Wie schnell bewegen sich Elektronen in einem Atomorbital?

Der Zustand eines Elektrons (oder von Elektronen) in den Atomen ist kein Eigenzustand des Geschwindigkeits- (oder Geschwindigkeits-) Operators, daher ist die Geschwindigkeit nicht genau bestimmt. Es ist jedoch sehr interessant, eine Schätzung der Größenordnung der Geschwindigkeit von Elektronen im Wasserstoffatom vorzunehmen (und es ist ähnlich für andere Atome).

Die Geschwindigkeit$v$erfüllt

$$\frac{mv^2}2\sim \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}, \qquad mv\sim \frac{\hbar}{r}$$ Die erste Bedingung ist ein Virialsatz – die kinetische und potentielle Energie sind vergleichbar – während die zweite die Unschärferelation ist. Der zweite sagt es dir $r\sim \hbar / mv$die durch die erste ersetzt werden kann (Eliminierung von $r$) zu bekommen (lassen Sie uns ignorieren $1/2$) $$mv^2 \sim \frac{e^2 \cdot mv}{4\pi\epsilon_0\hbar},\qquad v \sim \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} c = \alpha c$$ Also $v/c$, die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit, ist gleich der Feinstrukturkonstante $\alpha$, etwa $1/137.036$. Die Kleinheit dieser Geschwindigkeit macht die nicht-relativistische Annäherung an das Wasserstoffatom so gut (obwohl von vornherein eine nicht-relativistische kinetische Energie angenommen wurde): die relativistischen Korrekturen werden durch höhere Potenzen der Feinstrukturkonstante unterdrückt!

Man könnte diskutieren, wie die Geschwindigkeit von Innenschalenelektronen und Valenzelektronen skaliert$Z$usw. Aber die Geschwindigkeit$v\sim \alpha c$wäre immer noch der Schlüsselfaktor in der Formel für die Geschwindigkeit.

Dies ist das Reich der Quantenmechanik, und klassische Vorstellungen über Punkte wie Elektronen, die sich mit bestimmten Geschwindigkeiten bewegen, treffen in diesem Bereich nicht wirklich zu. Es gibt also keine Durchschnittsgeschwindigkeit oder Mindestgeschwindigkeit oder sogar eine Höchstgeschwindigkeit (außer der Lichtgeschwindigkeit, die die Höchstgeschwindigkeit für jedes Teilchen mit Masse ist).

Am nächsten kommen Sie einem Geschwindigkeitskonzept für ein Elektron in einem Orbital, wenn Sie die Heisenberg-Unschärferelation anwenden, die dies besagt

$$\Delta x \Delta p \geqslant \hbar$$ Wenn Sie also die Größe des Orbitals einstecken, z $\Delta x$und löse nach $\Delta p$Sie hätten eine Schätzung für die Ungewissheit des Impulses, die Sie dann mit der Ungewissheit der Geschwindigkeit in Beziehung setzen könnten.

Ich denke, es kann hilfreich sein, die Antwort auf diese Frage zu vervollständigen, indem man zusammenfasst, was für innere Elektronen passiert.

Wir gehen von einem geladenen Kern aus$Z$mit nur einem einzigen daran gebundenen Elektron. Hinweis, z$Z > 1$dies wäre kein neutrales Atom, aber es ist ein nützlicher Ausgangspunkt für die Berechnung. In diesem Fall findet man aus der nichtrelativistischen Quantentheorie, dass der Mittelwert der kinetischen Energie des Elektrons im Grundzustand gleich ist

$$\left< {\rm KE} \right> = \frac{1}{2} m (Z \alpha)^2 c^2$$ wo$\alpha = e^2/4\pi \epsilon_0 \hbar c$ist die Feinstrukturkonstante, deren Zahlenwert etwa ist$1/137$. Auf dieser Grundlage können wir also sagen, dass die effektive Geschwindigkeit des Elektrons im Grundzustand eines solchen geladenen Atoms (Ions) ist $$v_{\rm r.m.s.} = Z \alpha c.$$ (Sie können sich dies auch vorstellen als den Effektivwert des Impulses dividiert durch die Masse$m$).

