Wie kommt die Formel zur Berechnung von Nieder- und Hochfrequenz in einem Bandpassfilter zustande?

Wie kommen diese Formeln zustande?

Beginnen Sie mit einem verallgemeinerten Bild Ihrer Schaltung:

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Aus den üblichen Gleichungen für einen Operationsverstärker mit negativer Rückkopplung können Sie Folgendes finden:

$$v_o = -Z_1\frac{v_i}{Z_2}$$

Ersetzen Sie nun die Impedanzen für die Elemente in Ihrem Design und Sie werden schließlich in der Lage sein, die Hoch- und Niederfrequenzgrenzwerte in Bezug auf diese Elementwerte zu erhalten.

Wenn Sie wissen, dass diese Frequenzen gut getrennt sind, kann es hilfreich sein, dies anzunehmen$Z_1$sich bei der Berechnung der unteren Grenzfrequenz in der unteren Frequenzgrenze befindet und$Z_2$bei der Berechnung der Hochfrequenz-Grenzfrequenz in der Hochfrequenzgrenze liegt.

Allgemeiner Ansatz

Ich bin sicher, dass Sie mit dieser invertierenden Verstärkerkonfiguration sehr vertraut sind. Und Sie wissen sicher, dass die Übertragungsfunktion für einfache Widerstände nichts Schwierigeres ist als:

$$G_s=\frac{V_\text{o}}{V_\text{i}}=-\frac{R_\text{feedback}}{R_\text{source}}$$

Also in deinem Fall$R_\text{feedback}$Und$R_\text{source}$werden stattdessen$Z_\text{feedback}$Und$Z_\text{source}$. So:

$$G_s=\frac{V_\text{o}}{V_\text{i}}=-\frac{Z_\text{feedback}}{Z_\text{source}}$$

An diesem Punkt ist es nur eine Art "Füllen Sie die Lücken". Für Widerstände,$Z_\text{R}=R$. Aber für Kondensatoren$Z_\text{C}=\frac1{s\,C}$.

$$G_s=\frac{V_\text{o}}{V_\text{i}}=-\frac{Z_{R_1}\mid\mid Z_{C_1}}{Z_{R_2}+Z_{C_2}}=-\frac{R_1\mid\mid \frac1{s\,C_1}}{R_2+\frac1{s\,C_2}}$$

Wenn Sie ein bisschen Algebra-Zeug machen (oder wie ich schummeln und sympy verwenden , damit ich die üblichen Risiken vermeiden kann, dabei sehr menschliche Fehler zu machen):

$$G_s=-\frac{R_1\,C_2\,s}{s^2+\left(\frac1{R_1\,C_1}+\frac1{R_2\,C_2}\right)s+\frac{1}{R_1\,C_1\,R_2\,C_2}}$$

Satz$\alpha=\frac12 \left(\frac1{R_1\,C_1}+\frac1{R_2\,C_2}\right)$,$\omega_{_0}=\frac1{\sqrt{R_1\,C_1\,R_2\,C_2}}$, und erstelle das Einheitslose$\zeta=\frac{\alpha}{\omega_{_0}}$.

Trennt man den Gewinn so ab$K=\frac{R_1\,C_2}{R_1\,C_1+R_2\,C_2}$(Sie können rechnen$K=\sqrt{G_{j\,\omega_{_0}}\:G_{-j\,\omega_{_0}}}$, aber es gibt weniger formale Methoden, um an denselben Ort zu gelangen) können wir jetzt schreiben:

$$G_s=-K\:\left[\frac{2\zeta\,\omega_{_0}\,s}{s^2+2\zeta\,\omega_{_0}\,s+\omega_{_0}^2}\right]$$

(Beachten Sie, dass$A$wird auch anstelle von verwendet$K$, ebenso wie andere Variablennamen wie z$h$in der Arbeit von Sallen & Key.)

Der Vorteil hier ist, dass wir die Verstärkung isoliert haben$K$, wobei der Rest die Bandpass-Übertragungsfunktion in Standardform ist . Alles, was wir über den Bandpass selbst wissen müssen, ist im Standardformteil enthalten, der nur von bestimmt wird$\zeta$Und$\omega_{_0}$. Alles, was wir über den Gewinn wissen müssen, ist in enthalten$K$und hängt nicht davon ab$\zeta$oder$\omega_{_0}$.

Der Nenner ist quadratisch und die Wurzeln sind:

$$\begin{align*}\left\{\begin{array}{l}s_1=-\alpha+\sqrt{\alpha^2-\omega_{_0}^2}\\s_2=-\alpha-\sqrt{\alpha^2-\omega_{_0}^2}\end{array}\right.\end{align*}$$

$\zeta$ist praktisch. Die folgenden Fälle treten auf (wenn Sie sich den Quadratwurzelterm von ansehen$s_1$Und$s_2$Sie können bemerken, dass es imaginär oder real sein kann):

$$\begin{align*}\text{Damping factor conditions}\left\{\begin{array}{l}\zeta = 1 \left(\alpha=\omega_0\right)&&\text{Critically damped}\\\zeta \gt 1 \left(\alpha\gt \omega_0\right)&&\text{Over-damped}\\\zeta \lt 1 \left(\alpha\lt \omega_0\right)&&\text{Under-damped}\\\zeta = 0&&\text{Un-damped}\end{array}\right.\end{align*}$$

