Wird ein geschlossenes Universum mit dunkler Energie immer noch zu einem großen Knirschen zusammenbrechen oder wird es sich für immer ausdehnen?

Die Frage, ob ein geschlossenes Universum kollabieren wird oder nicht, hängt von den Wurzeln der Friedmann-Gleichungen ab. Für$\Lambda$CDM-Modelle, das sind

$$\begin{align} \dot{a}^2 &= H_0^2\left(\Omega_{M,0}\,a^{-1} + \Omega_{K,0} + \Omega_{\Lambda,0}\, a^2\right),\tag{1}\\ \ddot{a} &= H_0^2\left(-\frac{1}{2}\Omega_{M,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}\, a\right),\tag{2} \end{align}$$ Wo $\Omega_{M,0}$Und $\Omega_{\Lambda,0}$sind die heutigen Materie- und Dunkle-Energie-Parameter, wir ignorieren den (kleinen) Beitrag der Strahlung, und $\Omega_{K,0} = 1 - \Omega_{M,0} - \Omega_{\Lambda,0}$. Wir können umschreiben $(1)$als $$f(a) = \frac{a\dot{a}^2}{H_0^2} = \Omega_{M,0} + \Omega_{K,0}\, a + \Omega_{\Lambda,0}\, a^3,\tag{3}$$ zusammen mit seiner Ableitung in $a$ $$f'(a) = \Omega_{K,0} + 3\,\Omega_{\Lambda,0}\, a^2.\tag{4}$$ Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Diese Handlung zeigt$f(a)$für drei Modelle mit$\Omega_{M,0}=2.5$. Das grüne Modell, mit$\Omega_{\Lambda,0} = 0.15$, dehnt sich für immer aus. Das blaue Modell, mit$\Omega_{\Lambda,0} = 0.05$, hat eine Wurzel bei$a_0 = 1.8015$. Seit$\ddot{a}<0$An dieser Wurzel,$\dot{a}$ändert sich von positiv zu negativ, so dass dieses Modell zusammenbrechen wird. Das rote Modell ist ein Grenzfall: hier beides$\dot{a}$Und$\ddot{a}$an der gleichen Stelle Null sind,$a_0 = 2.3490$, die Expansion kommt also vorübergehend zum Erliegen, geht dann aber weiter. Um diese Grenzmodelle zu finden, müssen wir einen Ausdruck für erhalten$\Omega_{\Lambda,0}$für einen bestimmten Wert$\Omega_{M,0}$, so dass

$$f(a_0) = f'(a_0) = 0,$$ Wo $a_0 > 1$. Anstatt zu lösen $\Omega_{\Lambda,0}$direkt lösen wir für $\Omega_{K,0}$Erste. Durch Stecken $$f'(a_0) = \Omega_{K,0} + 3\,\Omega_{\Lambda,0}\, a_0^2 = 0$$ hinein $f(a_0) = 0$, können wir beseitigen $\Omega_{\Lambda,0}$und erhalten $$3\,\Omega_{M,0} + 2\,\Omega_{K,0}\,a_0 = 0.\tag{5}$$ Wir schließen das wieder an $f'(a_0) = 0$Eliminieren $a_0$:

$$4\,\Omega_{K,0}^3 + 12\,\Omega_{\Lambda,0}\,\Omega_{K,0}^2\, a_0^2 = 4\,\Omega_{K,0}^3 + 27(1 - \Omega_{K,0} - \Omega_{M,0})\,\Omega_{M,0}^2 = 0,$$ oder $$\Omega_{K,0}^3 - \frac{27}{4}\,\Omega_{M,0}^2\,\Omega_{K,0} + \frac{27}{4}(1 - \Omega_{M,0})\,\Omega_{M,0}^2 = 0.$$ Dies ist eine kubische Gleichung in $\Omega_{K,0}$der Cardano-Form $t^3 + pt + q = 0$. Seine drei Wurzeln sind

$$\Omega_{K,0}^{(k)} = -\frac{3}{2}\Omega_{M,0}^{2/3}\left[e^{4\pi ik/3} \left((1 - \Omega_{M,0}) + \sqrt{1 - 2\,\Omega_{M,0}}\right)^{1/3} +\right. \\ \left. e^{-4\pi ik/3} \left((1 - \Omega_{M,0}) - \sqrt{1 - 2\,\Omega_{M,0}}\right)^{1/3}\right],$$ mit $k=0,1,2$. Wenn $\Omega_{M,0}\geqslant 1/2$, diese drei Wurzeln sind real, und wir können schreiben

$$(1 - \Omega_{M,0}) + \sqrt{1 - 2\,\Omega_{M,0}} = (1 - \Omega_{M,0}) + i\sqrt{2\,\Omega_{M,0}-1} = re^{i\theta},$$ mit

