Wohin geht Energie bei der destruktiven Interferenz? [Duplikat]

Wenn sich die elektromagnetischen Wellen ohne Energieverlust ausbreiten, zB im Vakuum, lässt sich leicht nachweisen, dass die Gesamtenergie erhalten bleibt. Siehe zB Abschnitt 1.8 hier .

Tatsächlich bleibt nicht nur die Gesamtenergie erhalten. Die Energie bleibt über die Kontinuitätsgleichung lokal erhalten

$$\frac{\partial \rho_{\rm energy}}{\partial t}+\nabla\cdot \vec J = 0$$ Dies besagt, dass immer dann, wenn die Energie von einem kleinen Volumen abnimmt $dV$, es wird durch den Fluss der gleichen Energie durch die Grenze des kleinen Volumens begleitet $dV$und der Strom $\vec J$sorgt dafür, dass die Energie an anderer Stelle zunimmt. Die obige Kontinuitätsgleichung lässt sich leicht beweisen, wenn man die richtigen Ausdrücke für die Energiedichte und den Poynting-Vektor einsetzt: $$\rho_{\rm energy} = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2+ \frac{B^2}{\mu_0} \right), \quad \vec J = \vec E\times \vec H$$ Nach der Substitution wird die linke Seite der Kontinuitätsgleichung zu einer Kombination aus Vielfachen der Maxwell-Gleichungen und ihren Ableitungen: Sie ist Null.

Diese Überlegungen funktionieren sogar in Gegenwart von reflektierenden Oberflächen, zB Metallen, die man zum Aufbau eines Doppelspaltexperiments verwendet. Daraus folgt, dass, wenn ein elektromagnetischer Impuls am Anfang etwas Energie hat, die Gesamtenergie als Integral erhalten wird$\int d^3x \rho_{\rm energy}$wird am Ende des Experiments gleich sein, unabhängig von der detaillierten Anordnung des Interferenzexperiments.

Wenn es Störminima gibt, werden diese immer auch von Störmaxima begleitet. Das oben bewiesene Erhaltungsgesetz garantiert dies. Tatsächlich kann man über die Energiedichte und den Strom, den Poynting-Vektor, verfolgen, wie die Energie von den Minima zu den Maxima übertragen wird.

Stellen Sie sich vor, dass wir zu Beginn zwei Pakete mit einer bestimmten Querschnittsfläche haben, die fest bleiben und die einzige Komponente ungleich Null sind$\vec E$geht wie$\exp(ik_1 x)$(und ist innerhalb eines Rechtecks ​​in der lokalisiert$yz$Flugzeug). Es stört ein anderes Paket, das so geht$\exp(ik_2 x)$. Da der Absolutwert gleich ist, ist die Energiedichte proportional$|E|^2$ist$x$-unabhängig in beiden ersten Wellen.

Wenn sie sich einmischen, bekommen wir

$$\exp(ik_1 x)+\exp(ik_2 x) = \exp(ik_1 x) (1 + \exp(i(k_2-k_1)x)$$ Die Gesamtphase ist irrelevant. Der zweite Term kann geschrieben werden als $$1 + \exp(i(k_2-k_1)x = 2\cos ((k_2-k_1)x/2) \exp(i(k_2-k_1)x/2)$$ Die Endphase (exponentiell) kann wieder ignoriert werden, da sie den Absolutwert nicht beeinflusst. Sie sehen, dass die interferierte Welle, die sich aus den beiden gewöhnlichen Wellen zusammensetzt, so geht $$2\cos ((k_2-k_1)x/2)$$ und sein Quadrat geht wie $4\cos^2(\phi)$mit der gleichen Argumentation. Nun, das Lustige am Quadratischen Kosinus ist, dass der Mittelwert über den Raum ist $1/2$Weil $\cos^2\phi$schwingt harmonisch dazwischen $0$und $1$. Also der Durchschnittswert von $4\cos^2\phi$ist $2$, genau das, was von der Addition der Energie von zwei Anfangsstrahlen erwartet wird, von denen jeder die Einheitsenergiedichte in derselben Normierung hat. (Die Gesamtenergie sollte multipliziert werden mit $A_{yz} L_x\epsilon_0/2$: der übliche Faktor von $1/2$, Permittivität, die Fläche in der $yz$-Ebene, und die Länge des Pakets in der $x$-Richtung, aber diese Faktoren sind für Anfangs- und Endzustand gleich.)

