Wie umgeht FM das Gabor-Limit?

Das Gabor-Limit besagt, dass es unmöglich ist, ein Signal gleichzeitig in Frequenz und Zeit zu lokalisieren. Die FM-Kommunikation moduliert die Momentanfrequenz des Trägers im Gleichschritt mit Änderungen im Signal. Dies deutet darauf hin, dass es unmöglich ist, das momentane Signal auch in einem theoretischen Kanal ohne Rauschen perfekt zu bestimmen, oder dass man davon ausgehen muss, dass sich das Signal langsam ändert (bandbegrenzt). Wie wird dies in der Praxis überwunden? Wenn die Demodulation die Annahme eines bandbegrenzten Signals erfordert, was ist die maximale spektrale Effizienz der Frequenzmodulation für eine gegebene Eingangsbandbreite?

EDIT: Zur Verdeutlichung, dies ist eine theoretische Frage. Die Gabor-Grenze scheint zu implizieren, dass "Momentanfrequenz" nicht genau definiert ist, wenn ich es richtig verstehe. Ich bin mir aber nicht sicher. Die Frage läuft auf Folgendes hinaus:

  1. Verstehe ich das Gabor-Limit richtig? Ist „Eigenfrequenz“ eine nicht messbare Größe?

  2. Wenn ich das Gabor-Limit richtig verstehe, wie funktionieren FM-Modulation und -Demodulation trotzdem? Muss der Demodulator davon ausgehen, dass das übertragene Signal auch auf einem theoretisch rauschfreien Kanal bandbegrenzt ist?

"Die FM-Kommunikation moduliert die Momentanfrequenz des Trägers im Gleichschritt mit Änderungen im Signal." Es fällt mir schwer zu verstehen, was Sie hier sagen.
Würde es der Analyse helfen, wenn das modulierte Signal frei von Gleichstromvorspannung wäre und die Modulation gering genug wäre, dass das Signal im Vergleich zu einem unmodulierten Träger niemals einen vollen Zyklus gewinnt oder verliert? In diesem Fall könnte man ein FM-Signal als durch das Integral des zu sendenden realen Signals phasenverschiebungsmoduliert ansehen; in einem solchen Szenario würde eine Rechteckwelle als Dreieckwelle gesendet werden.
Es ist nicht so verwandt, aber warum ändert sich das Signal langsam, wenn es bandbegrenzt ist?! Sie können BW = 100 Hz in der Nähe von 100 THZ haben. Eine weitere Sache, wenn der Demodulator sagt, dass es 10 kHz statt 10,000001 kHz ist, ist es für fast jedes praktische Ziel gleich :)
@Kellenjb: Ich denke, er sagt, dass, wenn man zB versuchen würde, eine Rechteckwelle zu senden, die Trägerfrequenz sofort zwischen den Werten springen würde, ohne dass die Ausgangswellenform selbst einen Sprung haben müsste. Die Schwierigkeit besteht meines Erachtens darin, dass der Informationsgehalt des Signals von seiner sich kontinuierlich ändernden Phase in Bezug auf eine Referenzwelle herrührt; Um ein FM-Signal zu decodieren, muss man die Ableitung dieser Phasenänderungen nehmen. Bei der Ableitung eines verrauschten Signals muss ein Tiefpassfilter verwendet werden, da sonst die Ableitung von hochfrequentem Müll überschwemmt wird.
@supercat Ich hatte das Gefühl, dass er das sagte, aber die Art und Weise, wie es formuliert wurde, veranlasste mich, sehr genau darüber nachzudenken.
Ich denke, es ist eher auf theoretischer Ebene: Das Gabor-Limit-Prinzip besagt, dass Sie den Momentanwert eines Signals nicht bestimmen können, indem Sie ein schmales Fenster des Spektrums nehmen. Aber wie ich es sehe, besteht das Problem nur, wenn Sie den Träger mit einer Bandbreite modulieren, die kleiner als das Doppelte der Bandbreite des modulierenden Signals ist. Wenn Sie diese Anforderung beachten, ist es nach dem Shannon-Theorem möglich, die ursprüngliche Wellenform zu rekonstruieren.
Anders ausgedrückt: In der realen Welt, wie wir sie kennen, gibt es kein "Momentan", sonst wären Rechteckwellen tatsächlich quadratisch, was sie nie wirklich sind. Sie können etwas, das von Natur aus auf Zeit basiert, nicht analysieren, wenn Sie die Zeit aus einem Teil davon vollständig entfernen. Momentan kann nicht „keine Zeit nehmen“ bedeuten, es muss „zu einem bestimmten Zeitpunkt“ bedeuten, wobei der Moment eine angemessene Dauer hat (groß genug, aber nicht länger) für das, was Sie zu messen versuchen.

