Wie weit werde ich wegkommen, wenn ich knapp unter der Fluchtgeschwindigkeit bin?

Sie sprechen von einer elliptischen Umlaufbahn um die Erde. Zwei Punkte auf dieser Ellipse sind von Interesse.

Perigäum - Punkt auf der erdnächsten Umlaufbahn. Apogäum - Punkt auf der am weitesten von der Erde entfernten Umlaufbahn

Wenn Sie von der Erdoberfläche starten, wäre das Perigäum 6378 km vom Erdmittelpunkt entfernt. (6378 ist der Erdradius). Für dieses Problem werde ich so tun, als gäbe es keine Erdatmosphäre.

Der Höhepunkt ist das, was Sie interessiert, der am weitesten von der Erde entfernte Punkt.

Die vis viva-Gleichung ist ein nettes Werkzeug, um die Geschwindigkeit zu finden:

$$v=\sqrt{Gm(2/r-1/a)}$$

Was ist ein? Das ist die große Halbachse. Wir können a finden, indem wir den Durchschnitt der Perigäumsentfernung vom Mittelpunkt und der Apogäumsentfernung vom Erdmittelpunkt nehmen.

Hier ist ein Bild von dem, was ich bisher beschrieben habe:

Uns interessiert die Geschwindigkeit, wenn das Objekt die Erde verlässt, also wäre r 6378 km.

Schauen wir uns noch einmal die vis viva-Frage an:

$$v=\sqrt{Gm(2/r-\mathbf{1/a})}$$

Ich habe bemerkt, dass ich den Begriff fett gedruckt habe, der die Größe der großen Halbachse verwendet. Was passiert, wenn a richtig groß wird? 1/a nähert sich immer mehr der Null.

Für hohe Apogäume haben Sie also etwas sehr Nahes

$$v=\sqrt{Gm(2/r)}$$

Das ist Fluchtgeschwindigkeit.

„Just a hair under escape“ beschreibt eine Vielzahl von Ellipsen!

Stellen wir uns zum Beispiel eine Ellipse vor, deren Apogäum EML1 erreicht, etwa 5/6 des Weges zum Mond. Vergleichen wir es jetzt mit einer Ellipse, deren Apogäum sich bis zur etwa 1,5 Millionen Kilometer entfernten Sonne-Erde L2 erstreckt. Die Perigäumsgeschwindigkeiten dieser beiden Ellipsen unterscheiden sich nur um 0,11 km/s!

Aber wenn Sie so hohe Apogäume erreichen, ist die 2-Körper-Mechanik kein gutes Modell mehr. Die Gravitationseinflüsse von Mond und Sonne reichen aus, um das Objekt aus einer elliptischen Bahn zu biegen. Starten Sie etwas so Hohes wie SEL2 und es ist wahrscheinlich, dass die Sonne das Objekt dem Einflussbereich der Erde entreißen wird.

Du würdest nicht weit kommen, denn das würde dich nicht ganz aus dem Erde-Mond-System entkommen lassen. Ihre Fluchtgeschwindigkeit ist das, was Sie an der Erdoberfläche benötigen würden, um der Erde zu entkommen. (Ich bekomme$11.18\,\mathrm{km/s}$.) Um dem Erde-Mond-System zu entkommen, bräuchte man$11.25\,\mathrm{km/s}$.

Für eine Flucht aus einem Körper, wenn Sie den Radius verlassen$r$mit$1-\epsilon$mal die Fluchtgeschwindigkeit, und Sie gehen mit dieser Geschwindigkeit direkt vom Zentrum des Körpers weg, dann für klein$\epsilon$Sie werden zu bekommen$r\over 2\epsilon$vor dem Zurückfallen.

