Klappt die Gleichung CV = q auf, wenn V klein oder ein Draht sehr lang ist?

Wenn Sie Fragen zu Dingen stellen, die „im Limit“ liegen, lautet die Antwort fast immer „Es kommt darauf an“. In diesem Fall lautet die Antwort „es kommt darauf an“.

Die gleichung$Q=CV$geht von einem linearen Verhalten des Kondensators aus - in Wirklichkeit hat das Dielektrikum der meisten Kondensatoren sowohl eine Hysterese als auch eine nichtlineare Komponente, sodass sich die Kapazität ändert, wenn Sie die Spannung erhöhen. Dieser Effekt ist besonders stark (und nützlich) bei bestimmten PIN-Dioden, die bei umgekehrter Polarisierung als spannungsabhängige Kondensatoren verwendet werden können (praktisch zum Beispiel zum elektronischen Abstimmen von HF-Schaltungen).

Das setzt auch die Gleichung voraus$Q$ist nur die Ladung auf dem Kondensator - dass sich keine Ladung an anderer Stelle ansammelt. Jetzt beträgt die Kapazität eines 1 cm getrennten 16-AWG-Drähtepaars ziemlich genau 10 pF/m - siehe diesen praktischen Rechner . Wenn Ihr Kondensator also mit einem ausreichend langen Kabel an der Batterie befestigt ist, fungiert das Kabel selbst als nicht zu vernachlässigender Kondensator. Auch hier beginnen sich diese "Parasiten" bei HF-Frequenzen (insbesondere wenn Sie in den GHz-Bereich aufsteigen) wirklich zu summieren und dominieren tatsächlich das Verhalten von Schaltkreisen. Sie sind in der Tat die Grundlage für Übertragungsleitungen und gelten definitiv als wichtig für die Elektrotechnik.

Zurück zu Ihrer ursprünglichen Frage: Wenn Sie eine Batterie haben, die mit einem Kabelpaar und einem Schalter an einen Kondensator angeschlossen ist, ziehen wir normalerweise die folgenden Vereinfachungen in Betracht:

1. Die Batteriespannung ist die gleiche, bevor ich den Schalter schließe und danach
2. Die einzige interessierende Ladung befindet sich auf dem Kondensator
3. Außer in dem Moment, in dem der Schalter geschlossen ist, fließt kein Strom im Stromkreis

Bei ausreichend hoher Genauigkeit trifft keine dieser Annahmen zu. Nehmen wir sie einzeln:

1. Wenn Ladung aus einer Batterie fließt, führt die stattfindende chemische Reaktion dazu, dass die Spannung leicht abfällt. In Ihrem Beispiel haben Sie 5 C Ladung verbraucht - das sind 1 A für 5 s, was für eine Batterie eine nicht unerhebliche Strommenge ist. Eine 120-V-Batterie kann aus 80 1,5-V-Zellen in Reihe bestehen; Wenn jede Zelle aufgrund dieser transienten Last um 1 mV abfällt, würde die Spannung der Batterie um 80 mV abfallen.

2. Wie ich oben gezeigt habe, werden die Drähte etwas Ladung sammeln; wie viel Ladung hängt von der Geometrie ab. Wenn der Wert$Q$Von Interesse ist nur die Ladung des Kondensators (und nicht die Ladung, die die Batterie verlassen hat). Dieser Unterschied spielt keine Rolle - aber das wurde in der Frage nicht explizit gemacht.

3. Ein Kondensator hat einen endlichen Widerstand - die Ladung wird langsam abgebaut. Wie schnell es blutet, hängt von vielen Faktoren ab: vor allem vom verwendeten dielektrischen Material und dem elektrischen Feld darüber. Die Herstellung eines Kondensators mit hoher Kapazität pro Volumeneinheit erfordert ein sehr dünnes Dielektrikum und somit ein hohes Feld und möglicherweise einen hohen Leckstrom. Präzisionskondensatoren sind in der Regel von geringem Wert und sperrig.

In Ihrem Beispiel ist bei einer Kapazität von $c=\frac{5}{120} F = 42 mF eine Ladung von 5 C und eine Spannung von 120 V möglich. Das ist groß, aber nicht zu unhandlich. Ich habe online eine mit 40 mF und 160 V Nennleistung gefunden; Es hatte einen Durchmesser von 76 mm und eine Länge von 150 mm. Wie gesagt - ziemlich groß. Ich habe mir das Datenblatt dieser Kondensatorfamilie angesehen , konnte aber keine Informationen zum Leckstrom finden. Da dies jedoch ein Elektrolytkondensator ist, wird die Leckage ziemlich groß sein. Zum Beispiel habe ich einen allgemeinen Artikel über die Leckage von Aluminium-Elektrolytkondensatoren gefunden , der den folgenden Plot als Abbildung 3 enthielt:

Wie Sie sehen können, fließt in großen Elektrolytkondensatoren ein erheblicher Strom - dies war für ein Gerät mit 1 mF, 35 V, sodass Sie sich vorstellen können, dass es bei 44 mF, 120 V etwas schlimmer sein wird.

