Wie hoch ist die Auswirkungswahrscheinlichkeit?

Ich... mag diese Frage. Das Wichtigste zuerst: TLE-Sätze sind für eine genaue Schätzung der Kollisionswahrscheinlichkeit nahezu nutzlos, da sie keine Schätzung der Unsicherheit in der Umlaufbahn enthalten, was sich letztendlich auf Ihre Kollisionswahrscheinlichkeit auswirkt.

Angenommen, Sie erhalten für jeden Satelliten eine vollständige Nachricht mit einem hochpräzisen Zustandsvektor und einer zugehörigen Kovarianzmatrix (vollständiger 6x6-Zustand ist besser, aber 3x3 kann funktionieren) , gibt es ein paar Dinge, die Sie tun können. Es gibt einige verschiedene Methoden, um dies zu schätzen. Schauen Sie sich die Arbeiten von Alfano und Patera an, um ein paar Beispiele zu finden.

Das Problem läuft hauptsächlich darauf hinaus, die Überlappung der Unsicherheit zum Zeitpunkt der größten Annäherung abzuschätzen. Stellen Sie sich "Unsicherheit" (in 3 Dimensionen) als Ellipsoid vor - wenn Sie mit Wahrscheinlichkeitskonzepten vertraut sind, ist es Ihre multivariate Wahrscheinlichkeitsdichte. Nun kann man sich die Kollisionswahrscheinlichkeit als den Betrag der Überlappung zwischen diesen beiden Ellipsoiden vorstellen. In Ihrer speziellen Situation haben Sie keine vollständigen Zustands- und Unsicherheitsinformationen für beide Objekte, aber hier gelten ähnliche Konzepte (sie treffen im Wesentlichen einige Annahmen und kombinieren die Unsicherheit der Objekte).

Um zu versuchen, Ihre Fragen direkter zu beantworten:

1. Ich nehme an, Sie fragen, welchen Mindestabstand Sie (als Betreiber) tolerieren sollten. Das ist schwer mit einem konkreten Wert zu beziffern. Normalerweise erhalten Sie eine Schätzung der Kollisionswahrscheinlichkeit und weisen diesem Bereich einen Schwellenwert zu, z. In Bezug auf die Entfernung, die einen "Treffer" darstellt, wird normalerweise angenommen, dass beide Objekte kugelförmig sind. Dies kann schwierig sein, wenn Sie nicht viel über das andere Objekt wissen.

2. Siehe oben für die Grundkonzepte, aber die Implementierung erfordert offensichtlich Kenntnisse über probabilistische Konzepte, Umlaufbahndynamik und (vorzugsweise) Zustandsschätzungstechniken.

Schließlich ist dies ein sehr aktives Forschungsthema, und es gibt oft Artikel, die einen "neuen" Weg beschreiben, dies zu tun. Ich sollte auch erwähnen, dass das, was ich erklärt habe, zwar oft in der Praxis durchgeführt wird, es jedoch mehrere Gründe gibt, anzunehmen, dass es tatsächlich keine genaue Schätzung der Kollisionswahrscheinlichkeit liefert.

Leider ist die offene Literatur zu diesem Thema spärlich, aber die Suche nach den oben erwähnten Autoren und tatsächlich nur den Begriffen "Satellitenkollisionswahrscheinlichkeit" wird Ihnen einige sehr nützliche Treffer bringen, wenn Sie den richtigen Zugriff haben (AIAA-Journalpapiere, z Beispiel).

Sie können dies jedoch numerisch statt analytisch mit Monte-Carlo-Methoden schätzen. Hier ist ein schneller und schmutziger Weg, dies zu tun:

1. Probe von Ihrem "primären" Satelliten (der, für den Sie den Konjunktionsbericht erhalten haben). Generieren Sie dazu einen normalverteilten 3x1-Zufallsvektor mit Mittelwert Null und Einheitsvarianz (die Standardnormale ). Nehmen Sie nun Ihre 3x3-Kovarianz für dieses Objekt und finden Sie seine Cholesky-Zerlegung (Sie sollten in der Lage sein, eine Routine dafür zu finden Ihr Softwarepaket - "chol" in Matlab) und multiplizieren Sie es mit Ihrem Zufallsvektor. Sie haben jetzt Ihren Wahrscheinlichkeitsraum abgetastet.

2. Wiederholen Sie #1 für das konjunkturelle Objekt. Sobald Sie jedoch gesampelt haben, müssen Sie jeden Punkt entsprechend seiner Position verschieben, die Ihnen in RIC-Koordinaten gegeben wird. Fügen Sie einfach Ihren Positionsvektor zum Zufallsvektor hinzu.

