Wie hat Kepler sein drittes Gesetz aus Daten „erraten“?

Es ist erstaunlich, dass Kepler seine drei Gesetze durch das Betrachten von Daten, ohne Taschenrechner und nur mit Stift und Papier bestimmt hat. Es ist denkbar, wie er bewies, dass seine Gesetze die Daten beschrieben, nachdem er sie bereits vermutet hatte, aber was ich nicht verstehe, ist, wie er sie überhaupt erraten hat.

Ich werde mich insbesondere auf Keplers drittes Gesetz konzentrieren, das besagt, dass das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse der Umlaufbahn ist.

Ich nehme an, dass Kepler nur mit Daten über die Planeten gearbeitet hat, plus unseren eigenen Mond und die Sonne. Ich mache diese Vermutung, weil ich nicht glaube, dass Kepler Daten über andere Monde, Kometen oder Asteroiden hatte, die noch nicht mit Teleskopen beobachtet wurden. Wenn dies wahr ist, bedeutet dies, wenn man weiß, dass Neptun, Uranus und Pluto noch nicht entdeckt wurden, als Kepler lebte, Kepler weniger als 9 Datenpunkte hatte, mit denen er arbeiten konnte.

Mein Freund behauptet, dass es durchaus vorstellbar ist, wie Kepler diese Beziehung erraten hat (obwohl er keine Methode dafür liefert, wie Kepler es getan haben könnte), und dass Keplers Beobachtungen "nicht so schwer" sind. Als Herausforderung gab ich meinem Freund eine Datentabelle mit einer beschrifteten Spalte x , das andere j , und 9 Koordinaten ( x , j ) die zur Beziehung passen x 4 = j 3 . Ich sagte: "Bitte finden Sie die Beziehung zwischen x und j “, und wie zu erwarten war, ist ihm das nicht gelungen.

Bitte erklären Sie mir, wie um alles in der Welt Kepler erraten hat, dass diese Beziehung mit so wenigen Datenpunkten funktioniert. Und wenn meine Annahme, dass die Anzahl der Datenpunkte, die Kepler zur Verfügung hatte, gering ist, falsch ist, dann denke ich immer noch, dass es ziemlich schwierig ist, diese Beziehung ohne einen Taschenrechner zu erraten.

Er verwendete nur Daten über den Mars. Sein Chef, Tycho Brahe, sagte ihm, er solle ein für alle Mal die rückläufige Bewegung des Mars herausfinden. Und das tat er auf fantastische Weise. Das dritte Gesetz kam von seiner astrologischen Musteranpassung in Harmonices Mundi und er hatte genug Daten, um dieses geometrische Problem zu lösen. Mehr Daten hätten ihm nicht geholfen. Tatsächlich wählte er nur eine Teilmenge der Marsoppositionen aus, die Tycho Brahe beobachtet hatte.
Auf Physik gepostet und dann zu HSM migriert .
Kepler hatte viele Daten, um sein erstes und zweites Gesetz abzuleiten, die jeweils für einen einzelnen Planeten gelten, aber sein drittes Gesetz ist ein völlig anderes Tier. Es setzt die Bahneigenschaften verschiedener Planeten zueinander in Beziehung. Egal wie viele Daten Tycho gesammelt hatte, es gab nur sechs Planeten (die Erde mitgezählt, aber nicht die Sonne oder den Mond), und ihre Bahneigenschaften wurden nicht so sehr beobachtet, sondern von Kepler (mühsam) berechnet. Sechs Punkte, jeder mit einem hohen Fehlerspielraum, reichen aus, um eine lineare Beziehung zu demonstrieren, aber kaum.
@LocalFluff: Ich habe auch gelesen, dass Kepler im Grunde nur Daten über den Mars verwendet hat. Aber angesichts der Tatsache, dass der dritte Hauptsatz Beziehungen zwischen Umlaufzeiten verschiedener Satelliten ausdrückt, wie hätte er das möglicherweise tun können, egal wie viele Informationen er allein über den Mars hatte?
@MarcvanLeeuwen Ich denke, es kommt auf seine neue physische Sicht der Dinge an. Dass dieselben Naturgesetze universell alle Bewegungen leiten. Andere führten später die mühsamen Berechnungen durch, um dies für alle Planeten und den Mond und Halley für einen Kometen zu bestätigen, sicherlich schon im 17. Jahrhundert. Nur die Umlaufbahn des Merkur passte wegen subtiler relativistischer Effekte nicht ganz.
@LocalFluff: Das beantwortet meine Frage überhaupt nicht. Man kann die Steigung nicht aus einem Diagramm berechnen, das nur einen Datenpunkt hat (die Umlaufbahnform und die Umlaufzeit des Mars), egal wie genau dieser Datenpunkt ist.
@MarcvanLeeuwen Er hatte auch die Erdumlaufbahn. Aber eine einzige Umlaufbahn reicht aus, um den dritten Hauptsatz zu testen, und dann ist es eine Philosophie der Physik, dieses Ergebnis zu verallgemeinern.

