Wie viel Sigma hatte die Entdeckung des W-Bosons?

Schauen Sie sich Abbildung 1.3 in dieser Vorlesung an .

Die Anzahl der Z-Bosonen, etwa 22, über einem extrapolierten Hintergrund von 0, macht es zu einem Fünf-Sigma.

Das W ist komplizierter, da es durch den Jacobean-Peak (Suche nach Jacobean ) des gesehenen Elektrons erkannt wird, Abb. 1,4, aber immer noch weit über 5 Sigma.

Tatsächlich ist, wenn ein Phänomen weit außerhalb des möglichen Hintergrunds liegt, sogar ein Ereignis über die Statistik hinaus signifikant. Nehmen Sie das Lambda-Baryon . Selbst wenn Sie nur einen sehen, gibt es keinen Zweifel an seiner Existenz. Eine Paarproduktion eines Protons und eines negativen Pions kann nicht unter den Teppich der Statistik gekehrt werden (außer wenn es sich um einen Messfehler handelt, was eine andere Geschichte ist).

Der$W$-Boson wurde 1983 am Collider UA1 entdeckt

Experimentelle Beobachtung isolierter großer transversaler Energieelektronen mit zugehöriger fehlender Energie bei s**(1/2) = 540-GeV UA1 Collaboration (G. Arnison et al.), Phys.Lett. B122 (1983) 103-116, Experiment: CERN-UA-001, Februar 1983

Es gibt keinen Hinweis auf einen Präzedenzfall in der Hochenergiephysik, den eine Entdeckung erfordert$5\sigma$Bedeutung.

Das Experiment beobachtete sechs Kandidatenereignisse ($o=6$). Nach heutigen Maßstäben war der Entdeckungsanspruch nicht streng: Das Papier diskutierte nicht die statistische Signifikanz der Beobachtung. Es wurde jedoch sorgfältig nach möglichen Hintergründen gesucht, mit dem Ergebnis, dass

keiner der betrachteten Prozesse scheint auch nur annähernd wettbewerbsfähig zu sein.

Ich denke, es ist vernünftig zu vermuten, dass die mittlere Anzahl der erwarteten Ereignisse im Hintergrund nur eine Hypothese war$0 < b \ll 1$. Ich vermute also, dass dies ein Fall von kolossaler statistischer Signifikanz ist, vielleicht viel mehr als$5\sigma$.

---

Lassen Sie mich die Bedeutung und Berechnung eines Signifikanzniveaus skizzieren. Bei der Suche nach einem Teilchen behauptet man eine Entdeckung, wenn Beobachtungen, die mindestens so "extrem" sind wie die beobachteten, wahrscheinlich nicht ohne dieses Teilchen gemacht wurden (die Nullhypothese, nur Hintergründe). "Als extrem" wird mit einer Teststatistik wie einem Chi-Quadrat formalisiert, obwohl in diesem Fall als extrem das Beobachten von sechs oder mehr Ereignissen bedeutet.

Wir können diese Wahrscheinlichkeit unter der Annahme berechnen, dass der Hintergrund Poisson- verteilt ist. Nehmen wir als Beispiel$b=10^{-2}$:

$$p(o\ge6 | \text{background only hypothesis, expect } b \simeq 10^{-2}) \simeq 10^{-15}$$ Dies ist im Wesentlichen das, was als bekannt ist $p$-Wert (die Wahrscheinlichkeit, in der Nullhypothese so extreme Beobachtungen zu machen).

Es ist in der Hochenergiephysik üblich, umzuwandeln$p$-Werte in Signifikanzen (einseitig$Z$-Ergebnisse). Die Beziehung ist das ist wenn$X$folgt einer Standardnormalverteilung,

$$p(X > Z) = \text{$p$-value}$$ dh die Höhe der Wahrscheinlichkeit auf der rechten Seite einer Standardnormalverteilung für $X>Z$ist der $p$-Wert. Mit dieser Regel, unsere $p$-Wert entspricht einer Signifikanz von etwa $8\sigma$. Tatsächlich ist hier eine Tabelle mit Hintergrundpegeln $b$, $p$-Werte u $Z$-scores (danke scipy.stats!):

b      p-value           z-score
1      0.000594184817582 3.24165698309
0.5    1.41649373223e-05 4.18649213413
0.1    1.27489869223e-09 5.95823304548
0.01   1.37703605634e-15 7.90157221605
0.001  1.38769893338e-21 9.4708634946
0.0001 1.38876984648e-27 10.8196771789
1e-05  1.38887698418e-33 12.0203550264
1e-06  1.38888769841e-39 13.1128980073
1e-07  1.38888876984e-45 14.1220534022
1e-08  1.38888887698e-51 15.0643755536
1e-09  1.3888888877e-57  15.9515803405
1e-10  1.38888888877e-63 16.7923185584

---

Der$p$-Wert ist

$$p(\text{observing such an extreme outcome, } o \ge 6 | \text{background only hypothesis})$$ Das ist überhaupt nicht gleichbedeutend mit $$p(\text{observing $b$ events, as predicted by background only hypothesis}| \text{best-fitting signal hypothesis, } s = \hat s) = \frac{e^{-\hat s} \hat s^b}{b!}$$ wofür $b=0$Und $s=6$gibt $\text{$p$-value} = 0.002$entspricht weniger als $3\sigma$. Dies ist jedoch die falsche Formel.