3. Berechnen Sie den Abstand zwischen Ihren beiden Proben. Notieren Sie die Entfernung.

4. Wiederholen Sie die Schritte 1-3 für eine sehr große Anzahl von Proben (denken Sie an Zehntausende - im Allgemeinen gilt, je mehr, desto besser).

5. Jetzt haben Sie eine Liste mit "Fehldistanzen". Es gibt ein paar Dinge, die Sie damit tun können, aber eine Sache, die besonders hilfreich ist, ist die Konstruktion einer empirischen kumulativen Verteilungsfunktion . Sie können nachschlagen, wie das geht, aber Sie sollten in den meisten Softwarepaketen eine Funktion finden, um dies zu tun (in Matlab ist es 'cdfplot'). Dadurch erhalten Sie einen Plot, der wie folgt aussieht (nur mit x>0):

Nun, eine Möglichkeit, dies zu lesen, besteht darin, eine "Fehldistanz" zu wählen, mit der Sie sich wohl fühlen (z. B. 20 m), und den Wert zu finden$F(x)$bei diesem Wert von$x$. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie sich dem störenden Satelliten auf 20 m oder weniger nähern. Wenn es größer als ein Schwellenwert ist, den Sie mit Ihrem Management festgelegt haben, beginnen Sie mit der lustigen Aufgabe, ein Ausweichmanöver zu planen. Wenn nicht, warten Sie und beobachten Sie. Alternativ können Sie eine Wahrscheinlichkeit angeben, mit der Sie zufrieden sind, und eine damit verbundene Fehldistanz ablesen.

Eine Sache, die Sie bemerken werden, ist, dass Sie sich wirklich auf das Ende Ihrer Handlung konzentrieren ... und Sie werden sehen, dass Sie für eine reibungslose Darstellung am Ende eine ganze Menge Samples benötigen. Also wie gesagt, je mehr, desto besser.

Eine letzte Sache: Wenn Sie diese Schritte befolgt haben, haben Sie die Wahrscheinlichkeitszahl$1\sigma$. Für, sagen wir mal, a$3\sigma$Schätzung, multiplizieren Sie einfach Ihre beiden Kovarianzmatrizen mit Ihrem Faktor (in diesem Fall 3).

Die Gleichung für den Abstand zwischen den beiden Objekten ist einfach die Größe des Vektors zwischen ihren Positionen. Numerische Wurzelfindung wird erleichtert, wenn man die analytische Ableitung kennt, die ist

Das Ergebnis ist, wie nahe die beiden Objekte aneinander vorbeiziehen würden, wenn Sie alles genau wüssten , was Sie natürlich nicht wissen, also müssen Sie Unsicherheiten in das Modell einbeziehen. Die Art und Weise, wie wir Unsicherheit in der Astrodynamik beschreiben, ist mit Kovarianzmatrizen. Mit ihnen drücken wir die Variablen in den Gleichungen als Standardnormalwahrscheinlichkeitsverteilungen aus . Die Integration über diese Verteilungen, wie in der einen unten zitierten Gleichung, berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Distanz der engsten Annäherung (DCA) kleiner als ein benutzerdefinierter Wert ist. Jede Kovarianz beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Werte der zugehörigen Parameter. Die Berechnung kann auf verschiedene Arten erfolgen, einschließlich der in einer anderen Antwort beschriebenen Monte-Carlo-Methodezu dieser gleichen Frage. Position und Geschwindigkeit werden am häufigsten gesehen, aber alles , was unbekannt sein könnte, hat seine eigene Kovarianz (die seine Korrelationen mit den anderen Variablen enthält) und sollte gegen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung integriert werden, die weitgehend repräsentativ für die damit verbundene Unsicherheit ist. Wenn bei diesem speziellen Problem eines oder beide Objekte keine Kugeln sind, dann können die Einstellungsschätzung und ihre Unsicherheit eine große Rolle spielen, wenn Sie dies wünschen, oder Sie können sie der Einfachheit halber wegnehmen.

Auf dieser Detailebene sind alle Algorithmen gleich. Die Unterschiede ergeben sich genau aus den Entscheidungen, die jeder Autor trifft, um die Berechnung zu etwas zu vereinfachen, das relativ schnell durchgeführt werden kann, ohne zu viel Datenerfassung zu erfordern oder zu viel Genauigkeit zu opfern. Das im Dokument „ Probability of Collision in the Joint Space Operations Center “ vom 24. Juni 2016 (im Folgenden PCJ ) beschriebene Verfahren kann verwendet werden, um einen Weg zu veranschaulichen, wie dies geschehen könnte, aber es gibt viele andere Möglichkeiten.

