Sollten wir die Instrumentenunsicherheit in die Berechnung der Messunsicherheit einbeziehen?

Betrachten wir das Ergebnis der Kombination zweier Gaußscher Verteilungen der Messperiode$T$(Angenommen, der genaue Wert$T_o$) mit Abweichung$\sigma_1$Und$\sigma_2$:

$$\begin{align} P_1(T) =& N_1 \exp\left(-\frac{(T-T_o)^2}{2\sigma_1^2}\right); \tag{1}\\ P_2(T) =& N_2 \exp\left(-\frac{(T-T_o)^2}{2\sigma_2^2}\right). \tag{2} \end{align}$$ Bei dem die$N_1$Und$N_2$sind die Normalisierungskonstante,$N_1 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}$Und$N_2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}$.

Um den kombinierten Effekt dieser beiden Gaußschen zu untersuchen, betrachten wir eine Messdarstellung$T = t$aus Gleichung (1), und dann ergibt die Gauß-Funktion von Gleichung (2) die endgültige Messung$T$mit Durchschnitt bei$t$. Die korrelierte Gesamtwahrscheinlichkeit:

$$\begin{align} P(T) =& \int_{-\infty}^\infty P_1(t-T_o) P_2(T-t) dt,\\ =& N_1 N_2 \int_{-\infty}^\infty dt \exp\left(-\frac{(t-T_o)^2}{2\sigma_1^2}\right) \exp\left(-\frac{(T-t)^2}{2\sigma_2^2}\right); \\ =& N_1 N_2 e^{-\left(\frac{T_o^2}{2\,\sigma_1^2}+\frac{T^2}{2\sigma_2^2}\right)} \int_{-\infty}^\infty dt \exp\left(-\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2-2\sigma_2^2 t T_o -2\sigma_1^2 t T}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\right); \\ =& N_1 N_2 e^{-\left(\frac{T_o^2}{2\,\sigma_1^2}+\frac{T^2}{2\sigma_2^2}\right)} \int_{-\infty}^\infty dt \exp\left\{-\left[\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\right] \left(t^2-2t \frac{\sigma_2^2 T_o + \sigma_1^2 T}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\right) \right\}; \\ =& N_1 N_2 e^{-\frac{T_o^2\, \sigma_2^2 + T^2\,\sigma_1^2}{2\,\sigma_1^2\, \sigma_2^2} + \frac{(\sigma_2^2 \, T_o + \sigma_1^2\, T)^2}{2\sigma_1^2\,\sigma_2^2 (\sigma_1^2+\sigma_2^2)} } \int_{-\infty}^\infty dt \exp\left\{-\left[\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\right] \left(t- \frac{\sigma_2^2 T_o + \sigma_1^2 T}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\right)^2 \right\}; \\ =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} \exp\left\{-\frac{T_o^2\, \sigma_2^2 + T^2\,\sigma_1^2}{2\,\sigma_1^2\, \sigma_2^2} + \frac{(\sigma_2^2 \, T_o + \sigma_1^2\, T)^2}{2\sigma_1^2\,\sigma_2^2 (\sigma_1^2+\sigma_2^2)} \right\} \sqrt{\pi\frac{2\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\\ =&\sqrt{\frac{1}{2\pi\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}} \exp\left\{-\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2\left( T - T_o\right)^2}{2\,\sigma_1^2\, \sigma_2^2 \left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)} \right\} \\ =&\sqrt{\frac{1}{2\pi\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}} \exp\left\{-\frac{\left( T - T_o\right)^2}{2\, \left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)} \right\} \\ \end{align}$$

Das konfluente Integral gibt eine Gaußsche Verteilung mit einer Abweichung wieder

$$\sigma^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2.$$

Sicht des Ingenieurs, vorsichtig vorgehen!

Wenn Sie Unsicherheit melden, möchten Sie jeden Beitrag zusammen in einem einzigen Wert melden; Manchmal ist es jedoch notwendig, zwischen den Beschränkungen des Instruments und der durch wiederholte Messungen gemessenen Unsicherheit zu unterscheiden. Wenn Sie ein idealer Vermesser wären, könnten Sie einfach sagen$1.3 \pm 0.05 \text{ s}$wobei die Stoppuhr in 0,1s-Schritten misst. Dies würde für die meisten Anwendungen ausreichen, auch wenn es probabilistisch noch viel mehr darüber zu sagen gibt. Es ist eine Frage der Auflösung. Wenn Sie also eine bessere Leistung wünschen, verwenden Sie einfach eine bessere Stoppuhr. Andernfalls kombinieren Sie die Unsicherheit in Quadratur und geben Sie diese Zahl an.

Technisch gesehen sollten Sie nun bedenken, dass jede Messung aufgrund des Instruments mit einer Unsicherheit verbunden ist, sodass möglicherweise eine gewisse Ausbreitung von Fehlertermen zu berücksichtigen ist. Ich muss meine eigenen Referenzen überprüfen, wenn ich zu meinem Bücherregal zurückkomme.

Das Wichtigste ist sicherzustellen, dass jeder, der Ihre Arbeit liest, versteht, wie und warum Sie die Unsicherheit so berechnet haben, wie Sie es getan haben. Dies ist der Zweck von Dingen wie GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement). Ich empfehle die Verwendung von GUM zB beim Veröffentlichen. Zum Beispiel würden instrumentelle Fehler mit GUM unter Typ-B-Fehler fallen.

Übrigens würde mich auch die Meinung anderer dazu interessieren; Ich bin selbst kein Experimentalexperte!

Ich würde folgendes machen

1. Einmal sammle ich alle Maßnahmen für$T, \bar{T}$Und$\sigma$, würde ich überprüfen, was der Wert von$3\sigma$da Sie auf diese Weise eine Wahrscheinlichkeit von 99,73 % haben, dass alle möglichen Fehlerwerte wahrscheinlich in diesem Bereich enthalten sind. Wenn Sie nur ein Sigma verwenden, würden Sie nur 68,27 % abrechnen. Beachten Sie, dass es im CERN und anderen großen Forschungslabors dieses berühmte Kriterium gibt, dass 5 Sigmas benötigt werden, um ein Ereignis als Entdeckung zu betrachten.
2. Wenn dieser Wert Ihres menschlichen Fehlers größer ist als die Unsicherheit Ihrer Stoppuhr, würde ich definitiv verwenden$3\sigma$
3. Wenn dieser Wert nicht größer ist, was unwahrscheinlich ist, würde ich die Unsicherheit Ihres Geräts als Fehler verwenden.

Im Allgemeinen sind Sie daran interessiert, die größten von ihnen zu nehmen, wenn Sie Fehler aus verschiedenen und unabhängigen Quellen haben. Wenn Sie sicher sind, dass diese Quellen verwandt sind und sich gegenseitig beeinflussen, sollten Sie auf jeden Fall beide Abweichungen so kombinieren, wie Sie es erwähnt haben

$$\Delta=\sqrt{(3\sigma)^2+\sum \Delta _{sources}^2}$$