Diese Unterschiede sind oft viel wichtiger als der Spannungsabfall der Batterie (nach dem Sie in Ihrer Frage gefragt haben). Lange Drähte plus Leckströme können im Prinzip zu einem anhaltenden Spannungsabfall über den Drähten führen. Als Faustregel gilt jedoch, dass Elektroingenieure vorsichtig sein werden, wenn sie Präzisionsschaltungen (solche, bei denen einige mV bei 120 V eine Rolle spielen könnten) mit kurzen Drähten entwerfen. und wenn Sie lange Läufe mit einer genauen Spannung am Ende benötigen, können Sie am fernen Ende eine lokale Regelung oder eine 3- oder 4-Draht-Lösung verwenden, die eine Erfassung am fernen Ende ermöglicht, damit die Spannungsquelle kompensieren kann.

Batterien sind keine Kondensatoren. Durch das Schließen des Schalters wird keine feste Ladungsmenge im Stromkreis neu verteilt. Stattdessen können die Batterien durch chemische Reaktionen neue Ladung erzeugen. Die Umverteilung würde das Potential leicht verringern, wodurch die chemische Reaktion ablaufen kann, bis sie wieder auf die Ruhespannung zurückkehrt.

Während echte Batterien nicht ideal sind (die von ihnen bereitgestellte Spannung ist nicht konstant), werden solche Effekte normalerweise nicht für diese Art von Problem modelliert. Ein Designer würde einfach sicherstellen, dass die Schaltung über einen Spannungsbereich gültig ist. Der Spannungsabfall unter Strom wird alle Änderungen der Nullstromspannung überwältigen.

Erstens bin ich etwas verwirrt über Ihre Aussage über zwei Batterien.

Die Kapazität eines zweiseitigen Kondensators ist definiert als das Verhältnis der Größe der getrennten Ladung (üblicherweise die Größe der Ladung auf jeder Platte) zur resultierenden Potentialdifferenz (auch bekannt als Spannung) zwischen den Platten. Technisch gesehen ist es eine „Was wäre wenn“-Formel. Die tatsächliche Kapazität hängt von der geometrischen und materiellen Anordnung der Platten ab.

Wir drehen diese Definition oft um,$C=\frac{q}{V}$, in eine Betriebsgleichung wie z$q=CV.$Und das ist in Ordnung, denn zumindest bis zur ersten Ordnung (und wahrscheinlich bis zur 2. und 3. Ordnung) bei einem gewöhnlichen Kondensator ist die Kapazität bis zur Spannungsfestigkeit des Gap-Materials unabhängig von der Spannung. Was auch immer die Spannung am Kondensator ist, im Betrieb$q=CV$Wo$V$ist die Spannung von einer Platte zur anderen.

Wie sich dies genau auf eine Batterie im Stromkreis bezieht, hängt davon ab, welche anderen Elemente im Stromkreis vorhanden sind. In einer Reihenschaltung mit einer echten Batterie und echten Drähten mit echtem Widerstand könnte die Spannung an den Platten etwas geringer sein als die EMK der Batterie, während der Kondensator geladen wird. Wenn der Kondensator undicht ist, fließt weiterhin ein Strom und die Spannung ist ständig etwas geringer als die EMK .

Wenn wir zwei Kondensatoren mit unterschiedlichen Kapazitäten parallel schalten, sammeln sie unterschiedliche Ladungen an. Wenn wir zwei Kondensatoren unterschiedlicher Kapazität in Reihe schalten, haben sie unterschiedliche Spannungen, aber die gleiche Ladung.

Fazit: Die Spannung in$q=CV$ist die Spannung nur über dem Kondensator. Es kann vorkommen, dass es aufgrund der Art und Weise, wie die Schaltung angeschlossen ist, denselben Wert wie die Spannung an einer anderen Komponente hat. Wenn der Kondensator nach dem Schließen Ihres Schalters aufgeladen wird, ändert sich seine Spannung mit einer Rate, die durch die tatsächlichen Widerstände in den Drähten und der Batterie bestimmt wird. Wenn dieser Widerstand klein ist, erfolgt die Aufladung sehr schnell.