Wird ein gedämpfter harmonischer Oszillator ohne Anfangsamplitude schwingen, wenn es Hintergrund-"Rauschen" gibt?

Die Position der Masse als Funktion der Zeit ist einfach eine gefilterte Version des "Eingangs"-Signals des zufälligen Rauschens. Um dies im Frequenzbereich zu sehen, nehmen Sie die (Größe der) Fourier-Transformation beider Seiten und ordnen Sie sie neu an:

Zum$\omega = 1$, wir haben

Also für groß$Q$(stark unterdämpft), weist die Positionsfunktion eine starke sinusförmige Komponente auf$\omega = 1$.

Für kleinere$Q$, sollte die Positionsfunktion eine "geglättete" Version der Eingangsrauschfunktion sein, da die Frequenzen deutlich darüber liegen$\omega = 1$fallen mit einer Rate von etwa 40 dB/Dekade ab.

Ein Diagramm der (Betrags-) Übertragungsfunktion$\frac{X(\omega)}{N(\omega)}$für verschiedene Werte von$Q = \frac{1}{2\zeta}$sieht aus wie:

Ich glaube nicht, dass du wirklich eine Antwort brauchst. Die Antwort ist ja, und darüber hinaus haben Sie ein ziemlich solides Modell der Wirkung von Rauschen auf den gedämpften Oszillator erstellt. Ich gehe davon aus, dass Sie Frequenzen normalisiert haben, damit die Eigenfrequenz des Oszillators$\omega_n$ist eine Einheit.

Der einzige Faktor, den Sie nicht erwähnt haben und den Sie anscheinend übersehen haben, ist die spektrale Dichte des Rauschens$N(t)$. Sie können entweder davon ausgehen, dass das Rauschen im Vergleich zur Bandbreite Ihres Oszillators sehr breitbandig ist, in diesem Fall$N(t)$eine unkorrelierte Folge von Zahlen mit einer durch gegebenen Varianz sein$\sigma^2 = \eta\,\int_{-infty}^\infty |H(\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega$wo$\eta$ist die spektrale Leistungsdichte des Rauschens und$H(\omega)$die Fourier-Transformation der Einheitsimpulsantwort Ihres Oszillators. Ansonsten solltest du dir vielleicht Gedanken über die Art der mechanischen/sonstigen Effekte machen, die das Rauschen erzeugen und somit machen$N(t)$eine Folge von Variablen, die korreliert werden, indem Gaußsches weißes (unkorreliertes) Rauschen durch Modelle des Rauscherzeugungsmechanismus geleitet wird, die selbst wahrscheinlich Systeme sind, die durch lineare ODEs genau wie Ihres beschrieben werden. In beiden Fällen werden Sie also Gaußsches, unkorreliertes Rauschen entweder direkt in Ihr System oder durch ein modifiziertes System einspeisen.

Die Antwort muss ja sein, da eine Kraft ausgeübt wird, wird es eine Bewegung geben (wenn es keine Bewegung gäbe, würden die Newtonschen Gesetze natürlich verletzt).

Die Anwendung wird höchstwahrscheinlich winzig sein und der Dämpfungsterm wird dafür sorgen, dass sie winzig bleibt. Wenn es keinen Dämpfungsterm gäbe, könnten Sie starke Schwingungen bekommen.

Die Form des Diagramms wird höchstwahrscheinlich dem ähneln, was Sie basierend auf Schwingungen bei der Eigenfrequenz des Systems vorschlagen - aber ich fürchte, ich verstehe nicht genau, was Sie meinen$N(t)$und das wird natürlich einen starken Einfluss auf die Bewegung haben.

Das erinnert mich an das Problem mit einer Brücke in London , die keine Dämpfung hatte, wo die Eigenfrequenz nahe an der Frequenz von Menschen lag, die gingen. Sie haben die Brücke repariert, indem sie Dämpfung eingebaut haben.