Warum teilen wir die Standardabweichung durch n−−√n\sqrt{n}? [Duplikat]

Ein wesentliches Konzept zum Verständnis dieses Prozesses ist, dass alles, was wir im Labor messen, im Grunde eine Stichprobe aus der großen Anzahl von Experimenten ist, die zur Bestimmung des tatsächlichen Mittelwerts erforderlich sind$\mu$. Also der aus dem Experiment erhaltene Mittelwert, also der Mittelwert eines gemessenen Wertes$N$mal ist im Grunde ein Stichprobenmittelwert.

Wir können den tatsächlichen Mittelwert erhalten, indem wir die Messung unendlich oft wiederholen, wodurch wir eine normale Kurve mit Mittelwert erhalten$\mu$und Varianz$\sigma^2$. Da dies in der Praxis nicht durchführbar ist, nehmen wir eine endliche Anzahl von Messungen vor$X_1, X_2, ... , X_N$im Labor, und nehmen Sie den Stichprobenmittelwert$\bar{X}$, definiert als:

$$\begin{equation} \bar{X}= \frac{X_1+X_2+...+X_N}{N} \end{equation}$$

Dies wird als „im Experiment erzielter Mittelwert“ angegeben. Es ist erwähnenswert, dass$\bar{X}$ist kein bestimmter Wert, sondern eine Zufallsvariable und hat eine Standardabweichung ($\sigma_\bar{X}$) damit verbunden, was in unserem Interesse liegt.

Jede der Einzelmessungen$X_1, X_2, ... , X_N$sind auch normale Zufallsvariablen, unabhängig und mit dem Mittelwert identisch verteilt$\mu$und Varianz$\sigma^2$. Es sollte klargestellt werden, dass diese Standardabweichung ($\sigma$) unterscheidet sich von der Standardabweichung des ( Stichproben- )Mittelwerts ($\sigma_\bar{X}$).

Da alle$X_i$'s sind identisch und unabhängig, Varianz von$N\bar{X}\left(=X_1+X_2+...+X_N\right)$Ist

$$\begin{equation} \sigma^2_{N\bar{X}}=N\sigma^2 \implies N^2\sigma^2_{\bar{X}}=N\sigma^2 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \therefore \sigma^2_{\bar{X}}=\frac{\sigma^2}{N} \text{, or } \sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}} \end{equation}$$

Die Hauptmotivation hinter dieser Fehleranalyse besteht darin, den gesamten Satz von Messungen (erforderlich für den tatsächlichen Mittelwert) als Grundgesamtheit und den Satz endlich aufgezeichneter Beobachtungen (im Labor aufgenommen) als Stichprobe zu betrachten . Dann ist dies nichts anderes als das Finden des Standardfehlers im Stichprobenmittelwert.

Eine der Implikationen dieser Formel ist: „Um den Fehler im Mittelwert zu verringern$k$, sollte die Anzahl der durchgeführten Beobachtungen erhöht werden$k^2$."