Wie verleiht das Higgs-Boson anderen Elementarteilchen wie Elektronen Masse? [Duplikat]

In der Feldtheorie wird die Dynamik eines Systems durch eine Lagrange-Funktion beschrieben. Beispielsweise ist für ein freies Skalarfeld (Spin 0) das Lagrange-Feld

$${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 ~.$$ Dann wird die Masse des Teilchens, das diesem Feld entspricht, wie folgt bestimmt. Erinnern Sie sich, dass in der Feldtheorie ein Teilchen als Schwankung eines Feldes verstanden wird. Also ein Feld wie $\phi$kann einen Grundwert haben $h$und ein Teilchen wird als Fluktuation dargestellt $f$auf diesen Basiswert. Also schreiben $\phi(x) = h + f(x)$und indem wir dies in die Lagrange-Funktion einsetzen und zur quadratischen Ordnung expandieren, finden wir $${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial f)^2 - \frac{1}{2} m^2 f^2 - m^2 f h - \frac{1}{2} m^2 h^2$$ Wir sollten uns diesen Lagrange-Operator als Beschreibung der Fluktuation vorstellen $f$. Dann wird die Masse aus dem quadratischen Term als seiend abgelesen $m$. Beachten Sie, dass für diesen einfachen Fall die vermeintliche "Masse" von $\phi$abgelesen aus der ersten Form von ${\cal L}$ist gleich der Masse von $f$. Dies ist nicht immer wahr. Stellen Sie sich beispielsweise ein Skalarfeld vor, das mit einem Interaktionsterm selbstinteragiert $\phi^3$damit die Aktion ist $${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 -g \phi^3 ~.$$ Dann schreiben wie zuvor $\phi(x) = h + f(x)$wir finden $${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial f)^2 - \frac{1}{2} [ m^2 + 6 g h ] \,f^2 + \cdots$$ In diesem Fall finden wir, dass die Masse des Teilchens $f$geändert wird $\sqrt{m^2 + 6 g h}$es hängt also vom "Basiswert" des Felds ab $h$sowie die Kopplungskonstante $g$. Ob ein Feld einen Basiswert haben kann oder nicht, hängt von anderen Faktoren ab, die ich hier nicht erläutern werde.

Auf diese Weise sehen wir, dass das Hinzufügen von Wechselwirkungen die Masse des Teilchens modifiziert, wenn das Feld zufällig eine Art Grundwert hat. Auf diese Weise verleiht das Higgs-Feld dem Elektron Masse. Sehen wir uns das etwas genauer an.

Wir arbeiten mit einer vereinfachten Version des Higgs-Feldes, das durch ein echtes Skalarfeld beschrieben wird$\phi$(im Gegensatz zu dem echten, der eine Grundlage der SU(2) ist). Es interagiert mit sich selbst und dem Elektronenfeld$\psi$gemäß der folgenden Lagrange-Funktion

$${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{1}{4} \lambda \phi^4 - i {\bar \psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - g \phi {\bar \psi} \psi ~.$$ Der letzte Term ist als Yukawa-Wechselwirkungsterm bekannt. Jetzt, $\psi$ist ein fermionisches Feld und darf keinen Basiswert haben. Für das Higgs-Feld schreiben wir $\phi(x) = h + f(x)$und wir finden $${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial f)^2 - \frac{1}{2} [ 3 \lambda h^2 - m^2 ] f^2 - i {\bar \psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - g h {\bar \psi} \psi + \cdots ~.$$ So stellen wir fest, dass das Higgs-Feld einen Basiswert hat $h$, dann das Higgs-Boson (beschrieben durch $f$) hat Masse $m_{\text{Higgs}} = \sqrt{ 3 \lambda h^2 - m^2 }$und das Elektron (beschrieben durch $\psi$) hat Masse $m_{el} = gh$. Dieser Vorgang ist der Higgs-Mechanismus. Wenn $h=0$, das Elektron ist masselos und das war vor langer Zeit so. Irgendwann erreichte das Higgs-Feld einen vev (Basiswert) und $h$wurde ungleich Null und das Elektron war jetzt massiv!

Gl. (5) & (6) zeigen hier , wie Leptonen an das Higgs-Feld koppeln und die vorherige Masse ergeben. Sie sind Begriffe im Lagrange, nämlich.

$$\begin{aligned} \mathcal{L}_{Y} = &-\lambda_u^{ij}\frac{\phi^0-i\phi^3}{\sqrt{2}}\overline u_L^i u_R^j +\lambda_u^{ij}\frac{\phi^1-i\phi^2}{\sqrt{2}}\overline d_L^i u_R^j\\ &-\lambda_d^{ij}\frac{\phi^0+i\phi^3}{\sqrt{2}}\overline d_L^i d_R^j -\lambda_d^{ij}\frac{\phi^1+i\phi^2}{\sqrt{2}}\overline u_L^i d_R^j\\ &-\lambda_e^{ij}\frac{\phi^0+i\phi^3}{\sqrt{2}}\overline e_L^i e_R^j -\lambda_e^{ij}\frac{\phi^1+i\phi^2}{\sqrt{2}}\overline \nu_L^i e_R^j + \textrm{h.c.} \end{aligned}\tag5$$

$$\begin{aligned} \mathcal{L}_{m} = -m_u^i\overline u_L^i u_R^i -m_d^i\overline d_L^i d_R^i -m_e^i\overline e_L^i e_R^i+ \textrm{h.c.} \end{aligned}\tag6$$

Hier jeder Begriff mit einem$_L$oder$_R$Index ist ein Fermion mit linker oder rechter Chiralität, während Koeffizienten wie z$m_u^i$sind wirksame Massen, die aus der folgen$\lambda$s durch Setzen des Higgs-Feldes in (5) auf seinen Vakuum-Erwartungswert, d. h.$\phi^0=\frac{v}{\sqrt{2}},\,\phi^1=\phi^2=\phi^3=0$.

Eichbosonen erfordern eine andere Behandlung, nämlich Gl. (1)-(4) in derselben Quelle. Fermionen können theoretisch auch ohne Eichboson massiv sein, ohne die Eichinvarianz zu verletzen. Zum Beispiel der elektromagnetische Dirac-Lagrangian des Elektrons$\overline{\psi}\left(i\gamma^\mu\left(\partial_\mu+qA_\mu\right)-m_e\right)\psi$erlaubt dies. (Ob das funktioniert, hängt allerdings von der Messgerätegruppe ab.)

Im Gegensatz dazu das Photon$A_\mu$kann nicht einfach so einen Massenbegriff gewinnen, weil das Hinzufügen von an$m^2A_\mu A^\mu$Begriff zu$\left(\partial_\mu-iqA_\mu\right)\phi^\ast\left(\partial^\mu+iqA^\mu\right)\phi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$würde die Eichinvarianz brechen. Tatsächlich ist das Photon masselos. Das Problem ist, dass die W- und Z-Bosonen dies nicht sind, und um ihnen eine messgeräterhaltende effektive Masse zu geben, sind Terme der Form erforderlich$q^2|\phi|^2B_\mu B^\mu$. Wie bei Leptonen ist die Masse proportional zur Amplitude des Higgs-Vakuums.