Wie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Nachweiszeiten radioaktiver Emissionen aus einer radioaktiven Probe?

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Anzahl der Atome nach der Zeit$t$ist durch die Poisson-Verteilung gegeben, wie Jon Custer bereits in seinem Kommentar feststellte. Dies ist ein Standardergebnis in der Physik und Sie werden viele Referenzen finden. Die Verteilung der Zeiten zwischen zwei Zerfällen ist jedoch durch die Exponentialverteilung gegeben . Die Exponentialverteilung ist die gedächtnislose Verteilung .

Was bedeutet diese gedächtnislose Eigenschaft? Nehmen Sie die Wahrscheinlichkeit an, während des Zeitintervalls mindestens einen Zerfall zu beobachten$dt$wird von gegeben$P_1 = P(X<= dt)$. Nehmen wir weiter an, dass wir die Zeit bereits abgewartet haben$T$und während dieser Zeit geschah kein Zerfall. Die gedächtnislose Eigenschaft bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass wir während des Zeitintervalls einen Zerfall beobachten$[T, T+dt]$ist auch$P_1 = P(X<= dt)$. Daher ändert sich, egal wie lange wir warten, solange kein Zerfall auftritt, die Wahrscheinlichkeit, einen Zerfall zu beobachten, nicht. Das ist genau das, was wir von einem Zufallsprozess erwarten würden, etwa einem radioaktiven Zerfall. Bsp bei einem$\beta^-$- Zerfall es gibt kein "Aufbauen" des Zerfalls. Stattdessen zerfällt das Neutron schlagartig in seine Bestandteile.

Poissonscher vs. reiner Todesprozess
Entgegen der unmittelbaren Intuition (die sich in den Kommentaren und der früheren Version meiner eigenen Antwort widerspiegelt) haben wir es hier nicht mit einem Poisson-Prozess zu tun , sondern mit einem reinen Todesprozess (so genannt als Sonderfall von mehr allgemeiner Geburts- und Sterbeprozess ). Beides sind Markov-Prozesse, bei denen die Wahrscheinlichkeit des nächsten Ereignisses nur von den Parametern des vorherigen Ereignisses abhängt. Bei einem Poisson-Prozess hängt diese Wahrscheinlichkeit jedoch nicht von der Gesamtzahl der vorangegangenen Ereignisse ab, während sie es beim reinen Todesprozess ist.

Die Wahrscheinlichkeit zu haben$n$nicht zerfallene Atome wird durch die folgenden Gleichungen beschrieben:

$$\dot{p}_n(t) = -\lambda np_n(t) + \lambda (n+1)p_{n+1}(t), n>0,\\ \dot{p}_0(t) = \lambda p_1(t)$$ Der erste Term beschreibt die Reduktion der Wahrscheinlichkeit des Habens$n$Atome aufgrund des Zerfalls eines Atoms unter$n$, der zweite Term beschreibt die Erhöhung dieser Wahrscheinlichkeit durch den Zerfall eines Atoms darunter$n+1$. Der Unterschied zum Poisson-Prozess ist das Vorhandensein von Faktoren$n$Und$n+1$in den Raten, was die Tatsache widerspiegelt, dass die Wahrscheinlichkeit des Zerfalls eines Atoms proportional zur Anzahl der Atome ist.

Die obigen Gleichungen können leicht in die Gleichung für die durchschnittliche Anzahl von Atomen umgewandelt werden,

$$N(t) = \sum_0^{N_0}p_n(t)$$ mit Lösung $$N(t)=N_0e^{-t/T}.$$

Überlebenswahrscheinlichkeit und Übergangswahrscheinlichkeit
Damit ist die Überlebenswahrscheinlichkeit gemeint, also die Wahrscheinlichkeit, dass nach einem Zerfall ein Ereignis eintritt$t'$wir beobachten kein weiteres Zerfallsereignis bis zur Zeit$t$Ist

$$S(t|n,t')=e^{-\lambda n(t-t')},$$ während die Wahrscheinlichkeitsdichte eines anderen Zerfalls zu einem Zeitpunkt$t$Ist $$f(n-1, t|n, t') = -\frac{d}{dt}S(t|n,t') = \lambda n e^{-\lambda n(t-t')}$$

Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte mehrerer Ereignisse
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte von Ereignissen, die zu bestimmten Zeiten auftreten$t_M>t_{M-1}>...>t_2>t_1$, Verlegung im Intervall$[t_0, t]$, bedingt zu haben$N_0$Atome bei$t_0$, ist dann gegeben durch

$$f(t, t_M, t_{M-1}, ..., t_2, t_1|N_0)=\\S(t|t_M, N_0-M)f(N_0-M, t_M|N_0-M+1, t_{M-1})...f(N_0-2, t_2|N_0-1, t_1)f(N_0-1, t_1|N_0, t_0)=\\ S(t|t_M, N_0-M)\prod_{m=1}^Mf(N_0-m, t_m|N_0-m+1, t_{m-1})$$

