Wird Computational Fluid Dynamics (CFD) jemals zu 100 % korrekt sein?

Dies ist eine breite Frage, daher eine breite Antwort 😃

So wie High Eng CFD jetzt steht, ist es bereits korrekt genug für, sagen wir, 95 % der Anwendungsfälle. Mir ist kein großer Nutzen bei der Modellierung komplexer turbulenter Strömungen mit hoher Genauigkeit bekannt.

CFD wird immer genauer werden, aber eine 100%ige Genauigkeit wird niemals erreicht werden, nicht zuletzt wenn wir davon ausgehen, dass dies eine 100% genaue Wegvorhersage auf molekularer / atomarer Ebene bedeuten würde.

Die Sache ist, dass nicht einmal die Natur Strömungsereignisse replizieren kann. Jeder Flüssigkeitsfluss ist chaotisch und erscheint nur dann stetig oder sich wiederholend, wenn er in einem ausreichend großen Maßstab beobachtet wird. Von Natur aus gehorcht jeder Fluss dem von Heraklit aufgestellten Prinzip:

„Du kannst nicht zweimal in denselben Fluss steigen“

100% richtig, nein. Das liegt daran, dass CFD (und viele andere Computeranwendungen) mit numerischen Annäherungen arbeiten. Es ist entweder keine exakte Lösung* bekannt oder die exakte Lösung ist nicht berechenbar. Die Anwendung verwendet also numerische Annäherungen, typischerweise auf einem Gitter oder Netz. Um eine bessere Annäherung zu erhalten, verkleinern Sie entweder das Gitter oder verwenden einen kleineren Zeitschritt (beides erhöht die benötigte Rechenzeit). Aber Sie werden nicht 100 % genau, es sei denn, Sie verwenden einen unendlich kleinen Gitterabstand und Zeitschritt**, was unpraktisch ist.

Ein weiteres Problem besteht darin, dass Gleitkommaberechnungen auf einem Computer nur eine begrenzte Genauigkeit haben. (Ungefähr 7 Dezimalstellen für einfache Genauigkeit, 15 für doppelte.

Wenn Sie in turbulente Strömungsregime geraten, stoßen Sie auch auf das Problem der empfindlichen Abhängigkeit von Anfangsbedingungen, auch bekannt als "Chaos" oder "Schmetterlingseffekt". Ändern Sie die Eingabe zu einem Problem, ganz geringfügig, und nach einiger Zeit werden die Ausgaben dies tun ganz anders sein: https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory

*Zum Beispiel Flugbahnen von Raumfahrzeugen. Es gibt keine allgemeine Lösung für das 3-Körper-Problem – wie sich 3 oder mehr Objekte unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegen. Aber numerische Annäherungen sind gut genug, um ein Raumschiff an einer bestimmten Stelle auf dem Mars zu landen oder Gravitationspool zwischen den Monden von Jupiter und Saturn zu spielen.

**Oder die Planck-Länge und -Zeit, wenn Sie die Theorie akzeptieren, dass die Raumzeit quantisiert ist: https://en.wikipedia.org/wiki/Planck_units Beim aktuellen Stand der Computertechnologie gibt es keinen großen praktischen Unterschied :-)

Erstens fragt die Millennium Challenge nach der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für die Navier-Stokes (NS)-Gleichungen unter gegebenen kompatiblen Anfangs-/Randbedingungen. Diese Frage ist aus Sicht der angewandten Mathematik von großem Interesse, hilft aber nicht* beim tatsächlichen Erhalten der numerischen Lösung und ist daher für Ingenieure von begrenztem Interesse.

_{* Aber wer weiß? Vielleicht hilft ein konstruktiver Beweis tatsächlich beim Lösen der Gleichungen.}

Zweitens hat sich gezeigt, dass die Direkte Numerische Simulation (DNS) des NS unter der Annahme, dass Eindeutigkeit und Existenz gelten, extrem gut zu Experimenten passt, bei denen Kontinuum gilt. DNS kann in vielen Fällen sogar Experimente ersetzen, vorausgesetzt, Sie können die Lösung tatsächlich in angemessener Zeit und mit vorhandenen Rechenkapazitäten erhalten. Das Problem liegt darin, die Längenskala der Turbulenz vollständig aufzulösen, was eine Maschenweite erfordern würde, die mit der Reynolds-Zahl skaliert$Re^3$; die Zeitschrittgröße schrumpft auch als Potenz der Reynolds-Zahl. Für jedes vernünftige technische Problem ist der zur Lösung erforderliche Speicher/Prozessor/Zeit für praktische Zwecke unerschwinglich.

Daher der Grund für die Turbulenzmodellierung , die praktische Berechnungen handhabbar macht. Diese Modelle ignorieren die Turbulenz auf kleinen Längenskalen, indem sie ihre Auswirkungen auf die größeren Skalen nachahmen, um Phänomene vorherzusagen, die für Ingenieure von Interesse sind, wie z. B. Luftwiderstand, Strömungsablösung, Wirbel usw. Es gibt jedoch kein kostenloses Mittagessen; durch das „Abschneiden“ der Längenskala werden Turbulenzen nicht natürlich aufgelöst, sondern über Parameter „vorgeschrieben“; und Sie wissen normalerweise nicht, was diese Parameter sein sollten, bis Sie die Turbulenz aufgelöst haben.

Wenn das für Sie nach einer Henne-Ei-Frage klingt, haben Sie Recht! Aus diesem Grund erfordert CFD (mit Turbulenzmodellierung) immer noch eine experimentelle Überprüfung und wird niemals 100% korrekt sein, wie Sie es ausdrücken.