Lassen Sie mich abschließend ein paar Worte hinzufügen, die intuitiv erklären, warum Sie kein Experiment anordnen können, das nur Interferenzminima hätte (oder nur Interferenzmaxima, wenn Sie die Energie verdoppeln wollten, anstatt sie zu zerstören – was nützlicher sein könnte). Um die Interferenz überall rein destruktiv zu machen, müssten die anfänglichen Interferenzstrahlen so ziemlich an jeder Stelle der Fotoplatte (oder streng) hochsynchronisierte Phasen haben. Das geht aber nur, wenn die Strahlen aus annähernd derselben Richtung kommen. Aber wenn sie aus (fast) derselben Richtung kommen, können sie nicht kurz zuvor geteilt worden sein, also kann es kein Experiment mit der Interferenz zweier unabhängiger Strahlen gewesen sein. Die Strahlen könnten vorher schon länger unabhängig und getrennt gewesen sein.

Das Argument aus dem vorherigen Absatz hat eine einfache Interpretation im analogen Problem der Quantenmechanik. Wenn es zwei Wellenpakete der Wellenfunktion für dasselbe Teilchen gibt, die räumlich isoliert und zur Interferenz bereit sind, diese beiden Terme$\psi_1,\psi_2$in der Wellenfunktion sind orthogonal zueinander, da sich ihre Träger nicht überlappen. Die Entwicklung der Wellenfunktionen in der Quantenmechanik ist "einheitlich", so dass die inneren Produkte erhalten bleiben. Also was auch immer sich daraus entwickelt$\psi_1,\psi_2$auch orthogonal zueinander sein, auch wenn die entstandenen Wellenpakete räumlich nicht mehr überlappungsfrei sind. Aber diese Orthogonalität ist genau die Bedingung für$\int|\psi_1+\psi_2|^2$keine gemischten Begriffe zu haben und einfach gleich zu sein$\int|\psi_1|^2+|\psi_2|^2$. Der Fall der klassischen Maxwell-Gleichungen hat eine andere Interpretation – es ist die Energiedichte und nicht die Wahrscheinlichkeitsdichte – aber es ist mathematisch analog. Die genau definierte "Orthogonalität" zwischen den beiden Paketen wird durch die Evolution garantiert und entspricht der Bedingung, dass die Gesamtstärke der destruktiven Interferenz gleich der Gesamtstärke der konstruktiven Interferenz ist.

Ich könnte mir vorstellen, dass es möglich ist, Lichtwellen so zu konfigurieren, dass sie sich linear ausbreiten, sodass die Wellen nur destruktiv und überhaupt nicht konstruktiv interferieren.

Dies ist möglich, wenn die beiden Lichtwellen genau phasenverschoben zueinander sind, also die Spitzen der einen den Wellentälern der anderen entsprechen. Aber wenn die beiden Wellen auf diese Weise erzeugt würden und Sie sie an der Quelle überlagern würden , wäre das dasselbe, als würde man eine Welle mit einer Amplitude von Null erzeugen.

Aber wenn Sie sie zu einem späteren Zeitpunkt überlagern, dann wird es immer konstruktive und destruktive Interferenzen geben. Die Energie wird nicht buchstäblich von den dunklen zu den hellen Rändern transportiert. Da die Amplitude der hellen Streifen doppelt so groß ist wie die der ursprünglichen Wellen, gibt es keine Verletzung der Energieerhaltung. An „Energietransport“ zu denken, ist nur eine nützliche Visualisierung, um sich zu vergewissern, dass wirklich Energie gespart wird.