Wie hängen zusammengesetzte Hadronenfelder mit elementaren Quarkfeldern zusammen?

Hier ist mein grundlegendes Verständnis der Feldtheorie, angewendet auf quantenmechanische Systeme, von Kernen bis zu Elementarteilchen.

Für die Verwendung in der Teilchenphysik beginnt man mit den Teilchen und der quantenmechanischen Gleichung, in die diese Teilchen als freie Wellen passen: Klein Gordon für Bosonen, Dirac für Fermionen und quantisiertes Maxwell für Photonen. Man hat dann die Grundlage, um eine Feldtheorie aufzubauen: Jedes Teilchen hat ein repräsentatives Feld in der gesamten Raumzeit, auf das quantenmechanische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wirken, die ein Teilchen bei (x,y,z,t) erzeugen oder ein Teilchen vernichten und wodurch die Ausbreitung von Teilchen in der Raumzeit erzeugt wird. Der Nutzen besteht darin, dass sie viele Teilchenwechselwirkungen zulassen und die Feynman-Diagramme messbare Größen für diese vielen Körperwechselwirkungen vorhersagen.

Man muss also in der Teilchenphysik immer vom Grundzustand „Teilchen“ ausgehen.

In Ihrem Beispiel bauen Sie eine Feldtheorie auf, in der das Teilchen das Pi0 ist, ein Boson, und dessen freie Teilchenwellenfunktion das Pi0-Feld darstellt. Es hat keinen Sinn zu fragen:

Wenn jemand sagt, dass ein Proton aus zwei Up-Quarks und einem Down-Quark besteht, was sagt er dann über die Beziehung zwischen dem Protonenfeld und den Up- und Down-Quarkfeldern?

denn wenn Sie eine Feldtheorie mit Protonen aufbauen, ist das Protonenfeld nur die ebene Wellenfunktionslösung der Dirac-Gleichung mit der Masse des Protons. In dieser ebenen Welle spiegelt sich kein Zusammenhang mit seinen Kompositen wider.

Vielleicht denken Sie als Mathematiker, dass all diese Felder wirklich in der Raumzeit vorhanden sind? Sie sind ebenso ein kompliziertes Koordinatensystem, sie sitzen nicht im Raum, um eine definierbare Beziehung haben zu müssen.

Will man eine Pi-Protonen-Streuung mit einer Feldtheorie beschreiben, die nur Hadronen zugrunde legt, kann man das mit den Daten vergleichen und wird feststellen, dass der Vergleich bei hohen Energien (Quark- und Gluon-Jets) und einer anderen Feldtheorie versagt Modell wird benötigt, basierend auf dem zusammengesetzten Zustand von Protonen und Pionen, die Felder müssen die ebenen Wellenlösungen von Quarks und Antiquarks usw. sein. Das neue Modell wird die Daten beschreiben, wo auch das Hadronenmodell tat, also dominiert es, aber aufgrund von Aufgrund der unterschiedlichen Wellenfunktionsbasis für die beiden Feldtheorien ist es analytisch nicht möglich zu zeigen, wie das einfachere Hadron entsteht.

Wenn jemand sagt, dass ein Proton aus zwei Up-Quarks und einem Down-Quark besteht, was sagt er dann über die Beziehung zwischen dem Protonenfeld und den Up- und Down-Quarkfeldern?

Dies wird keine annähernd vollständige Antwort sein, aber es hebt einen Kontext hervor, in dem diese Frage relativ direkt angesprochen wurde: numerische Berechnungen mit Gitter-QCD.

Eines der Hauptziele dieser numerischen Berechnungen ist die Vorhersage des Hadronenspektrums. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, einen Vakuumerwartungswert wie z$G(x-y)=\langle 0|A(x)A(y)|0\rangle$Wo$A$ist beispielsweise der effektive Feldoperator für ein Hadron. Nach Auswertung$G(x-y)$numerisch als Funktion von$|x-y|$, konnten wir auf die Masse des Hadrons schließen$m$indem man das Ergebnis anpasst$G(x-y)\sim \exp(-m|x-y|)$. Ich beschönige natürlich viele Details; Aber der Hauptpunkt hier ist, dass dies nur funktioniert, wenn wir eine Vorstellung davon haben, für welchen Operator wir es verwenden sollten$A$. Da das Modell in Form von Quark- und Gluonfeldern formuliert ist, bedeutet dies, dass wir eine Vorstellung davon haben müssen, wie man einen Hadronenfeldoperator ausdrückt$A$in Bezug auf die Quark- und Gluonfelder.

Wir wissen nicht genau, wie das geht, aber für einige Anwendungen wissen wir genug . Dinge wie der Spin, die Ladung und andere konservierte Größen (wie der Isospin in reiner QCD) des Hadrons stellen einige Einschränkungen dar, und wie üblich ist die einfachste Wahl ein guter Ausgangspunkt, wenn keine zusätzlichen Informationen vorliegen. Darauf wird in Abschnitt 5.2 in [1] eingegangen, wo es auf Seite 261 heißt:

Um die Kanäle mit unterschiedlichen Quantenzahlen herauszurechnen, müssen die entsprechenden hadronischen Operatoren aus den Quark- und Gluonenfeldern konstruiert werden. Die Wahl der zusammengesetzten Operatoren ist weitgehend willkürlich. Tatsächlich muss man den optimalen Operator finden, der eine ausreichend starke Kopplung mit dem betreffenden Hadron hat und gleichzeitig ohne allzu große Schwierigkeiten ausgewertet werden kann.

Das Wort Interpolationsoperator wird manchmal verwendet, um sich auf eine Auswahl des Operators zu beziehen$A$. Das Buch fährt fort, Beispiele zu zeigen, wie$A\sim \overline{d}\gamma_5 u$für das geladene pion und$A\sim$[eine bestimmte Kombination von$uud$] für ein Proton. Die Idee ist, dass wenn einer dieser Operatoren$A$wird auf den Vakuumzustand angewendet$|0\rangle$, ist der resultierende Zustandsvektor eine Überlagerung, bei der mindestens ein Term einem Einzelteilchenzustand des interessierenden Hadrons entspricht. Wählen$A$Nachdenklich kann dazu beitragen, die Beiträge anderer Terme zu minimieren oder zumindest dabei zu helfen, das Hadron mit der kleinsten Masse zu isolieren, das derjenige ist, der dominiert$G(x-y)$im Großen und Ganzen$|x-y|$. Dies wird auf Seite 266 in [1] anerkannt, wo es heißt:

Die Quark-Gluon-Verbundoperatoren für die Berechnung von Hadronenmassen in Gitter-QCD-Simulationen müssen sorgfältig ausgewählt werden, um die Fehler der Ergebnisse zu minimieren. Neben der im vorigen Unterabschnitt diskutierten Quantenzahlstruktur ist die andere Zutat die Koordinatenabhängigkeit der Versuchswellenfunktionen für Mesonen und Baryonen. Für eine starke Überlappung, die zu einem hohen Signal-Rausch-Verhältnis führt, müssen die Quark-Gluon-Verteilungen im Raum eine gewisse qualitative Ähnlichkeit mit den wahren Wellenfunktionen aufweisen.

Das Papier [2] enthält einen relativ knappen Überblick über diese Ideen. Wie im OP angemerkt und durch diese Antwort veranschaulicht, ist die genaue Beziehung zwischen Hadronen und den Quark- / Gluonfeldern noch wenig bekannt. Keine kurze Liste von Referenzen kann alle Gedanken, die in dieses Thema eingeflossen sind, angemessen wiedergeben, aber einige andere Beispiele sind [3], [4] und [5].

Eine der interessantesten Einsichten stammt aus der groß-$N_c$Grenze, wo$N_c$ist die Anzahl der Farben. Diese Grenze scheint weit von der Realität entfernt zu sein (wo$N_c=3$), aber numerische Berechnungen deuten darauf hin, dass es sich in gewisser Weise um eine überraschend gute Annäherung handelt. Unter der Annahme, dass QCD immer noch für große einschränkend ist$N_c$, kommt die in [6] veröffentlichte Analyse zu dem Schluss, dass Mesonen reines Quark-Antiquark im großen$N_c$Grenze (das heißt, die Valenzquark-Näherung wird exakt ), zusammen mit einer Reihe anderer interessanter Schlussfolgerungen. Über Baryonen im Groß-$N_c$Grenze, Abschnitt 38.7 in [7] sagt dies:

Large-N QCD kann als schwach gekoppelte Feldtheorie von Mesonen behandelt werden. Es ist eine Theorie effektiver lokaler Mesonfelder mit effektiven lokalen Wechselwirkungen, in der die Drei-Meson-Kopplung wie folgt skaliert$1/\sqrt{N}$, das Vier-Meson als$1/N$, usw. Im Großen und Ganzen$N$alle Kopplungskonstanten sind schwach. Wie wir bereits wissen, besitzen viele schwach gekoppelte Feldtheorien zusätzlich zu elementaren Anregungen schwere solitonische Zustände, deren Massen bei schwacher Kopplung als Kehrwert der Kopplung divergieren. Gibt es solche Zustände in QCD und seinem effektiven mesonischen Gegenstück? Die Antwort ist positiv. In QCD haben wir$N$-Quark-Zustände – Baryonen – deren Masse proportional ist$N$. Als Spiegelbild dieser Tatsache muss die Niedrigenergie-Mesonik-Theorie Solitonen mit nicht verschwindenden Baryonenzahlen und Massenskalierung als haben$N$. Dies sind die Skyrmionen ... einige Implikationen des Skyrmion-Modells sind modellunabhängig; sie folgen aus QCD in der 't Hooft-Grenze ...

Der Punkt dieses Auszugs ist, dass während QCD Baryonen (im Prinzip) in Form von Quark- und Gluonenfeldern beschreibt, beschreibt die Niederenergie-Effektivtheorie Baryonen auf eine völlig andere Weise (nämlich als Solitonen). Dies veranschaulicht, wie nicht trivial die Beziehungen zwischen den angenommenen Feldern und den vorhergesagten Teilchen in der QFT sein können.

Verweise:

[1] Montvay und Münster (1994), Quantenfelder auf einem Gitter (Cambridge University Press)

[2] "Gruppentheoretische Konstruktion erweiterter Baryonenoperatoren in Gitter-QCD", https://arxiv.org/abs/hep-lat/0506029

[3] Selem und Wilczek (2006), „Hadron Systematics and Emergent Diquarks“, https://arxiv.org/abs/hep-ph/0602128

[4] Lorcé und Liu (2016), „Quark and Gluon Orbital Drehimpuls: Wo sind wir?“, https://arxiv.org/abs/1601.05282

[5] Greensite (2011), Eine Einführung in das Confinement-Problem (Springer)

[6] Witten (1979), „Baryonen im$1/N$Erweiterung", Nuclear Physics B 160 : 57-115

[7] Shifman (2012), Advanced Topics in Quantum Field Theory: A Lecture Course (Cambridge University Press)