In Ihrem Fall haben Sie einen Bandpass, was bedeutet, dass es sich um den überdämpften Fall handeln muss. Der Quadratwurzelteil der Lösung ist also reell und daher$s_1$Und$s_2$sind beide real (und voneinander verschieden.) Auch hier die$s_1$Und$s_2$Pole repräsentieren tatsächlich Ihre$\omega_{_\text{L}}$Und$\omega_{_\text{H}}$:

$$\begin{align*}\left\{\begin{array}{l}\omega_{_\text{L}}=-s_1=\omega_{_0}\left(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right)=\omega_{_0}\,\zeta\left(1-\sqrt{1-\frac1{\zeta^2}}\right)\\\omega_{_\text{H}}=-s_2=\omega_{_0}\left(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right)=\omega_{_0}\,\zeta\left(1+\sqrt{1-\frac1{\zeta^2}}\right)\end{array}\right.\end{align*}$$

Leicht aus den zuvor entwickelten Variablen zu berechnen. (Und beachte das$\omega_{_\text{L}}\,\omega_{_\text{H}}=\omega_{_0}^2$.)

Beachten Sie, dass die vorherige Übertragungsfunktion nur eine Standardmethode ist, sie zu schreiben. Es ist nicht die einzige Standardform. Ein anderer Ansatz ist das einfache Ersetzen$s$mit$j\,\omega$(Wir gehen davon aus, dass es nicht außer Kontrolle gerät oder dass es nicht ins Nichts absinkt – kurz gesagt, wir gehen davon aus$\sigma=0$.) Auch seit$s_1$Und$s_2$echte Wurzeln sind (für einen per Definition überdämpften Bandpassfilter), können wir wie folgt neu anordnen:

$$\begin{align*} G_s&=-K\:\left[\frac{2\zeta\,\omega_{_0}\,s}{\left(s-s_1\right)\cdot\left(s-s_2\right)}\right]\\\\ &=-K\:\left[\frac{2\zeta\,\omega_{_0}\,j\,\omega}{\left(j\,\omega+\omega_{_\text{L}}\right)\cdot\left(j\,\omega+\omega_{_\text{H}}\right)}\right]\\\\ &=-K\:\left[\frac{2\zeta\,\frac{j\,\omega}{\omega_{_0}}}{\left(1+\frac{j\,\omega}{\omega_{_\text{L}}}\right)\cdot\left(1+\frac{j\,\omega}{\omega_{_\text{H}}}\right)}\right] \end{align*}$$

Der Punkt ist, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, dasselbe darzustellen. Ihre Wahl hängt davon ab, was Sie betonen möchten. (Und natürlich lohnt es sich, ein wenig mit den Gleichungen zu spielen, um zu sehen, wohin sie dich führen.)

(Das Obige gilt übrigens nur für den Fall, dass wir von einem überdämpften Bandpassfilter sprechen. Ich habe einige Annahmen darüber getroffen, dass wir für diese letzte Entwicklung echte und eindeutige Wurzeln haben.)

Validierung am konkreten Fall

Lassen Sie uns einfach schnell etwas entwerfen, meistens zufällig , und sehen, wie gut wir die Ergebnisse vorhersagen können, bevor wir es mit den obigen Konzepten testen.

Ich werde nur willkürlich auswählen$R_1=10\:\text{k}\Omega$Und$C_1=100\:\text{nF}$. (Das sind nur Standardwerte, die mir zuerst eingefallen sind.) Jetzt werde ich machen$C_2=2.2\:\mu\text{F}$weil ich weiß, dass ich möchte, dass es einige niedrige Frequenzen durchlässt (ich hoffe schließlich, einen Bandpass zu machen!) Und lasst uns endlich wählen$\zeta=2$... nur weil.

Das lässt mich mit herausfinden müssen$R_2$. Wenn Sie sympy so oft zum Schummeln verwenden wie ich, dann werden Sie das finden$R_2\approx 6331\:\Omega$. (Ich denke, Sie können anhand der früheren Gleichungen herausfinden, wie Sie dies berechnen können, und brauchen dafür keine Handhaltung.)

So. Ich habe eine Schaltung!!!

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Das sagt mir jetzt eine schnelle Rechnung$K \approx 1.474$oder kurz gesagt, der Durchlassbereich wird sein$\approx +3.368\:\text{dB}$. (Beachten Sie, dass$K$kann in der Nähe sein$\frac{R_1}{R_2}$, ist aber nicht unbedingt genau dieser Wert.)

Das sehe ich auch schnell ein$\omega_{_0}=267.95$(oder$f\approx 42.65\:\text{Hz}$), Das$\omega_{_\text{L}}=71.80$(oder$f_{_\text{L}}\approx 11.43\:\text{Hz}$), und das$\omega_{_\text{H}}=1000$(oder$f_{_\text{H}}\approx 159.16\:\text{Hz}$.)

(Beachten Sie, dass$f_{_\text{L}}$ist auch$\frac1{2\pi\,R_2\,C_2}$und das$f_{_\text{H}}$ist auch$\frac1{2\pi\,R_1\,C_1}$.)

Hier sind die Simulationsergebnisse von LTspice: