Wo ist die Energie in einem verstärkten Kondensator?

Zunächst einmal danke für diese Frage, denn sie hat mich zum Nachdenken über die Relativitätstheorie gebracht, was immer Spaß gemacht hat!

Es ist wahr, dass$E'=\frac{1}{\gamma} E$. Sie sagen, dass die Relativitätstheorie besagt, dass die Energie um einen Faktor von zunehmen sollte$\gamma$. Dies gilt sicherlich für ein massives Teilchen, dessen Energie ist$\gamma mc^2$, aber warum sollten Sie erwarten, dass dies in dieser Situation für die Energie in den Feldern gilt? Ich denke, die Antwort ist einfach, dass es keinen Widerspruch gibt; die Energie in den Feldern transformiert sich um einen Faktor von$\frac{1}{\gamma}$und das ist das!

Eigentlich nicht ganz! (wie Mark in den Kommentaren argumentierte)

Nach der Diskussion in den Kommentaren unten wurde mir klar, dass „das ist das“ vielleicht verfrüht war und nicht den Kern von Marks Frage trifft. Also habe ich tiefer gegraben (nämlich ich habe Jacksons EM durchforstet) und eine Antwort gefunden, die wesentlich vollständiger ist.

Die Definition der Energie- und Impulsdichten in den durch die gegebenen Feldern$\Theta^{00}$und$\Theta^{0i}$Komponenten des (symmetrisch-spurlosen Version des) Spannungstensors (siehe Jackson 12.114)

$$\Theta^{00} = \frac{1}{8\pi}(\mathbf E^2+\mathbf B^2), \qquad \Theta^{0i} = \frac{1}{4\pi}(\mathbf E\times\mathbf B)^i$$ führt zu folgendem Kandidaten für den elektromagnetischen Viererimpuls: $$P_\mathrm{cand}^\mu=\left(\int d^3 x\,\Theta^{00}, \int d^3x\, \Theta^{0i}\right)$$ Leider transformiert sich diese Größe in Gegenwart von Quellen nicht so, wie es ein Vierervektor tun sollte. Der Hauptgrund dafür ist das $$\partial_\alpha\Theta^{\alpha\beta} = -F^{\beta\lambda}J_\lambda/c \neq 0$$ und die räumlichen Integrale von $\Theta^{0\alpha}$ergeben nur dann einen Vierervektor, wenn die Viererdivergenz des Tensors identisch verschwindet. Um dies zu beheben, muss ein Begriff hinzugefügt werden $P^{\mu\nu}$zum Spannungstensor, der die sogenannten Poincaré-Spannungen der Quellen berücksichtigt ; $$S^{\mu\nu} = \Theta^{\mu\nu} + P^{\mu\nu}$$ Dieser neue Tensor hat eine verschwindende Viererdivergenz, vorausgesetzt, die Poincaré-Spannungen werden für das vorliegende System und damit die räumlichen Integrale von geeignet gewählt $S^{0\mu}$sind die Komponenten eines Vierervektors. Jackson weist darauf hin, dass die Poincare-Spannungen als die Beiträge zur Energie des Systems angesehen werden sollten, die von den nicht-elektromagnetischen Kräften stammen, die notwendig sind, um die Stabilität elektrischer Ladungen sicherzustellen.

Aus diesem Blickwinkel lautet die Antwort auf die Frage, dass die zusätzliche Energie, die verloren zu gehen scheint, die in den Quellen vorhandene Energie ist.

Vielleicht stellt sich die Frage insofern, als ich nirgendwo versucht habe, die im Parallelplattenkondensatorsystem vorhandenen Poincare-Spannungen aufzuschreiben, aber im Moment bin ich zufriedener, und hoffentlich, Mark, sind Sie es auch.

Übrigens siehe Kap. 16 in Jackson für viele weitere Details, einschließlich der expliziten Berechnung von Poincare-Spannungen für eine geladene Schale mit gleichmäßiger Dichte.

Prost!

Ich bin vor einem Monat auch auf dieses Problem gestoßen und habe einen Beitrag in meinem Blog geschrieben . Aber ich habe es ganz anders gelöst als alle anderen hier geposteten Antworten. Ich bin mir meiner Argumentation hier noch nicht ganz sicher, aber sie erscheint mir plausibel und interessant.

Die gesamte Feldenergie im Ruhesystem des Kondensators ist

$U=\int \frac{\epsilon_0}{2}E^2dV=\frac{\epsilon_0E^2Ad}{2}$

Ein wichtiger Punkt ist nun, dass sich die Kondensatorplatten gegenseitig anziehen und nicht einfach dort bleiben können, ohne zusammenzustoßen. Nehmen wir also an, es gibt einen starren masselosen Stab zwischen den Platten, um die Platten an Ort und Stelle zu halten.

Im Ruhesystem des Kondensators können wir die Kräfte berechnen, die auf die linke und rechte Platte wirken.

$F=\int (\frac{E}{2})\sigma dA=\frac{\epsilon_0 E^2 A}{2}$

In diesem Rahmen leisten diese Kräfte offensichtlich keine Arbeit. Im grundierten Rahmen spielt der Stab jedoch eine Rolle als Energieübermittler. Ich meine, stellen Sie sich zuerst vor, dass zwischen den Platten kein Stab ist. Da sich die Platten gegenseitig anziehen, wird die rechte Platte langsamer und die linke Platte beschleunigt. Wenn sich nun ein starrer Stab zwischen ihnen befindet, ändern sich ihre Geschwindigkeiten überhaupt nicht. Mit anderen Worten, der Stab nimmt Energie von der linken Platte mit einer Geschwindigkeit auf$F.v$und übertragen Sie es auf die rechte Platte, um die Anziehungskraft zu berücksichtigen. Aber denken Sie daran, dass die Energie nicht sofort von einer Platte zur anderen Platte teleportieren kann. Daher hat vielleicht ein Teil davon die rechte Platte noch nicht erreicht und befindet sich immer noch zwischen den Platten. Oder wir können auch sagen, dass die Masse des Stabes erhöht wird.

*

Im Ruhesystem des Kondensators können wir sicher sagen, dass das Ereignis$1$„Erzwinge den Start, der auf die linke Platte wirkt“ und Ereignis$2$„Kraftstart auf die rechte Platte wirkend“ muss aufgrund der Symmetrie gleichzeitig erfolgen.

Allerdings geht im grundierten Frame die Gleichzeitigkeit verloren. Vorfall$1$das passiert$\Delta t=\gamma \frac{vd}{c^2}$Sekunden vor dem Ereignis$2$. Während dieser Zeit stiehlt der Stab eine Menge Energie$\Delta U$von der linken Platte, ohne Energie an die rechte Platte abzugeben.

$\Delta U=F.v \Delta t=\frac{\gamma \epsilon_0 E^2 Ad}{2} \frac{v^2}{c^2}$

wenn wir diese "verborgene Energie" zur Gesamtenergie im grundierten Rahmen hinzurechnen

$U'=U/\gamma+\Delta U=\frac{\epsilon_0E^2Ad}{2\gamma}+\frac{\gamma \epsilon_0 E^2 Ad}{2} \frac{v^2}{c^2}$

$U'=\frac{\gamma\epsilon_0E^2Ad}{2}=\gamma U$

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* BEARBEITEN:

Die Argumente beginnend mit * bis zur horizontalen Regel können durch eine alternative Betrachtungsweise ersetzt werden, wie von Larry Harson vorgeschlagen:

Nehmen wir nun an, dass der ganze Stab plötzlich gleichzeitig im Ruhesystem des Kondensators verschwindet. So die Veranstaltung$1$„Force Stop wirkt auf die linke Platte“ und Ereignis$2$„ Kraftstopp wirkt auf die rechte Platte“ muss gleichzeitig erfolgen.

Allerdings geht im grundierten Frame die Gleichzeitigkeit verloren. Vorfall$1$das passiert$\Delta t=\gamma \frac{vd}{c^2}$Sekunden vor dem Ereignis$2$. Während dieser Zeit hat die Rute extra viel Arbeit geleistet$\Delta U$zur rechten Platte, ohne dass Energie zur linken Platte zurückgeführt wird.

$\Delta U=F.v \Delta t=\frac{\gamma \epsilon_0 E^2 Ad}{2} \frac{v^2}{c^2}$

Das heißt, die gleiche Energiemenge war vor dem Verschwinden im Stab enthalten. wenn wir diese "verborgene Energie" zur Gesamtenergie im grundierten Rahmen hinzurechnen

$U'=U/\gamma+\Delta U=\frac{\epsilon_0E^2Ad}{2\gamma}+\frac{\gamma \epsilon_0 E^2 Ad}{2} \frac{v^2}{c^2}$

$U'=\frac{\gamma\epsilon_0E^2Ad}{2}=\gamma U$

Dies ist ein schönes Beispiel für eines der grundlegenden Probleme der Relativitätstheorie: Woher wissen wir, dass sich Energie-Impuls wie ein Vierervektor umwandelt, oder im Wesentlichen, woher wissen wir das?$E=mc^2$? Einen historischen Überblick geben [Ohanian 2008] und [Ohanian 2009]. Wie Ohanian betont, gibt es logische Probleme, wenn man versucht, das zu tun, was Einstein 1905 tat, und dies zu beweisen, ohne den Spannungs-Energie-Tensor zu verwenden$T^{\mu\nu}$. In der Relativitätstheorie gehen wir immer von folgenden Eigenschaften des Spannungs-Energie-Tensors aus:

1. $T$ist eine Summe über Beiträge aus jedem "Materiefeld", das vorhanden ist. Dazu gehören alle Felder außer dem Gravitationsfeld.

2. Jeder Term in dieser Summe ist direkt beobachtbar (so kann er zB nicht von der Wahl des Messgeräts abhängen).

3. $T$ist ein symmetrischer Tensor,$T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$.

4. Die lokale Erhaltung des Energieimpulses wird durch das Verschwinden der Viererdivergenz ausgedrückt$\partial T^{\mu\nu}/\partial x^\mu=0$(mit der Einstein-Summenkonvention für$\mu$).

Aus diesen Annahmen kann man für ein isoliertes System den gesamten Energie-Impuls-Vektor beweisen$p^\mu=\int T^{\mu\nu} dS_\nu$bleibt erhalten und transformiert sich wie ein Vierervektor. Hier ist das Integral gemäß einem bestimmten Beobachter über einer Hyperfläche der Gleichzeitigkeit, und$dS_\nu$ist der dreibändige Covektor. Für Beweise siehe Abschnitt 9.3.4 meines SR-Buches .

Für das masselose elektromagnetische Feld erwarten wir außerdem:

5. Der Spannungs-Energie-Tensor ist spurlos,$T^\mu_\mu=0$.

Mit diesen Grundlagen wird es einfach, das Problem des Kondensators zu analysieren.

In Abbildung 1 gibt es Druck, der versucht, die Kondensatorplatten seitlich zu explodieren, und auch Spannung, die versucht, sie zusammenzudrücken. Aus den obigen Annahmen kann man zeigen, dass in diesem Beispiel im Ruhesystem des Kondensators der Spannungs-Energie-Tensor des elektromagnetischen Felds Komponenten hat$T_{(em)}^{tt}=(1/8\pi k)E^2$(Energiedichte) und$T_{(em)}^{yy}=-(1/8\pi k)E^2$(Spannung im$y$Richtung, parallel zum Feld). Es ist leicht zu sehen, dass dies eine nicht verschwindende Vierer-Divergenz hat, da$\partial T_{(em)}^{yy}/\partial y\ne0$an den Platten, und es gibt keine anderen Terme im Spannungs-Energie-Tensor, die dies kompensieren könnten.

Hier gibt es nichts Überraschendes; nur der totale Spannungs-Energie-Tensor$T$muss divergenzfrei sein, nicht$T_{(em)}$. Es würde gegen die Gesetze der Physik verstoßen, wenn der Kondensator so im Gleichgewicht bleiben würde, ohne dass eine Kraft der elektromagnetischen Spannung entgegenwirkt. Nehmen wir an, diese Kraft wird von einer Feder bereitgestellt, wie in Abbildung 2. Die Feder hat ihren eigenen Beitrag$T_{(s)}$zur Stress-Energie. Stellen wir uns der Einfachheit halber vor, die Feder gefüllt zu machen (anstelle eines Hohlzylinders) und sie so zu mästen, dass sie das gesamte Innenvolumen des Kondensators ausfüllt. Um dann das statische Gleichgewicht im Ruhesystem zu erreichen, brauchen wir den Druck in der Feder, um den Druck im elektrischen Feld aufzuheben. Wir haben daher$T^{yy}=0$für den gesamten Spannungs-Energie-Tensor.

Wenn wir nun das Tensortransformationsgesetz auf den Spannungs-Energie-Tensor anwenden, finden wir, dass der Spannungs-Energie-Tensor im verstärkten System eine Masse-Energie-Dichte enthält$T^{t't'}$das hängt nur davon ab$T^{tt}$und$T^{yy}$. (Es muss auch eine xx-Komponente geben, um zu verhindern, dass die Platten seitlich explodieren, aber das geht hier nicht hinein.) Aber wir haben$T^{yy}=0$, also ist das Problem genau das gleiche wie die Transformation eines Klumpens nichtrelativistischer Materie, und wir wissen, dass diese Berechnung in Ordnung ist.

[Rindler 1988] zeigt, dass dies auch dann noch funktioniert, wenn wir die vereinfachende Annahme fallen lassen, dass die Feder das gesamte Innenvolumen des Kondensators ausfüllt.

Verweise

Ohanian, „Einsteins$E = mc^2$Fehler", 2008, http://arxiv.org/abs/0805.1400

Ohanian, „Einsteins Fehler: Das menschliche Versagen des Genies“, 2009

Rindler und Denur, "Ein einfaches relativistisches Paradoxon über elektrostatische Energie", Am J Phys 56 (1988) 9.

Beschleunigen wir einen geladenen Plattenkondensator, indem wir an einer seiner Platten ziehen, während wir die Zugkraft sorgfältig so einstellen, dass:

A) Der Plattenabstand bleibt im Kondensatorrahmen konstant

B) Der Abstand zwischen den Platten bleibt im ursprünglichen Rahmen des Kondensators konstant

Welche Energien haben die E-Felder? (ohne Berücksichtigung der kinetischen Energie)

Fall A:$\frac{1}{\gamma} E$

Fall B:$E$

Nehmen wir nun an, dass wir in beiden Fällen die Energie E verwendet haben, um die Platte zu ziehen, und gehen wir zum Kondensatorrahmen und sehen, wie der Ziehvorgang von dort aus aussieht:

Fall A: Energie k*E wird verwendet, um die Platten zu beschleunigen

Fall B: Die Energie k*E wird verwendet, um die Platten auseinander zu ziehen und die Platten zu beschleunigen

Nun sollte klar sein, dass der Kondensator im Fall A eine höhere Geschwindigkeit hat. Und damit haben wir eine Antwort auf die Frage "wo ist die fehlende Energie im Fall A". Aus der fehlenden Energie wurde die kinetische Energie der Kondensatorplatten.

Eigentlich ist es ganz einfach: Energie in Bewegung hat kinetische Energie.

Wenn die Energie E in dem System ist, in dem sich die Energie nicht bewegt, dann ist die Energie in dem System, in dem sich die Energie bewegt$\gamma E$

Die Leute hier haben berechnet, dass die Energie eines sich sehr schnell bewegenden E-Feldes ohne die kinetische Energie sehr klein ist. OK, aber die Energie eines sehr schnell bewegten E-Feldes mit der kinetischen Energie ist immer noch vorhanden$\gamma E$

Lassen Sie mich darauf hinweisen, dass ein sich schnell bewegendes Objekt Licht aussendet, das zeitgedehnt ist, so dass die Energie ist$\frac{1}{\gamma} E$. Diese Energie ist in gleicher Weise die Energie des Lichts$\frac{1}{\gamma} E$ist die Energie eines sich bewegenden E-Feldes. Das Licht und das E-Feld haben Gesamtenergie$\gamma E$