Aus den oben genannten Gründen ist die Antwort definitiv Nein, aber ein Punkt, an den Sie sich hier erinnern sollten, ist, dass High-End-CFD nicht perfekt sein müssen, um immens nützlich zu sein. Stellen Sie sich vor, Sie wollten eine Genauigkeit von 7 Stellen aus einer Temperaturvorhersage in CFD herausholen. Das wäre ein Kinderspiel, denn in der Ingenieurpraxis kann man Freistrahltemperaturen überhaupt nicht mit dieser Genauigkeit messen . (Es wurde gesagt, dass die Genauigkeit von drei Stellen ausreichte, um den SR-71 zu entwerfen.)

Nein, es wird nie 100% genau sein. Luft oder Wasser werden durch die Navier-Stokes-Gleichungen ziemlich gut beschrieben, wenn man davon ausgeht, dass die Flüssigkeit ein Kontinuum ist. Meist wird auch angenommen, dass es sich um Newtonsche Flüssigkeiten handelt.

Die Navier-Stokes-Gleichungen für eine turbulente Strömung müssen numerisch gelöst werden (für einige laminare Strömungen existieren analytische Lösungen). Numerische Lösungen sind für diese Probleme nie exakt, egal welche Genauigkeitsordnung Sie für Ihre Diskretisierungen verwenden (FDM, FVM, DG, FEM, ...). Es wird immer einige numerische Fehler geben (ich ignoriere jetzt die Turbulenzmodellierung, weil es offensichtlich ist, dass die Schließungen immer nur ungefähr sind, die einzige Hoffnung auf genaues Zeug wäre in DNS).

Selbst wenn Sie die Navier-Stokes-Lösungen genau lösen (wie Sie es in einigen laminaren Strömungen tun können), haben Sie nur die Modellgleichungen gelöst. Echte Flüssigkeiten bestehen aus Molekülen, nicht aus einem Kontinuum. Sie könnten eine Molekulardynamiklösung durchführen (siehe https://mattermodeling.stackexchange.com/questions/tagged/molecular-dynamics ), aber Sie werden wieder einige Modellgleichungen lösen - mit einigen Potentialen zwischen Molekülen und Atomen. Echte Moleküle bestehen aus Kernen und Elektronen. Die Elektronen interagieren auf schwierige Weise und es treten Quanteneffekte auf. Sie haben eine inhärente Zufälligkeit. Auch hier gibt es Modelle für viele Teilchenquantensysteme – wie DFT oder HT, aber es gibt Annäherungen, die ihrer Formulierung innewohnen.

Weniger wichtig, Kerne sind offensichtlich auch Verbindungen von Nukleonen, die durch einige komplizierte Potentiale durch Pionen wechselwirken, aber genauer gesagt tatsächlich wieder aus Quarks bestehen).

Jeder der Schritte erfordert natürlich selbst für einige kleine Probleme eine immense Rechenleistung, aber es gibt Barrieren anderer Art in den Modellen selbst, die einige Aspekte im Wesentlichen zufällig machen.

Und dann die ganzen Probleme mit unbekannten Anfangsbedingungen, unbekannten Randbedingungen und deterministischem Chaos. Diese sind sehr wichtig für tatsächliche Lösungen für eine bestimmte Zeit, weniger wichtig für zeitlich gemittelte Werte.

Es gibt verschiedene CFD-Methoden, die alle einige Kompromisse zwischen Rechenkomplexität und Präzision beinhalten. Offensichtlich ist die direkte numerische Simulation , die rechenintensivste, die einzige Methode, die für Ihre Frage in Betracht gezogen werden kann - und selbst in DNS werden kleinräumige Turbulenzen normalerweise parametrisiert. DNS ist bereits fast unerschwinglich, aber wenn Sie über 95 % hinausgehen, werden exponentiell noch mehr Ressourcen für jedes Prozent benötigt. Tatsächlich würde ich intuitiv sagen, dass Sie einen Computer benötigen würden, dessen Rechenleistung der Anzahl der Moleküle entspricht – die per Definition – selbst wenn sie überhaupt existieren könnte – mindestens ein paar Mal größer sein muss als die simulierte Umgebung. Dann gibt es natürlich noch den Millennium-Preis – wenn es keine solche Lösung gibt, könnte Sie keine noch so große Rechenleistung dorthin bringen.

Und vergessen Sie nicht, dass selbst High-End-DNS zu dramatisch falschen Ergebnissen führen kann, wenn ein kleines Phänomen auftritt, das unterhalb der Auflösung des Modells auftritt – etwas, das heutzutage selten ist, vor allem, weil wir damit beginnen, sehr gute Erfahrungen zu machen DNS und die meisten davon sind bereits bekannt.

Keine Simulation, in welchem ​​Bereich auch immer, kann zu 100 % korrekt sein. Nur weil Computer diskretisieren. Und kleine Fehler divergieren exponentiell mit der Zeit (Suche nach Lyapunov-Exponent).

Es ist sicher zu sagen, dass es nie 100% richtig sein wird. Es würde erfordern, jedes einzelne Flüssigkeitsmolekül zu berücksichtigen und zu simulieren. So wenig wie ein Kubikzentimeter Luft hat mehr als 10 hoch 19 Moleküle: es sind mehr als 10.000.000.000.000.000.000 Moleküle. Viel Glück, wenn ein vorhandenes oder zukünftiges Stück Hardware alle Interaktionen zwischen ihnen simuliert.