Zwei-Quellen-Interferenz in senkrechter Richtung und Kleinwinkelnäherungen

Im folgenden Aufbau haben wir zwei Punktlichtquellen, die monochromatische, sphärische Lichtwellen in Phase der Wellenlänge erzeugen λ , und einen Schirm, der in einer Ebene senkrecht zu der durch die Quellen verlaufenden Linie angeordnet ist. Wir gehen von einer Fraunhofer-Situation aus, bei der der Schirm im Vergleich zum Abstand zwischen den Quellen sehr weit von den Quellen entfernt ist D und die Wellenlänge λ , und so wird die Entfernung von den Quellen zum Bildschirm einfach genannt R .

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Auf dem Bildschirm sind konzentrische Interferenzkreise zu sehen, deren Radien wir ermitteln wollen. Durch die üblichen Fraunhofer-Beugungsargumente ist leicht ersichtlich, dass der Pfadunterschied zwischen den beiden Quellen besteht D cos ⁡ θ , und so haben wir für Maxima D cos ⁡ θ = N λ .

Da der Winkel θ klein ist, können wir wie gewohnt behaupten cos ⁡ θ ≈ 1 − 1 2 θ 2 und auch R θ ≈ R Wo R ist der Radius des Kreises, wonach wir suchen. Substituieren und Isolieren, bekommen wir

R ≈ 2 R 1 − λ N D

Das gleiche Problem kann jedoch ohne die Kleinwinkelnäherung und nur mit der Fraunhofer-Näherung gelöst werden (ja, ich weiß, dass die Fraunhofer-Näherung irgendwie impliziert, dass der Winkel klein ist, aber ich zeige trotzdem, dass dies gelöst werden kann ohne die trigonometrischen Funktionen zu approximieren, ertrage es mit mir). Ein bisschen zurückverfolgen, wo wir nur hatten D cos ⁡ θ = N λ , das merken wir jetzt cos ⁡ θ = R R 2 + R 2 . Substituieren und Isolieren bekommen wir jetzt

R = R D 2 λ 2 N 2 − 1

Ich sehe jedoch nicht, wie diese beiden Lösungen übereinstimmen. Sie scheinen völlig unterschiedlich zu sein, nicht nur in den Werten, die sie vorhersagen - sie sind nicht einmal für dieselbe Region definiert (von N , D , λ -Raum)! Ich kann auch keine Serie finden, die das eine auf das andere reduziert. Was geht hier vor sich? Warum stimmen die beiden Lösungen nicht überein?

Antworten (1)

Ihre erste Ableitung sieht gut aus, aber bei der zweiten bin ich mir nicht so sicher, insbesondere bei der Entfernung R bezieht sich auf das "Inverse" der Wellenlänge.

Lassen Sie mich zunächst betrachten, was auf einem kreisförmigen Bildschirm mit Radius passieren würde R wie im Diagramm unten gezeigt.

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Die Pfaddifferenz zur Position P Ist Δ X = A P − B P .

Verwenden der Kosinusregel für Dreiecke A P C Und C P B gibt A P 2 − B P 2 = 2 D R cos ⁡ θ .

Wenn θ ist dann klein A P + B P ≈ 2 R und so ist der Pfadunterschied Δ X = A P − B P = D cos ⁡ θ was mit dem übereinstimmt, was Sie gesagt haben.

Beachten Sie, dass mein kreisförmiger Bildschirm in diesem Bereich sehr nah an Ihrem Flachbildschirm liegt und Ihr Ausdruck für R ( ≈ 2 R 1 − λ N D ) ist gültig.

Was passiert nun, wenn die Winkel nicht klein sind?

Nun, wenn die Winkel in der Nähe sind π 2 dann haben Sie die bekannte 2-Schlitz-Interferenzanordnung mit einem Winkel ϕ = π 2 − θ allgemein verwendet und der Gangunterschied in einem Abstand von einem Bildschirm R weg etwa gleich D Sünde ⁡ ϕ .

Ihr Bildschirm steht jedoch im rechten Winkel zu meinem Bildschirm D und bewegt sich als Winkel von meinem Bildschirm weg θ erhöht sich.

Betrachten Sie das bei Position P auf meinem bildschirm wird es ein maximum damit geben A P − B P muss eine ganze Zahl von Wellenlängen sein.
In diese Richtung θ an Stelle Q , A Q − B Q wird keine ganze Zahl von Wellenlängen sein.

Betrachten Sie auch Ihre Formel für cos ⁡ θ es ist nicht mehr gleich R R 2 + R 2 eher ist es D Q ( = R ) C Q Und C Q ist ungleich zu R

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