Wie gut passen Planetenbahnen zu den ein- und umschriebenen platonischen Körpern von Johannes Kepler?

In Mysterium Cosmographicum (1596) schlug Johannes Kepler vor, dass die relativen Abstände zwischen den Umlaufbahnen der sechs alten Planeten (sechs, weil der Heliozentrismus kürzlich die Erde als einen der Planeten hinzugefügt hatte) der Geometrie der fünf platonischen Körper entsprechen. Jede Planetenumlaufbahn wurde als der große Kreis einer Kugel angenommen. Jeder platonische Körper würde die orbital definierte Sphäre eines inneren Planeten umschreiben und in derselben Position die "Orbitalsphäre" des nächsten äußeren Planeten einschreiben.

  • Wie gut passt es?
  • Ist es irgendwie mathematisch mit dem ebenso falschen Bodeschen Gesetz verwandt?
  • Ich würde mich über einige Hinweise oder Links zur geometrischen Berechnung selbst freuen, damit ich sie mit meiner eigenen Übung vergleichen kann, in der ich versuche, einen Teil davon zu lösen.

Johannes Kepler schlug diese Reihenfolge vor, Planeten mit Platonik abzugleichen (ich nehme an, weil diese Reihenfolge die beste Übereinstimmung ergibt):

Merkur <-- Planet

Oktaeder <-- Platonischer Körper

Venus

Ikosaeder

Erde

Dodekaeder

Mars

Tetraeder

Jupiter

Würfel

Saturn

Antworten (1)

Es ist einfach genug, die Berechnungen durchzuführen, Formeln für die Innen- und Umfangsradien der platonischen Körper können hier gefunden werden , die Verhältnisse von Zirk zu Innenradien von angeben (beachten Sie die Formel für die Radien, die den gemeinsamen Faktor der Seitenlänge fallen gelassen haben, die wir brauchen wir nicht, da wir an den Verhältnissen interessiert sind):

>ri4=sqrt(6)/12,rc4=sqrt(6)/4
     0.204124 
     0.612372 
>
>ri6=1/2,rc6=sqrt(3)/2
          0.5 
     0.866025 
>
>ri8=sqrt(6)/6,rc8=sqrt(2)/2
     0.408248 
     0.707107 
>
>ri12=sqrt(250+110*sqrt(5))/20,rc12=(sqrt(15)+sqrt(3))/4
      1.11352 
      1.40126 
>
>ri20=(3*sqrt(3)+sqrt(15))/12,rc20=sqrt(10+2*sqrt(5))/4
     0.755761 
     0.951057 
>
>rho4=rc4/ri4
            3 
>rho6=rc6/ri6
      1.73205 
>rho8=rc8/ri8
      1.73205 
>rho12=rc12/ri12
      1.25841 
>rho20=rc20/ri20
      1.25841

Was mit den Bahnradiusverhältnissen von hier verglichen werden kann (Radien in km)

>RMecury=57.9e6;
>RVenus=108.2e6;
>REarth=149.6e6;
>RMars=227.9e6;
>RJupiter=778.3e6;
>RSaturn=1426.7e6;

Jetzt können wir die entsprechenden Radienverhältnisse vergleichen:

>[RVenus/RMecury,rho8]
      1.86874       1.73205 
>[REarth/RVenus,rho20]
      1.38262       1.25841 
>[RMars/REarth,rho12]
       1.5234       1.25841 
>[RJupiter/RMars,rho4]
      3.41509             3 
>[RSaturn/RJupiter,rho6]
       1.8331       1.73205

Was, wie diese Dinge gehen, nicht schlecht ist.

Ich denke, Sie haben am Ende den Wert für rho20 anstelle von rho12 geschrieben, der 1,4725 sein sollte (um mit echten 1,5234 verglichen zu werden). Die Fehler waren also 3% bis 12%, das ist eine gute Schätzung ohne Dinge wie Physik oder Teleskope. Aber für seine späteren Arbeiten war es kaum hilfreich, dass es besser zu den exzentrischsten Planetenbahnen passt.
Ich würde gerne Ihre Berechnungen sehen, da die Wiederholung meiner mit einer unabhängigen Methode das gleiche Ergebnis wie der Hauptpost ergibt. Leider ist dies kein geeignetes Medium, um eine solche numerische Meinungsverschiedenheit auszuräumen.
Ich verwende deine Berechnungen. Sehen Sie sich Ihre letzte Box an, Sie haben 1,25841 zweimal kopiert/eingefügt. rho12 sollte 1,40126 sein, wenn Sie weiter oben schreiben.
Nein, ich habe nicht zweimal denselben Wert kopiert und eingefügt, das ergab die Berechnung für rho12. Ich habe auch die rho12-Berechnung mit Maxima und den beiden Formeln aus der obigen Referenz und von hier wiederholt und das gleiche Ergebnis erhalten. (Ich bin ziemlich bereit zu glauben, dass irgendwo ein arithmetischer Fehler ist, da dies die Natur des Tieres ist, aber ich kann den Fehler, den Sie melden, nicht reproduzieren.)
Tatsächlich unterscheiden sich rho12 und rho20 nicht bis zur 6. Dezimalstelle. Sorry für meine Verwirrung.
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