Wie groß ist die Rotverschiebung eines Rücksignals in einem flachen Universum zwischen zwei Beobachtern?

Question

Wie groß ist die Rotverschiebung eines Rücksignals in einem flachen Universum zwischen zwei Beobachtern?

Kunstrasen

Ich versuche, die beobachtete Rotverschiebung für ein Lichtsignal zwischen zwei Beobachtern (nennen wir sie Beobachter eins und zwei) in einem von flacher Materie dominierten Universum zu bestimmen. Beobachter eins sendet ein Signal ( $t_1$ ) mit Lichtgeschwindigkeit zu Beobachter 2 und sie zeichnet es als az von 5 auf ( $t_2$ ). Beobachter zwei sendet dann direkt ein Signal zurück. Bei welcher Rotverschiebung sieht der Beobachter dieses eingehende Signal ( $t_3$ )?

Wir wissen, dass der Skalierungsfaktor für ein materiedominiertes Universum wie folgt lautet:

\frac{A}{A_{0}} = \frac{T^{2 / 3}}{T_{0}}

$\frac{a}{a_0}=\frac{{t^{2/3}}}{t_0}$

Und $a_0$ Und $t_0$ Sind $1$ für die jetzige zeit

Außerdem bleibt die Mitbewegungskoordinate per Definition für beide Zeitintervalle gleich und kann wie folgt beschrieben werden:

R = C \int \frac{D T}{A (T)}

$r=c\int\frac{dt}{a(t)}$

Unter Verwendung der Beziehung zwischen dem Skalierungsfaktor und z können wir die folgende Beziehung finden:

A (T_{2}) = 6 \cdot A (T_{1})

$a(t_2) = 6\cdot a(t_1)$

Beschreiben Sie die mitbewegten Koordinaten für die Zeitintervalle und setzen Sie sie einander gleich:

\int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{D T}{T^{\frac{2}{3}}} = \int_{T_{2}}^{T_{3}} \frac{D T}{T^{\frac{2}{3}}}

$\int_{t_1}^{t_2}\frac{dt}{{t}^{\frac{2}{3}}} = \int_{t_2}^{t_3}\frac{dt}{{t}^{\frac{2}{3}}}$

Ersetzen Sie nach der Integration die oben gefundene Beziehung in Bezug auf t, um das Verhältnis zwischen zu erhalten $t_1$ Und $t_3$ :

T_{2} = 6^{\frac{3}{2}} \cdot T_{1}

$t_2 = 6^{\frac{3}{2}}\cdot t_1$ ...zu bekommen:

2 (14.7 \cdot T_{1})^{1 / 3} - T_{1}^{1 / 3} = T_{3}^{1 / 3}

$2(14.7\cdot t_1)^{1/3}-t_1^{1/3} = t_3^{1/3}$

Schließlich haben wir jetzt, da wir eine Beziehung zwischen dem anfänglich emittierten Signal ( $t_1$ ) und das letzte empfangene Signal ( $t_3$ ), können wir feststellen $z$ :

\frac{A (T_{3})}{A (T_{1})} = 1 + z = \frac{T_{3}^{\frac{2}{3}}}{[\frac{T_{3}}{59}]} ∴ z \approx 14

$\frac{a(t_3)}{a(t_1)}=1+z=\frac{t_3^{\frac{2}{3}}}{\left [ \frac{t_3}{59} \right ]} \therefore z\approx 14$

Oben ist die Arbeit, die ich getan habe, aber ich bin nicht sicher, ob meine Antwort richtig ist, obwohl ich nichts Offensichtliches an dem sehe, was ich getan habe. Ich erwarte, dass die Rotverschiebung größer ist, was mit der berechneten Rotverschiebung übereinstimmt, aber ich habe keine viel größere Intuition als dies. Vielleicht gibt es eine elegantere Lösung. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob die Lösung vernünftig erscheint.

Danke

Antworten (1)

Wie groß ist die Rotverschiebung eines Rücksignals in einem flachen Universum zwischen zwei Beobachtern?

benrg · Answer 1

Deine Ableitung sieht gut aus. Ich habe keinen wesentlich einfacheren Weg, um das Problem zu lösen, aber vielleicht bringt dies einen Einblick. Ihr Experiment entspricht einem, bei dem 2 das Signal an 3 sendet, die sich in der gleichen Entfernung wie 1 befindet, jedoch in die entgegengesetzte Richtung. Das wiederum ist gleichbedeutend damit, dass 2 überhaupt kein Signal empfängt oder sendet, sondern es einfach von 1 nach 3 durchlässt. Das Problem läuft also darauf hinaus, die Rotverschiebung des Signals als Funktion der zurückgelegten Entfernung zu finden und zu betrachten, was passiert mit der Rotverschiebung, wenn Sie die Entfernung verdoppeln.

