = 12,655.11\ {\mbox{m s}}^{{-1}}$. Angenommen, ich habe alle richtigen Zahlen an den richtigen Stellen eingefügt und es gibt keinen größeren Fehler in meinem Ansatz, erhalten wir:

$$v_{e} = v_{e\alpha} + v_{e\beta} = 29,719.25 \pm 469.90\ {\mbox{m s}}^{{-1}}$$

Dies sind natürlich alles nur ungefähre Durchschnittswerte, und die Fluchtgeschwindigkeit würde sich verringern, wenn α Cen A und B weiter voneinander entfernt sind, und zunehmen, wenn sie sich nähern. Es enthält auch nicht die Position von Proxima Centauri in Bezug auf die Alpha Centauri-Binärdatei und den Annäherungsvektor, also senden Sie noch nichts dorthin. :)