Betrachten wir nun neutrale Atome. Die obige Berechnung ergibt eine grobe Schätzung der Größenordnung, wenn wir ersetzen$Z$durch$Z-\sigma_n$wo$\sigma_n$ist ein Abschirmfaktor, der dafür sorgt, dass sich ein Elektron in der Hülle befindet$n$(dh mit Hauptquantenzahl$n$) erfährt im Durchschnitt nicht das gesamte elektrische Feld des Kerns, sondern ein reduziertes elektrisches Feld aufgrund der Anwesenheit der negativen Ladung der anderen Elektronen. Für die äußerste Schale dies$\sigma_n$wird ungefähr sein$Z-g/2$wo$g$ist die Anzahl der Elektronen in der äußersten Schale (in vielen Fällen gleich der Gruppenzahl). Die Idee ist, dass alle Elektronen in den unteren Schalen die Kernladung abschirmen und jedes der Elektronen in der letzten Schale sie etwa die Hälfte der Zeit für die anderen Elektronen in derselben Schale abschirmt. All dies ist nur eine grobe Aussage, die die Auswirkungen der Form der Orbitale ignoriert. Dies führt zu einer Abschätzung der Größenordnung der Effektivgeschwindigkeit der äußersten Elektronen:

$$v_{\rm outer} \approx \frac{g \alpha c}{2}$$ Beachten Sie, dass wir die Tatsache ignoriert haben, dass die Wellenfunktion selbst anders ist für$n > 1$verglichen mit$n=1$, also wird es weitere Faktoren in Bezug auf geben$n$.

Wenn man nun zu den inneren Schalen übergeht, kann man als nehmen$\sigma_n$ungefähr die Anzahl der Elektronen in den Schalen bei oder niedriger als die, an die Sie denken. Für Schale$n$diese Nummer ist$2 n^2$. Dann bekommen wir also

$$v_{\rm inner} \approx (Z - 2 n^2) \alpha c.$$

So findet man für Uran ($Z = 92$) liegen die Geschwindigkeiten für die innerste Schale in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit. Dies macht dieses Atom zu einem nützlichen Testbett für die relativistische Quantentheorie. Im weiteren Sinne von Cäsium$(Z = 55)$oben haben die inneren Elektronen Geschwindigkeiten in der Größenordnung der halben Lichtgeschwindigkeit und von Francium$(Z=87)$etwa die Hälfte der Elektronen haben Geschwindigkeiten über einem Drittel$c$.

Insgesamt sind also schnelle Elektronen ein wesentliches Merkmal der Atomphysik schwerer Elemente. (Und für genaue Berechnungen muss man in jedem Fall relativistische Effekte berücksichtigen, nicht nur das Hoch$Z$Atome).

Das klingt absurd einfach, aber für Größenordnungsergebnisse passt es gut zu Online-Ergebnissen und anderen Ergebnissen hier. Die Leute neigen dazu zu denken, dass die gute alte Newtonsche Dynamik auf atomarer Ebene nutzlos ist, aber sie gelten immer noch, wenn die Geschwindigkeit weit unter der Lichtgeschwindigkeit liegt.

Nehmen Sie einfach die elektrische Kraft zwischen Elektron und Kern, wandeln Sie sie in eine Beschleunigung um a = F / m um und gleichen Sie diese Beschleunigung dann mit der Zentripetalbeschleunigung der Geschwindigkeit im Quadrat über r aus. Das heißt, v = SQRT(rF/m).

Ich weiß, man könnte sagen, das geht nicht, ein Elektron ist nicht wie ein Satellit an einem Punktort, sondern ist eher in einer Elektronenwolke um ein Orbital verschmiert. Aber denken Sie daran - die Definition des Orbitals ist ein Pfad, bei dem jeder Punkt ein Gleichgewicht zwischen kinetischer und potentieller Energie ist. Daher muss jeder Ort auf einer Kugelbahn ein Gleichgewichtspunkt zwischen Zentripetalbeschleunigung und elektrostatischer Anziehung sein.

wobei Epsilon-Null 0,00000000000885 und die Ladung q eines Elektrons 1,606e-19 Coulomb ist.

Beispiel Wasserstoff: