Zurückgelegte Strecke im freien Fall

Sie haben Recht mit der Bewegungsgleichung für ein Objekt im freien Fall mit Luftwiderstand (na ja, fast richtig: Ihre$c$ist nicht die übliche Definition des Luftwiderstandsbeiwerts), aber wenn Sie ihn integrieren, gehen Sie nicht davon aus$v^2$Zu$s^3/3$. Das funktioniert nur, wenn das Quadrierte tatsächlich die Integrationsvariable ist:$\int t^2\mathrm{d}t = t^3/3$, Aber$\int f(t)^2\mathrm{d}t \neq f(t)^3/3$.

Um die Gleichung richtig zu lösen, müssen Sie zunächst die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit finden. Sie können die Gleichung schreiben als

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g - \frac{c}{m}v^2$$

Dies ist eine trennbare Differentialgleichung, sodass Sie alles, was die unabhängige Variable betrifft, einsetzen können$t$auf der einen Seite und alles, was die abhängige Variable betrifft$v$auf der anderen Seite,

$$\frac{\mathrm{d}v}{g - \frac{c}{m}v^2} = \mathrm{d}t$$

Dies kann über integriert werden$t$, geben

$$t = \int_{v(0)}^{v(t)}\frac{\mathrm{d}v}{g - \frac{c}{m}v^2} = \sqrt{\frac{m}{cg}}\tanh^{-1}\biggl(\sqrt{\frac{c}{mg}}v\biggr)$$

(vorausgesetzt$v(0) = 0$). Dann kannst du das nach Geschwindigkeit auflösen,

$$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = v = \sqrt{\frac{mg}{c}}\tanh\biggl(\sqrt{\frac{cg}{m}}t\biggr)$$

das ist eine weitere trennbare Gleichung,

$$\int_{s(0)}^{s(t)}\mathrm{d}s = \int_0^t\sqrt{\frac{mg}{c}}\tanh\biggl(\sqrt{\frac{cg}{m}}t\biggr)\mathrm{d}t$$

Das Ergebnis dieser Integration ist

$$s(t) = s(0) + \frac{m}{c}\log\cosh\biggl(\sqrt{\frac{cg}{m}}t\biggr)$$

Ich habe einen Blogbeitrag über eine (möglicherweise) interessante "Anwendung" dieser Berechnung geschrieben. Die obige Mathematik ist im Grunde eine Zusammenfassung eines Teils dieses Beitrags.

Die gesuchte Gleichung ist

$$m\frac{dv}{dt}=\frac{1}{2}\rho C_{D} A v^{2}-mg$$

Wo$C_{D}$ist der Luftwiderstandsbeiwert und$A$ist die Querschnittsfläche des Objekts.

Für die vertikale Position als Funktion der Zeit können Sie die Lösung in Free Fall sehen .

Deine Rechnung stimmt übrigens nicht ganz. Du hast$s(t)$(dh eine Funktion, die von der Zeit abhängt), aber Sie integrieren so, als ob$s(t)$war$t$(was nicht unbedingt stimmt).

Wenn die Beschleunigung nur als Funktion der Geschwindigkeit angegeben wird, gilt Folgendes

$$x(u)=\int\frac{u}{a(u)}\,\mathrm{d}u+K_{1}$$ Und $$t(u)=\int\frac{1}{a(u)}\,\mathrm{d}u+K_{2}$$

der Rest wird ähnlich wie bei David Z (oben) gelöst.