Antworten (2)

Keplers Darstellung, wie das dritte Gesetz entstand, lautet wie folgt (Caspar S.286; Hervorhebung von mir):

Am 8. März dieses Jahres 1618, falls eine genaue Zeitangabe erwünscht ist, tauchte sie in meinem Kopf auf. Aber ich hatte Pech, als ich es in die Berechnung einfügte und es als falsch zurückwies. Endlich, am 15. Mai, kam es wieder und eroberte mit neuem Einsetzen die Dunkelheit meines Geistes, woraufhin eine so ausgezeichnete Übereinstimmung zwischen meiner siebzehnjährigen Arbeit an den tychonischen Beobachtungen und meiner gegenwärtigen Überlegung entstand, dass ich zuerst glaubte, ich hätte sie geträumt und in den unterstützenden Beweisen das Gesuchte annehmen. Aber es ist ganz sicher und genau, dass das Verhältnis zwischen den periodischen Zeiten zweier beliebiger Planeten genau das Anderthalbfache des Verhältnisses der mittleren Entfernungen beträgt .

Obwohl Kepler die Inspiration, die ihn zu dieser Annahme veranlasste, nicht wirklich beschreibt, liefert die merkwürdige Formulierung einen sehr starken Hinweis, wenn sie mit einigen biografischen Hintergrundinformationen kombiniert wird:

  1. John Napier veröffentlichte 1614 Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto , das die damals neue Erfindung der Logarithmen enthielt. Kepler war sich Napiers Arbeit bis 1617 bewusst (Caspar S. 308), vielleicht früher.
  2. Joost Bürgi veröffentlichte fast zur gleichen Zeit wie Napier Arbeiten über Logarithmen, und Kepler war sich Bürgis in ähnlicher Weise bewusst und lobte sogar seine mathematischen Fähigkeiten als die der meisten Mathematikprofessoren.

Daher ist Keplers Aussage gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Daten in einem Log-Log-Diagramm eine Steigung von 1,5 aufweisen, was auf dieser Skala eine sehr einfache lineare Beziehung darstellt.

Verweise:

  1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, New York, 1993).
Interessant, dass er die mittlere Distanz erwähnt hat .
@CodesInChaos JETZT macht die große Halbachse für mich (intuitiv) Sinn.

Keplers drittes Gesetz ist (meiner Meinung nach) trivial im Vergleich zu seinem ersten Gesetz. Ich bin ziemlich beeindruckt, dass er daraus schließen konnte, dass die Bahnen Ellipsen waren. Um das zu bekommen, musste er hin und her gehen, um die Richtung des Mars von der Erde und die Richtung der Erde vom Mars zu bestimmen. Er kannte die Länge der Jahre beider Planeten, daher würden Beobachtungen, die im Abstand von einem Marsjahr gemacht wurden, sich nur unterscheiden, weil sich die Erde bewegt hatte.

Aber vielleicht nicht so trivial. Seine ersten beiden Gesetze veröffentlichte er im Jahr 1609. Das dritte Gesetz kam erst zehn Jahre später, im Jahr 1619, auf den Markt. Nach zehn Jahren Arbeit daran wird schließlich auch der unklarste Zusammenhang gefunden.

Um eine Verhältnis-der-Potenzen-Beziehung zu entdecken, zeichnen Sie die Logarithmen der Zahlen auf. In deinem Beispiel mit x 4 = j 3 , würden die Protokolle auf einer geraden Linie mit einer Steigung von dargestellt 3 / 4 .

Der Zeitpunkt stimmt. Napier veröffentlichte 1614 sein Buch über Logarithmen. Kepler hat dieses glänzende neue mathematische Werkzeug möglicherweise aus einer Laune heraus auf seine verkrusteten alten Daten angewendet.

Die größte Hürde war, dass es damals nur sechs bekannte Planeten gab, er also nicht über eine Fülle von Datenpunkten verfügte, und die, die er hatte, waren keineswegs genau.