$$\begin{align} r &= \sqrt{(1 - \Omega_{M,0})^2 + 2\,\Omega_{M,0}-1} = \Omega_{M,0},\\ \theta &= \arccos\left(\frac{1 - \Omega_{M,0}}{\Omega_{M,0}}\right), \end{align}$$ so dass $$\Omega_{K,0}^{(k)} = -3\,\Omega_{M,0}\cos\left(\frac{\theta + 4\pi k}{3}\right).$$ Wenn $\Omega_{M,0}\geqslant 1$, Die $k=1$root definiert die Kollapsgrenze. In der Tat, $\pi/2\leqslant\theta < \pi$, so dass $-3/2\,\Omega_{M,0} < \Omega_{K,0}^{(1)} \leqslant 0,$und von $(5)$wir bekommen $a_0 > 1$. Man kann weiter verifizieren, dass die $k=2$root ist unphysikalisch ( $a_0 < 0$), während $k=0$root definiert die Grenze von Modellen ohne Urknall ( $a_0 < 1$).

Deshalb,

$$\begin{align} \Omega_{\Lambda,0}^{(\text{collapse})} &= 1 + \Omega_{M,0}\left[ 3\cos\left(\frac{\theta + 4\pi }{3}\right) - 1\right] = 4\,\Omega_{M,0}\cos^3\left(\frac{\theta + 4\pi}{3}\right), \end{align}$$ wo wir die Identität verwendet haben $3\cos x = 4\cos^3 x - \cos 3x$. Das folgende Diagramm zeigt diese Grenze zwischen dem roten und dem gelben Bereich. Der rote Punkt entspricht dem roten Modell im ersten Plot. Notiere dass der $\Lambda$Das unserem Universum entsprechende CDM-Modell (schwarzer Punkt) wird nicht zusammenbrechen.

Ein räumlich geschlossenes Universum kann sich unendlich ausdehnen, wenn die Vakuumenergiedichte nicht Null ist.

Ja, ein Universum ohne dunkle Energie wird sich verlangsamt ausdehnen und zu einem großen Knirschen zusammenbrechen. Dies gilt auch dann noch, wenn geringe Mengen an Vakuumenergie resp$\Omega_\Lambda$hinzugefügt. Das große Knirschen wird vermieden, wenn der Dichteparameter$\Omega_\Lambda$einen kritischen Wert überschreitet. Dieser Wert entspricht einem geschlossenen Universum, das sich unendlich ausdehnt. Die Formel dazu ist in Peacocks „Cosmological Physics“ Seite 82 angegeben. Ihre Frage in Bezug auf dunkle Energie zu beantworten ist nicht so streng, weil ihre Natur unbekannt ist. Bisher stimmen die Daten mit der Annahme überein, dass die beobachtete beschleunigte Expansion des Universums auf die kosmologische Konstante zurückzuführen ist$\Lambda$.

Ich glaube, Sie verwechseln möglicherweise die Krümmung des Raum-Zeit-Verteilers mit der räumlichen Krümmung. Sobald Sie die beiden unterschieden haben, müssten Sie auch einige vernünftige Anfangsbedingungen angeben, um Ihre Frage etwas präziser zu machen. In jedem Fall werde ich versuchen, Ihre Frage so gut wie möglich zu beantworten.

Nehmen wir an, um auf derselben Seite zu sein$\Lambda$CDM-Modell der Kosmologie. Sie werden im Artikel sehen, dass die Grundlage dafür die FLRW-Metrik ist , die eine Variable enthält$k$die a priori nur drei Werte annehmen kann, in Ihrem Fall für ein geschlossenes Universum den Wert von$k$entspricht$+1$. Betrachten Sie nun die Friedmann-Gleichung, die sich aus Einsteins Feldgleichungen und der FLRW-Metrik ergibt:

$$H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}{\rho} - \frac{kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$ Um Ihre Frage genau zu beantworten, müsste man also den Inhalt der Materie spezifizieren, dh spezifizieren $\rho$oder zumindest seine Skalierung mit $a$(der Skalierungsfaktor). Wenn es so wäre, wie es jetzt der Fall ist, skaliert die Materiedichte so $a^{-3}$, das kann man schließlich den Begriff Dunkle Energie nennen $\Lambda$wird die Expansion dominieren. Sie können jedoch fragen, ob wir den aktuellen Zustand des Universums in einem geschlossenen Universumsszenario erreichen könnten, aber dafür müssen Sie den Inhalt für verschiedene Epochen spezifizieren. Die einzige Art, wie Sie sich zusammenziehen können, wie Sie aus der Gleichung ersehen können, besteht darin, dass der mittlere Term der rechten Seite dominiert, und das würde nur für sehr spezifische Phasen (kleine $a$aber nicht klein genug, dass damit die $\rho$Begriff dominiert).