Dies sind wirklich mathematische Probleme (Algebra und grundlegende Analysis) und keine biologischen Probleme.

Oinf ergibt sich aus der algebraischen Lösung der ersten Gleichung, die Sie für den stationären Zustand gepostet haben: dh wenn dO / dt = 0; Einfach nach O auflösen.

Die Zeitkonstante ergibt sich, weil es sich um einen exponentiellen Abfall erster Ordnung handelt, den Sie erhalten, wenn Sie eine Gleichung der Form dO/dT = -lambda * O lösen (ein Integral berechnen). Die Lösung dieser Gleichung ist ein exponentieller Abfall von Form O(t) = O(0) * exp(-lambda*t)

Tau ist definiert als 1/Lambda und gibt Ihnen die Zerfallsrate (Relaxationszeitkonstante) an.

Meine Frage ist, wie geht es$O_{inf}$Und$\tau$abgeleitet?

"... es kann einfach gezeigt werden, dass unter Steady-State-Bedingungen .." -- Durch die spezifische Berücksichtigung von Steady-State -Bedingungen können bestimmte Annahmen getroffen werden, wenn das mathematische Modell verwendet wird, das das Buch vorschlägt, was uns letztendlich erlauben wird um zu den Schlussfolgerungen zu gelangen bzgl$O_{inf}$Und$\tau$.

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Ableiten$O_{inf} = \frac{k_{1}}{k_{1} + k_{-1}}$

Wir verwenden die im Buch bereitgestellte Differentialgleichung und stellen sie ein$\frac{\mathrm{dO} }{\mathrm{d} t} = 0$, angesichts der Tatsache, dass wir stationäre Bedingungen in Betracht ziehen; dh ein Zustand des Ionenkanals, in dem seine Spannungsladung und -entladung die gleiche Rate haben. Indem wir die Änderung der Spannungsladung und -entladung auf einen Wert von Null zwingen, können wir nach der stationären Spannungsladung auflösen, dargestellt durch$O$.

$$\frac{\mathrm{dO} }{\mathrm{d} t} = 0 = k_{1}(1-O)-k_{-1}O$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: = k_{1} - k_{1}O + k_{-1}O$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: = k_{1} - O(k_{1} + k_{-1})$$
Wir werden jetzt isolieren $O$indem die Terme auf die linke Seite der Gleichung verschoben und dann durch dividiert werden $(k_{1} - k_{-1})$.

$$0 = k_{1} - O(k_{1} + k_{-1})$$

$$O(k_{1} + k_{-1}) = k_{1}$$

$$O_{inf} = \frac{k_{1}}{k_{1} + k_{-1}}$$

Angesichts der Tatsache, dass das Buch die Massenerhaltung erwähnt, wenn es den Ausdruck kontextualisiert$C + O = 1$, scheint es, dass das Ergebnis dieses (mathematischen) Ausdrucks den offenen (und geschlossenen) Zustand eines Ionenkanals hinsichtlich der Anzahl von Ionen quantifiziert, die den Leitfähigkeitszustand zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht verstärken. Ich denke, dass diese Unterscheidung wichtig ist, weil ich dieser Gleichung in anderen Kontexten begegnet bin und jeder Kontext unterschiedliche Annahmen mit sich bringt, die gemacht werden können und die nicht gemacht werden können.

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Ableiten$\tau = \frac{1}{k_{1} + k_{-1}}$

Wieder beginnen wir mit der Differentialgleichung, aber dieses Mal integrieren wir. Zur Vereinfachung der Notation nehmen wir zuerst die Ersetzungen vor$O = y$Und$\frac{\mathrm{dO}}{\mathrm{d} t} = y'$.

Beginnend mit einem Zwischenschritt aus dem vorherigen Abschnitt,

$$\frac{\mathrm{dO} }{\mathrm{d} t} = k_{1} - O(k_{1} + k_{-1})$$

$$y' = k_{1} - y(k_{1} + k_{-1})$$

und jetzt Anwendung der Trennung von Variablen,

$$\frac{y'}{k_{1} - y(k_{1} + k_{-1})} = 1$$

Wir verwenden dann$u$-Substitution, um die linke Seite der Gleichung zu integrieren, wo$u = k_{1} - y(k_{1} + k_{-1})$Und$u' = -y'(k_{1} + k_{-1})$, was ergibt

$$\int \frac{y'}{k_{1} - y(k_{1} + k_{-1})} = \int 1$$
$$-\frac{1}{k_{1} + k_{-1}} \: \int \frac{u'}{u} = \int 1$$
$$-\frac{ln|u|}{k_{1} + k_{-1}} = t$$

Auflösen für$u$, wir haben

$$- \: \frac{ln|u|}{k_{1} + k_{-1}} = t$$
$$ln|u| = \: - \: t(k_{1} + k_{-1})$$
$$u = exp\begin{Bmatrix} - t \: (k_{1} + k_{-1}) \end{Bmatrix}$$ was dasselbe ist wie $$k_{1} - y(k_{1} + k_{-1}) =exp \begin{Bmatrix} - t \: (k_{1} + k_{-1}) \end{Bmatrix}$$

Jetzt löst man nach$y$und Rücksubstitution$O$für$y$,

$$O = \frac{k_{1}}{k_{1} + k_{-1}} \: \: exp \begin{Bmatrix} - t \: (k_{1} + k_{-1}) \end{Bmatrix}$$
und das zu bemerken $\frac{k_{1}}{k_{1} + k_{-1}} = O_{inf}$wir haben

$$O = O_{inf} \: \: exp \begin{Bmatrix} - t \: (k_{1} + k_{-1}) \end{Bmatrix}$$
Schließlich drücken wir das Exponentialargument erneut aus als

$$- t \: (k_{1} + k_{-1}) = \frac{-t}{\frac{1}{k_{1} + k_{-1}}}$$
Wo $\tau = \frac{1}{k_{1} + k_{-1}},$dann zu bekommen

$$O = O_{inf} \: \: e^{-t/\tau}$$

was der Form der exponentiellen Zerfallsgleichung entspricht,$N(t) = N_{0} \: e^{-t/\tau}$, Wo$N = O$Und$N_{0} = O_{inf}$, Und$\tau$ist definiert als die durchschnittliche Zeitdauer, während der ein Ion durch den Leitungszustand eines Ionenkanals zu einem gegebenen Zeitpunkt unverändert bleibt$t$.