Keplers anderes Problem ist, dass ihm keines seiner Gesetze Sinn machte. Sie passten zu den Daten, aber er hatte keine Ahnung warum. Er hatte keine Newtonschen Bewegungsgesetze, mit denen er arbeiten konnte, er hatte kein Verständnis von Kraft, Impuls, Drehimpuls und schon gar nicht von Schwerkraft. Soweit er wusste, bewegten sich die Planeten so, wie Gott es befohlen hatte, und Engel wurden damit beauftragt, die Planeten entlang ihrer Bahnen zu schieben. Die äußeren Planeten bewegten sich langsamer, weil sie von kleineren Engeln angetrieben wurden.

(Feynman bemerkt, dass wir jetzt so viel mehr verstehen. Wir wissen jetzt, dass die Engel von außen in Richtung Sonne drängen.)

Obwohl ich kaum ein Gelehrter von Keplers Werk bin, ist AFAIK die Zuschreibung der Erklärung der Engel an Kepler eine vollständige Erfindung. Haben Sie eine Referenz dafür, die entweder von Kepler geschrieben wurde oder eine, die Kepler direkt zitiert?
Kepler versuchte tatsächlich, den Magnetismus (der damals wegen William Gilbert populär wurde) dazu zu bringen, die Bewegungen der Planeten um die Sonne zu erklären. Dies ist die Grundlage der physikalischen Wissenschaft. Er ließ die Engel in der Kirche. Und er verwendete nur ausgewählte Daten über den Mars und hatte viel mehr Daten, als er verarbeiten konnte. Big Data seiner Zeit. Mangelnde Daten waren überhaupt nicht sein Problem.
Tatsächlich Caspar p. 67: „Es ist der neue Gedanke, dass in der Sonne eine Kraft sitzt, die die Planetenbewegungen hervorruft, und die um so schwächer ist, je weiter der Planet von der Quelle der Kraft entfernt ist Buch spricht er von einer 'anima motrix', einer sich bewegenden Seele; aber schon in einem Brief aus dieser Zeit verwendet er das Wort 'vigor', Kraft." Aber Anima Motrix ist kein Engel ... dieser deutsche Wikipedia-Artikel über Anima Motrix ist auch interessant.
@StanLiou Ja, man muss den Kontext der Wörter beachten. „Seele“ ist ein Wort für Kraft. So wie wir heute unsere Technikgesellschaft mit einfachen Worten für Naturphänomene und Landwirtschaft beschreiben: (Weizen-)Feld, (Fischer-)Netz, (Fluss-)Strömung. Sogar neue Begriffe kommen als "Wolke" heraus. Wir meinen das nicht wörtlich, noch war das Wort „Seele“ immer wörtlich gemeint. Ein mittelalterlicher Bauer könnte durch ein Lehrbuch über Elektronik ziemlich verwirrt werden!
@LocalFluff Ja, um einen vertrauten Vergleich anzustellen, der ursprüngliche Name der kinetischen Energie war vis viva ("lebende Kraft"), der Begriff, der aus früheren Traditionen übernommen wurde, sich aber nicht auf das wörtliche Leben bezieht. Der Begriff selbst hat sich bis heute auch in der Orbitalmechanik erhalten.
Wenn Sie sagen, dass Kepler nicht viele Datenpunkte hatte, bin ich mir nicht sicher, ob das genau richtig ist. Tycho Brache hatte eine bessere Ausrüstung als jeder andere vor ihm, daher waren die planetaren Datenpunkte, die Kepler erhielt, zehnmal genauer als die Menschen zuvor. Er hatte auch die Daten von Copernicus, aus denen er ableiten konnte, dass die Umlaufbahn des Mars fast 2 Grad von der Ellipse der Erde entfernt war (etwas, das Copernicus nicht bemerkt hatte). Mit besseren Daten, der ersten Person, die verschiedene elliptische Ebenen erkannte, und einer soliden mathematischen Grundlage war er in der Lage, Dinge zu berechnen, die niemand zuvor hatte.
Ich würde einen Link posten, um das zu sichern, aber ich kann ihn gerade nicht finden. Sie haben Recht, dass Keplers Gesetze für ihn keinen Sinn ergaben. Das habe ich auch gelesen. Eigentlich mochte er keine Ellipsen und er verstand nicht, warum Umlaufbahnen nicht kreisförmig waren. Kreise gefielen ihm besser, aber er konnte sie nicht an die Daten anpassen.
Gute Antwort. Würden Sie mir bitte sagen, woher Kelper das Planetenjahr des Mars kennt?
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