Addition nach signifikanten Ziffern

Die letzten Ziffern in 1000 sind absolut signifikant, sie sagen aus, dass Sie nicht 1200 haben, nicht einmal 1001, sondern genau 1000. In wissenschaftlicher Notation würden Sie dies schreiben als$1.000 \times 10^3$. Vergleichen Sie dies mit$1\times10^3$wo Sie nur eine signifikante Ziffer haben.

Update: Betrachten Sie das Beispiel aus der Frage$1\times10^3+1.0$. Der erste Term könnte irgendetwas zwischen 500 und 1500 sein, also liegt die Antwort zwischen 501 und 1501. Der erwartete Wert der Antwort ist 1001, aber es so zu schreiben, gibt ein falsches Gefühl von Präzision. Man könnte es schreiben als$1001\pm500$, aber das ist fast dasselbe wie$1\times10^3+1.0=1\times10^3$, das ist die Antwort nach der Regel der signifikanten Stellen.

Die Regel der signifikanten Stellen ist eine Vereinfachung des Prinzips der Fortpflanzung der Unsicherheit . Daher kann es in manchen Fällen zu fehlerhaften Ergebnissen kommen:$1+0.49=1$sieht nicht gut aus. Verwenden Sie die Ausbreitung von Unsicherheiten, wenn Sie präzise Berechnungen benötigen.

Das Arbeiten mit signifikanten Ziffern ist sehr fehleranfällig, da es irreführend sein kann. Es ist viel besser, mit expliziten Fehlern zu arbeiten.

Um Ihr Beispiel mit expliziten Fehlern umzuschreiben:

$\left(1.0 \pm 0.5\right) \times 10^3 + 1.00\pm0.05$

Wir addieren nun die Fehler quadratisch (unter der Annahme, dass sie unkorreliert sind):

$\sqrt{(0.5\times 10^3)^2+0.05^2}=500.0000025000\ldots=0.5\times 10^3$

Das Ergebnis bleibt also offensichtlich erhalten

$\left(1.0 \pm 0.5\right) \times 10^3$

In der tatsächlichen Physik könnte man das nennen$1.00\pm0.05$vernachlässigbar im Vergleich zu$\left(1.0 \pm 0.5\right) \times 10^3$.

Beim Addieren und Subtrahieren können Sie nur bis zur niedrigsten Anzahl von Dezimalstellen gehen . Das heißt, wir haben es beim Addieren/Subtrahieren von Zahlen mit Präzision und nicht mit signifikanten Zahlen zu tun. Wenn Sie zwei Messgeräte haben und das eine auf 0,1 mm und das andere auf 1 mm genau ist, dann können Sie das kombinierte Maß nicht definitiv auf 0,1 mm angeben, sondern aufgrund des kleineren Messgeräts nur auf 1 mm Ihre Gewissheit angeben.

Für Fall 1 haben Ihre Zahlen 1 Dezimalstelle und 2 Dezimalstellen, also ist die niedrigste eine Dezimalstelle, daher die 0,2 im Ergebnis.

Für Fall 2 haben Ihre Zahlen 0 Dezimalstellen und 1 Dezimalstelle, also ist die niedrigste null Dezimalstelle, daher das Fehlen im Ergebnis.

1000 hat, wie bereits erwähnt, 4 signifikante Stellen, was besagt, dass der gemessene Wert zwischen 999,5 und 1000,5 liegt. 1,0 hat 2 signifikante Stellen, bleibt aber mit einer Genauigkeit von 0,05 gemessen. Das Addieren der Zahlen ergibt ein Ergebnis mit einer Genauigkeit von 0,5, daher ist es Unsinn, das Ergebnis mit 1 Dezimalstelle zu notieren. Wenn Ihr gemessener Wert von 1000 tatsächlich nur 1 signifikante Stelle hat, sollten Sie dies als notieren$1\cdot10^3$, wobei angegeben wird, dass der Wert zwischen 500 und 1500 liegt. Das Hinzufügen von 1,0 ändert die Zahl nicht, da in Potenzen von 10 1,0 geschrieben wird als$0.0010\cdot10^3$, das Ergebnis ist$1\cdot10^3$. Rechnen Sie beim Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Zehnerpotenzen immer in dieselbe Potenz um und achten Sie darauf, dass die signifikanten Stellen erhalten bleiben.

$1000$hat eine mehrdeutige Anzahl signifikanter Stellen. Es könnte 1 haben, es könnte 4 haben. Ich denke, es wird allgemein angenommen, dass es vier hat, sofern nicht anders angegeben. (Zum Beispiel habe ich Leute gesehen, die eine Linie über die letzte signifikante Ziffer gesetzt haben, wie folgt:$1\overline000$.) Aus diesem Grund ist die wissenschaftliche Notation nützlich. Wenn Sie das sagen$1000$hat$1$signifikant, dann können wir das schreiben als$1\times10^3$und du kannst schreiben$1.0$als$1.0\times10^0$. Zusammengerechnet bekommt man$1.001\times10^3$. Wenn Sie Ihre signifikanten Ziffern durchziehen, landen Sie immer noch bei$1\overline000$.

Allerdings, wenn Sie sagen$1000$hat 4 signifikante Stellen (d.h.$100\overline0$), dann schreibst du es als$1.000\times10^3$und dann, wenn Sie hinzufügen$1.0\times10^0$, bekommst du noch$1.001\times10^3$aber dieses Mal, wenn Sie Ihre signifikanten Ziffern durchtragen, landen Sie bei$1.001\times10^3$, oder$1001$.