Du hast

Δ R_{A B} = C \int_{T_{A}}^{T_{B}} \frac{D T}{A (T)} = K (T_{B}^{1 / 3} - T_{A}^{1 / 3}) = K T_{A}^{1 / 3} (\sqrt{1 + z_{A B}} - 1)

$Δr_{ab} = c \int_{t_a}^{t_b} \frac{dt}{a(t)} = K \, (t_b^{1/3} - t_a^{1/3}) = K \, t_a^{1/3} \, (\sqrt{1{+}z_{ab}}-1)$ (mit der Tatsache, dass

1 + z_{a b} = a (t_{b}) / a (t_{a}) = (t_{b} / t_{a})^{2 / 3}

$1{+}z_{ab} = a(t_b)/a(t_a) = (t_b/t_a)^{2/3}$ ), für einige konstant

K

$K$ . Daher gilt für eine feste Startzeit,

Δ R_{A B} \propto \sqrt{1 + z_{A B}} - 1.

$Δr_{ab} \propto \sqrt{1{+}z_{ab}}-1.$

Dann lösen Sie $\sqrt{1{+}z'}-1 = 2(\sqrt{1{+}z} - 1)$ für $z'$ und einstecken $z=5$ . Ich bekomme $z'\approx 14$ .

Beachten Sie, dass Sie hier die Rotverschiebung von 1 nach 3 berechnen oder im ursprünglichen Problem die Rotverschiebung von 1 zurück zu 1 unter der Annahme, dass 2 ein Signal mit derselben Frequenz sendet, die sie empfangen hat (oder nur einen Spiegel verwendet). Wenn Sie stattdessen die Rotverschiebung von 2 nach 1 berechnen, ist sie kleiner als die Rotverschiebung von 1 nach 2, da sich die Expansion verlangsamt hat und eine geringere Relativgeschwindigkeit eine geringere Rotverschiebung bedeutet.

Vielen Dank für das Teilen Ihrer Lösung. Schön, dass wir eine ähnliche Antwort bekommen haben. Zur Verdeutlichung, Sie sehen nichts Falsches an den Schritten, die ich unternommen habe?
Können Sie erläutern, wie Sie die Rotverschiebung nach der Integration ersetzt haben? Das ist mir nicht klar, danke.
@Astroturf Deine Ableitung sieht gut aus. Ich habe einen erläuternden Text hinzugefügt.
Anscheinend war meine Antwort laut dem Professor falsch. Also ich glaube wir liegen beide falsch...
Ich verstehe die gepostete Lösung noch nicht ganz, also muss ich warten, bis jemand anderes es herausfinden kann oder ich mit dem Professor spreche, aber für ein anfängliches z von 3 (anders als mein ursprünglicher Post, aber dasselbe Konzept), die richtige Antwort ist Z=1,25. Ich denke, diese Antwort wäre sinnvoller, weil der Lichtstrahl ankommt. idk. Ich bin jetzt verloren.
@Astroturf In diesem Fall besteht das Problem nur darin, dass Sie die 2-zu-1-Rotverschiebung anstelle der 1-zu-1-Rotverschiebung berechnen sollten. $(1+8)/(1+3)-1=1.25$ .
Ich bin mir nicht sicher ob ich das verstehe. Wie könnte eine Rückrotverschiebung geringer sein als die anfängliche Rotverschiebung, wenn sich das Universum ausdehnt?
@Astroturf Bei einer bestimmten Bewegungsentfernung nimmt die Rotverschiebung mit der Zeit ab, da sie eine Funktion der relativen Geschwindigkeit ist und sich die Ausdehnung verlangsamt.
Das macht Sinn, also welcher Schritt meiner Lösung war dann der Fehltritt? Ich versuche zu verstehen, wo ich falsch gelaufen bin. Danke!
@Astroturf An Ihrer Berechnung ist nichts auszusetzen, Sie haben nur das falsche Verhältnis als endgültige Antwort gemeldet. Siehe den letzten Absatz meiner Antwort.

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