Referenzen
Als allgemeinen (wenn auch etwas fortgeschrittenen) mathematischen Text zu Punktprozessen und Überlebensanalyse schlage ich Aalen et al., Survival and event history analysis vor

Update
Ich füge der Vollständigkeit halber die Lösung für hinzu$p_n(t)$:

$$P(n, t|N_0) = \begin{cases} {N_0\choose n}e^{-n\lambda t}\left(1-e^{-\lambda t}\right)^{N_0-n}, \text{ for } n\leq N_0,\\ 0, \text{ otherwise}. \end{cases}$$

Wenn Ihre Probenahmezeit mit der Lebensdauer vergleichbar ist$T$Ihres Emitters, dann ist die Verteilung der Zählungen nicht gleichmäßig, sondern exponentiell: in zwei kleinen Behältern, die durch getrennt sind$T$, wird der frühere Behälter um einen Faktor von mehr Zählungen haben$e$.

Wenn Sie eine Zeit lang probieren$\delta t$das ist kurz im Vergleich zur Lebensdauer des Emitters,$\delta t \ll T$, gibt es noch eine Steigung$\frac{d}{dt}N(t) = - N(t)/T$in der Zählrate. Wenn Sie die höheren Ableitungen vernachlässigen, würden Sie erwarten, dass jeder Zeitabschnitt um einen Faktor weniger Zählwerte enthält als sein Vorgänger$\delta t / T$. Ob Sie jedoch zwischen den Zählraten in benachbarten Abschnitten unterscheiden können, hängt von der absoluten Anzahl der Zählungen ab, die Sie einbeziehen. Dank der Poisson-Statistik zwei Zeitabschnitte, die beide vorhergesagt werden$N$zählt tatsächlich erhalten$N\pm\sqrt N$. Wenn Sie also zwei benachbarte Zeitabschnitte mit Breite unterscheiden möchten$\delta t/T = 1\%$, die Anzahl der Zählungen in jedem Bin, die erforderlich ist, um dies mit statistischer Sicherheit zu tun, ist etwa so$\frac{1}{\sqrt{1\%}} = 10^4$. Wenn die Anzahl der in jedem Zeitabschnitt erkannten Zerfälle klein ist, ist es unmöglich, zwischen dem tatsächlichen exponentiellen Zerfall und Ihrer Annahme einer gleichmäßigen Verteilung zu unterscheiden.

Sie interessieren sich für das Eintreffen von Ereignissen innerhalb eines einzigen Zeitfensters, wozu ich sage: Machen Sie Ihr Zeitfenster kleiner und nutzen Sie meine Analyse.

Die Verteilung der Intervalle zwischen aufeinanderfolgenden verwandten Ereignissen hängt ebenfalls mit der Poisson-Verteilung zusammen, wenn auch in gewisser Weise zusammengefaltet. Angenommen, Ihre Ereignisse treten gleichmäßig mit einer durchschnittlichen Rate von auf$1/\tau$, aber unabhängig und unkorreliert. Ihr erstes Ereignis startet eine Uhr, die nicht weniger willkürlich ist als jeder andere Startpunkt. Wenn Sie bis warten$\tau$nach Ihrer Uhr, die Sie erwartet haben, beobachtet zu haben$1\pm1$weitere Veranstaltungen; wenn Sie bis warten$2\tau$Sie erwarten, beobachtet zu haben$2\pm\sqrt2$weitere Veranstaltungen; wenn Sie bis warten$10\tau$Sie erwarten, beobachtet zu haben$10\pm\sqrt{10}$weitere Veranstaltungen. Sie können dies umkehren und sagen, dass die Wahrscheinlichkeit des Habens$10\tau$(oder mehr) Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen ist gleich der Wahrscheinlichkeit, aus einer Poisson-Verteilung mit Mittelwert eine Null zu ziehen$10$: klein, aber nicht vernachlässigbar. Die Wahrscheinlichkeit zu haben$\tau$(oder mehr) Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen ist gleich der Wahrscheinlichkeit, aus einer Poisson-Verteilung mit Mittelwert Null zu ziehen$1$: um$1/e$.

Wenn Sie diesen Prozess integrieren, lernen Sie, dass Zwischenankunftszeiten durch die Exponentialverteilung beschrieben werden .