Auf Seite 3 von PCJ heißt es, dass Kovarianz in dem Format verteilt wird, das im empfohlenen Standard für Verbindungsdatennachrichten (CCSDS 508.0-B-1 , im Folgenden CDM ) des Beratenden Ausschusses für Weltraumdatensysteme ( CCSDS ) beschrieben ist . Der beste Ort, um mit dem Lesen zu beginnen, ist am Ende, mit Anhang E (Seiten 66-70 von 72), da dieser die im gesamten Dokument verwendeten Begriffe definiert. Die Radial-, In-Track- und Cross-Track-Werte in der Konjunktionsnachricht sind die Komponenten des Vektors mit DCA als Größe, wenn die Zeit TCA ist. Die Art und Weise, wie diese Begriffe sowohl im CDM als auch im PCJ verwendet werden, die radiale (R) Richtung ist genau radial, so dass die In-Track (T)-Richtung nicht genau mit der Geschwindigkeit ausgerichtet ist, und Cross-Track wird als N (normal zur Umlaufbahnebene) bezeichnet.<1>

CDM legt nicht fest, wie die Kollisionswahrscheinlichkeit berechnet werden soll. Stattdessen gibt es eine Bibliographie von fünf verschiedenen Methoden und ein Verfahren zum Registrieren neuer Optionen für das Methodenschlüsselwort. Ab sofort enthält die vollständige Liste der Space Assigned Numbers Authority (SANA) 14 Optionen. Von diesen listet PCJs eigene Bibliographie Foster 1992 auf (Foster, JL, und Estes, HS, A Parametric Analysis of Orbital Debris Collision Probability and Maneuver Rate for Space Vehicles. NASA/JSC-25898. Houston, Texas: NASA Johnson Space Flight Center, August 1992) und Chan 1997 (Chan, K. Collision Probability Analyses for Earth Orbiting Satellites. InSpace Cooperation into the 21st Century: 7th AAS/JRS/CSA Symposium, International Space Conference of Pacific-Basin Societies (ISCOPS; ehemals PISSTA) (15.-18. Juli 1997, Nagasaki, Japan), herausgegeben von Peter M. Bainum, et al., 1033-1048. Advances in the Astronautical Sciences Series 96. San Diego, Kalifornien: Univelt, 1997). Die neueren Alfano- , Alfriend- , McKinley- und Patera - Methoden werden von PCJ nicht erwähnt , aber einige sind in CDM enthalten .

Zu den Zitaten von PCJ , die Ihre spezifischen Fragen direkt beantworten, gehören:

Bestimmen Sie die längste Entfernung, die die Massenschwerpunkte der beiden Satelliten voneinander entfernt sein können und bei der sich die beiden Satelliten immer noch berühren. Dies definiert den "angegebenen Abstand voneinander", der in verwendet wird$P_c$Berechnung. Beachten Sie, dass, wenn die beiden Satelliten keine Kugeln sind, eine einfache Änderung der Ausrichtung bedeutet, dass sie sich möglicherweise nicht berühren und keine Kollision auftreten würde.

Umschreiben Sie die Primär- und Sekundärobjekte jeweils mit einer Kugel, addieren Sie die beiden Kugelradien, um eine Supervening-Kugel zu erzeugen, die beide umschreibenden Kugeln enthalten kann, und projizieren Sie diese Supervening-Kugel als Kreis in die Konjunktionsebene.

Vorab zugewiesene Standardwerte für Nutzlasten und Plattformen (5 Meter), Raketenkörper und unbekannte Objekte (3 Meter) und Trümmer (1 Meter) wurden durch eine Untersuchung der Größen von Objekten im Weltraumobjektkatalog bestimmt und werden normalerweise verwendet.

Die Kovarianzmatrix für jedes Objekt wird auf seinen eigenen RTN-Koordinatenrahmen referenziert. Für jedes Objekt werden Matrixkomponenten unter Verwendung einer 5-Punkt-Lagrange-Interpolation der Kovarianz in der Ephemeridendatei, die von JSpOC erstellt wird, berechnet, [unter der Annahme], dass primäre und sekundäre Fehler unabhängig sind, was es ermöglicht, dass die "kombinierte" Kovarianz die einfache Summe der einzelnen Kovarianzen (in ein gemeinsamer Rahmen)

Berechnung von$P_c$erfolgt in der Kollisionsebene ... senkrecht zum Relativgeschwindigkeitsvektor bei TCA. Dies reduziert die Mathematik von 3D auf 2D. die zur Berechnung verwendete Gleichung$P_c$ist:

$$\frac{1}{2\pi\sqrt{|C|}} \iint_{x^2+y^2 \leq d^2} \exp \left( -\frac{1}{2} (\r-\r_{SP})^T C^{-1} (\r-\r_{SP}) \right) dx\, dy$$

wo$C$ist die 2X2-Projektion der kombinierten 3X3-Kovarianz bei TCA auf die Kollisionsebene,$|C|$ist die Determinante von$C$,$C^{-1}$ist das Gegenteil von$C$,$d$ist die Summe der beiden Objektgrößen,$\r = (x, y)^T$ist jeder Punkt in der Kollisionsebene so, dass$x^2 + y^2 \leq d^2$, und$\r_{SP}$ist die Position des Sekundärteils relativ zum Primärteil entlang der x-Achse in der Kollisionsebene.

Der JSpOC verwendet Fehlerfunktionen (ERF) zur Berechnung der doppelten Integration in der$P_c$Gleichung. Zusätzlich führt der JSpOC eine Integration über ein Quadrat durch, das den Radiuskreis umschreibt$d$. Dieses Quadrat ist mit den Achsen der kombinierten 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in der Kollisionsebene ausgerichtet. Dies vereinfacht die Berechnung von$P_c$aber ergibt einen sehr geringfügig größeren Wert.

Jede von PCJ getroffene Annahme überschätzt absichtlich die Größe der Objekte und damit absichtlich das Kollisionsrisiko, um eher zu viele als zu wenige Warnungen zu senden. Wenn Sie die Größe, Form und Ausrichtung der beiden Objekte tatsächlich kennen, könnten Sie dies zu Ihrer Berechnung hinzufügen, wie es Georges Krier in Satellite Collision Probability for Long-Term Encounters and Arbitrary Primary Satellite Shape (2017) tut, aber to Um Forminformationen effektiv nutzen zu können, müssen Sie sowohl die Einstellungszustände als auch die darin enthaltenen Kovarianzen gut abschätzen können.

Fußnote <1>: CDM nennt zwei verschiedene Frames, die die Wörter "radial" und "in-track" bedeuten könnten, aber nur einer von ihnen wird tatsächlich im Nachrichtenformat verwendet. Die, die sie verwenden, nennen sie "RTN" für "Radial, Transverse, Normal". Normal bedeutet Einheitsvektor parallel zum Drehimpuls (Positionsquergeschwindigkeit), Radial bedeutet parallel zu dem Vektor, der vom Zentralkörper zum umkreisenden Objekt zeigt (äquivalent vom Objekt weg vom Zentralkörper), und Quer bedeutet den Einheitsvektor, der vervollständigt das rechtshändige System, das in die Ebene der Umlaufbahn irgendwo nahe, aber nicht genau mit der Geschwindigkeit des Objekts zusammenfällt, außer am Apogäum und Perigäum oder wenn die Exzentrizität Null ist. Den Namen, den sie dem anderen Frame geben, tun sie nichtwas Sie verwenden möchten, ist "TVN", was "Transverse, Velocity, Normal" bedeutet, wobei "Normal" dasselbe ist, "Velocity" genau mit der tatsächlichen momentanen Geschwindigkeitsrichtung übereinstimmt und "Transverse" immer noch bedeutet, das rechtshändige System zu vervollständigen, aber das bedeutet, dass es zeigt in der Ebene der Umlaufbahn irgendwo in der Nähe, aber nicht genau zusammenfallend mit dem äußeren radialen Positionsvektor des Objekts, außer am Apogäum und Perigäum oder wenn die Exzentrizität null ist. Diese Namen unterscheiden sich natürlich je nachdem, welchen Autor Sie lesen! Was CDM RTN (verwendet) nennt, wird von PCJ UVW (Fußnote 13, Seite 3) und RSW von Vallado (Seite 157 der 4. Auflage) genannt, während das, was CDM TVN (nicht verwendet) nennt, von PCJ PTW und NTW von Vallado genannt wird .

Das Dokument https://www.space-track.org/documents/How_the_JSpOC_Calculates_Probability_of_Collision.pdf wurde 2016 geschrieben und veröffentlicht. Es beschreibt den Prozess zur Berechnung der Kollisionswahrscheinlichkeit im Combined Space Operations Center (CSpOC) der Vandenberg Space Force Stützpunkt in Kalifornien.