Ableitung, ausgehend von der Geschwindigkeit$v$im Radius$r$, nur schüchtern von der Fluchtgeschwindigkeit:

$$v_e^2={2\mu\over r}$$ $$v=v_e\left(1-\epsilon\right)$$ $$v^2={2\mu\over r}\left(1-\epsilon\right)^2$$

Bezug der Geschwindigkeit auf Periapsis und Apoapsis unter Verwendung der Energieerhaltung:

$$v^2=2\mu\left({1\over r}-{1\over r_p+r_a}\right)$$

Verwenden Sie für eine Flugbahn direkt von der Körpermitte weg eine Periapsis von Null:

$$v^2=2\mu\left({1\over r}-{1\over r_a}\right)$$

Dann:

$${2\mu\over r}\left(1-\epsilon\right)^2=2\mu\left({1\over r}-{1\over r_a}\right)$$ $${1\over r}\left(1-\epsilon\right)^2={1\over r}-{1\over r_a}$$ $$\left(1-\epsilon\right)^2=1-{r\over r_a}$$

Für klein$\epsilon$:

$$1-2\epsilon\approx 1-{r\over r_a}$$ $$2\epsilon\approx {r\over r_a}$$ $$r_a\approx {r\over 2\epsilon}$$

Wenn Sie also den Fehler machen, die Fluchtgeschwindigkeit der Erde zu verwenden, ohne den Mond zu berücksichtigen, dann$\epsilon$handelt von$0.006$. Du würdest also herumkommen$500,\!000\,\mathrm{km}$von der Erde, bevor er zurückfällt. Etwas weiter als der Mond. Das setzt jedoch voraus, dass der Mond nicht in Ihrer Nähe ist. Wenn ja, dann könnte es Ihnen entweder a) genug Energie geben, um vollständig zu entkommen, oder b) Sie mit weniger Energie zur Erde zurückschicken.

Ganz im Sinne Ihres Beispiels, zB wenn Sie davon ausgehen$11.2\,\mathrm{km/s}$genau die Fluchtgeschwindigkeit ist, dann deine$\epsilon$handelt von$10^{-7}$. Sie würden also etwa 36 Milliarden Kilometer entfernt (240 AU!). Andere Körper wie Sonne, Venus, Jupiter und die Wiederbegegnung mit dem Erde-Mond-System würden jedoch Ihren Kurs lange vorher ändern.

Der einfachste Weg, dies zu berechnen, ist die Verwendung der spezifischen Orbitalenergie . Die folgende Menge bleibt im Laufe der Zeit erhalten:

$$\frac{v^2}{2} - \frac{G(M+m)}{r}$$

da die Masse eines Raumschiffs im Vergleich zur Masse der Erde vernachlässigbar ist, können wir weglassen$m$.

Der weiteste Punkt, den wir erreichen können, ist, wenn wir die gesamte kinetische Energie verbrauchen, also$v=0$. Geschwindigkeit kennen$v$an der Erdoberfläche$R$, wir bekommen

$$\begin{equation} \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R} = - \frac{GM}{r_{\mbox{max}}} \end{equation}$$

Für die Fluchtgeschwindigkeit$v_e$wir haben$r_{\mbox{max}}=\infty$Also

$$\frac{v_{e}^2}{2} - \frac{GM}{R} = 0$$

was dazu führt

$$\frac{GM}{R} = \frac{v_{e}^2}{2}$$

wo$R$ist der Radius der Erde.

Setzen Sie dies in die Gleichung für ein$r_{\mbox{max}}$, wir erhalten

$$\frac{v^2}{2} - \frac{v_{e}^2}{2} = - \frac{GM}{r_{\mbox{max}}}$$ und $$r_{\mbox{max}} = \frac{2GM}{v_{e}^2 - v^2}$$

Wenn wir die gewünschte Geschwindigkeit und den Standard-Gravitationsparameter der Erde ersetzen, erhalten wir (in km)

$$r = \frac{2 \times 398600.4419}{11.2^2-11.199999^2} \doteq 3.56\times 10^{10}$$

das ist ungefähr$238 \mbox{AU}$.

(Die Wirkung aller anderen Himmelskörper haben wir natürlich völlig außer Acht gelassen.)