Antworten (4)

Dies deutet darauf hin, dass es unmöglich ist, das momentane Signal selbst in einem theoretischen Kanal ohne Rauschen perfekt zu bestimmen

Ich würde das umdrehen und sagen, dass es unmöglich ist, das Signal sofort zu bestimmen.

man muss davon ausgehen, dass sich das Signal langsam ändert (bandbegrenzt). Wie wird dies in der Praxis überwunden?

In der Praxis sind unsere Nachrichtensignale bandbegrenzt, so dass dies keine Schwierigkeit darstellt. Tatsächlich haben unsere Nachrichtensignale im Allgemeinen viel weniger Bandbreite als der Träger.

Um sich Ihrer theoretischen Frage zu nähern, ist eine Bandbegrenzung unbedingt erforderlich. Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, einen 1-Hz-Träger mit einem 1-MHz-Signal zu modulieren - das Ergebnis wäre unbrauchbar. Es muss also tatsächlich eine Art Grenze geben.

Vielleicht hilft dir dieser Link weiter. Kurz gesagt, Wissenschaftler haben Experimente durchgeführt und herausgefunden, dass das menschliche Gehör die Gabor-Grenze leicht übertrifft, also verwendet unser Gehirn als Schlussfolgerung keine Fourier-Transformation, um Schallwellen zu verarbeiten, es ist viel komplexer. Also kein Grund zur Sorge)

Link ist jetzt tot.
Was hat das menschliche Gehör mit der Frage zu tun?

Eine Weile ... aber ... Denken Sie daran, dass FM jedes Eingangssignal nimmt, sogar perfekt bandbegrenzt, und Seitenbänder ins Unendliche sendet. Im Gegensatz dazu nimmt AM einen perfekt bandbegrenzten Eingang und hält ihn bandbegrenzt, nur verschoben auf den Träger im Frequenzraum. Dies veranschaulicht die Anwendung der Gabor-Grenze auf die Tatsache, dass es der Frequenzzustand (nicht der Amplitudenzustand) des modulierten Signals ist, das analysiert wird, und nimmt die momentane Natur des Basisbandsignals und überträgt es in den Frequenzbereich ins Unendliche. Es gibt keine praktische Möglichkeit, ein Signal mit unendlicher Bandbreite zu beobachten, daher muss das demodulierte Signal im Vergleich zum ursprünglichen Basisbandsignal verzerrt werden. Diese Ungewissheit wird nur dadurch willkürlich verringert, dass man sich einer rauschfreien Analysefähigkeit mit unendlicher Bandbreite annähert. Dies steht im Gegensatz zu AM, wo Null-Rauschen alles ist, was benötigt wird. (nichtlineare Verzerrung und Kanalphasenverzerrung bleiben als Übung übrig ... :-)

FM-Wellenformen sind in der Frequenz sehr delokalisiert – sie haben mehr als genug Bandbreite, um Merkmale rechtzeitig mit der erforderlichen Auflösung zu lokalisieren.

Die Momentanfrequenz ist eine ganz andere Sache. Wenn Sie eine Wellenform haben: v ( T ) = C Ö S ( ϕ ( T ) ) , dann ist die Momentanfrequenz per Definition F ( T ) = ϕ ˙ ( T ) .

Um dies zu verdeutlichen, ignorieren wir den FM-Teil und betrachten nur eine einfache Wellenform:

X ( T ) = { 0 Wenn  T < 0 Sünde ⁡ ( 2 π T ) Wenn  0 < T < 1 0 Wenn  T > 1

Sie können diese Wellenform so beschreiben, dass sie im Intervall [0,1] eine Momentanfrequenz von 1 und an anderer Stelle eine Momentanfrequenz von 0 aufweist. Das ist keine Aussage über das Frequenzspektrum. Es ist tatsächlich eine getarnte Zeitbereichsbeschreibung! Wenn ich diese Wellenform Fourier-transformiere, stelle ich fest, dass sie wie erwartet nicht perfekt lokalisiert ist, sondern eine gewisse Streuung aufweist, die als eine bei 1 zentrierte Sinc-Funktion dargestellt wird.

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