Wie groß ist der gravitative Einflussbereich der Erde und wie lässt er sich berechnen?

Es gibt ein paar Definitionen, aber die nützlichste heißt Hill Sphere . Im Wesentlichen ist dies der Bereich, in dem man um ein Objekt kreisen kann und nicht von einem anderen Objekt (wie der Sonne) weggezogen wird. Wie im verlinkten Artikel angegeben, kann es für Objekte, bei denen ein Objekt viel massiver als das andere ist (fast jeder Fall von Interesse), mithilfe der folgenden Formel berechnet werden:

$r \approx a (1-e) \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}$

Wo$e$ist die Exzentrizität der Umlaufbahn,$m$ist das weniger massive Objekt, und$M$ist das massivere Objekt, und$a$ist die große Halbachse (Abstand zwischen Objekten).

Unter der Annahme einer kreisförmigen Umlaufbahn, die die Mathematik erleichtert, ergibt sich dieser Abstand zu:

$r \approx a \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}$

Die Hill Sphere der Erde ist etwa 1.500.000 km groß, wie diese Grafik aus Wikipedia zeigt .

Einflussbereich

Der Einflussbereich der Gravitation fragt, welcher von zwei Gravitationskörpern als Ursprung verwendet werden sollte, um das Verhalten eines dritten Körpers wie eines Raumfahrzeugs zu modellieren. Dies kommt an mindestens zwei Schlüsselstellen ins Spiel:

• Was ist in einer gepatchten Kegelschnittnäherung der richtige Ort, um von einem Kegelschnitt zum anderen zu wechseln?

• Wenn sich ein Raumfahrzeug von einem großen Körper weg und auf einen kleineren Körper zubewegt, wann sollte die Raumfahrzeugnavigation von einer auf einen großen Körper zentrierten zu einer auf einen kleinen Körper zentrierten Sicht wechseln?

Betrachtet man die Dinge aus der Perspektive eines Bezugsrahmens, dessen Ursprung im Zentrum des kleineren Körpers liegt, wird die Gravitationsbeschleunigung zum größeren Körper als "Drittkörpereffekt" berechnet (sorry für die verwirrende Nomenklatur; es ist nicht meine) . Die Antwort auf die obigen Fragen (wo soll ich gepatchte Kegelschnitte wechseln / wo soll ich meine Flugsoftware wechseln) ist die Oberfläche, auf der diese störende dritte Körperbeschleunigung betragsmäßig gleich der Gravitationsbeschleunigung zum kleineren Körper ist. Diese Oberfläche hat eine ziemlich komplexe Form, etwa die eines abgeflachten Sphäroids, aber sie kann nicht in Begriffen der elementaren Funktionen ausgedrückt werden. Der "richtige" Ort entlang der Verbindungslinie zwischen den beiden Körpern kann jedoch einfach ausgedrückt werden. Relativ zum kleineren Körper ist dieser Abstand$R\left(\frac m M\right)^{2/5}$, wo$R$ist der Abstand zwischen den beiden Körpern,$m$ist die Masse des kleineren Körpers, und$M$ist die Masse des größeren Körpers.

Wer hat dieses Konzept entwickelt? Das ist eine gute Frage. Einige Luft- und Raumfahrtlehrbücher nennen dies die Lagrange-Einflusssphäre nach Joseph-Louis Lagrange, andere nennen es die Tisserand-Einflusssphäre nach Felix Tisserand, und wieder andere nennen es einfach die Einflusssphäre, Punkt.

Hügelkugel

Die Hill-Sphäre stellt eine ganz andere Frage: Wenn ein kleinerer Körper einen größeren Körper umkreist, kann ein noch kleinerer Körper den kleinen Körper umkreisen? Die Hill-Sphäre (auch bekannt als Roche-Sphäre) betrachtet die Dinge eher aus der Perspektive der Energie als der Kraft. Eine der von Lagrange initiierten Schlüsselentwicklungen war der Wechsel vom Newtonschen Fokus auf Kraft hin zu Energie. Die Lagrange-Physik und später die Hamilton-Physik waren vollständige Neufassungen der klassischen Mechanik. In vielen Fällen, insbesondere wenn es um Energieerhaltung geht, ist es viel sinnvoller, die Dinge aus der Perspektive der Energie als der Kraft zu betrachten.

Was bestimmt also, ob eine Umlaufbahn stabil ist? Die Antwort ist sehr komplex. Wenn beim Drei-Körper-Problem dieses dritte Objekt innerhalb einer äußerst komplexen Grenze bleibt, die als Roche-Lappen bezeichnet wird, wird die Umlaufbahn dieses dritten Objekts um den kleineren Körper zumindest für eine gewisse Zeit stabil sein. Der Roche-Lappen berührt gerade die Punkte L1 und L2 und fächert sich von dort aus auf. George Hill verwendete den L1-Punkt, um eine Kugel zu definieren, die sich dem Roche-Lappen annäherte. Dies ist immer noch unlösbar; der L1-Punkt wird durch ein Polynom fünfter Ordnung definiert, das nicht in Bezug auf die elementaren Funktionen gelöst werden kann. Hill vereinfachte die Dinge weiter, indem er erkannte, dass eine einfache kubische Gleichung eine sehr gute Annäherung an diese widerspenstige Gleichung fünfter Ordnung liefert. Das Ergebnis ist$R\left(\frac m {3M}\right)^{1/3}$.

Was ist also „richtig“?

Was ist also „richtig“, die Lagrange/Tisserand-Einflusssphäre oder die Hill-Sphäre? Zunächst einmal ist es wichtig zu beachten, dass es sich bei beiden um Annäherungen handelt. Dies trübt das Wasser darüber, was "richtig" ist. Noch wichtiger ist, dass die beiden Konzepte sehr unterschiedliche Fragen angreifen. Wenn Sie eine Mission planen, um ein Raumschiff zum Mond oder zu einem anderen Planeten zu schicken, sollten Sie den Einflussbereich verwenden. In ähnlicher Weise sollten Sie wahrscheinlich den Einflussbereich verwenden, wenn Sie das Leit- und Navigationssubsystem für dieses Raumschiff bauen. Wenn Sie andererseits einen Asteroiden zum Abbau zur Erde zurückbringen, möchten Sie ihn wahrscheinlich in eine entfernte selenozentrische rückläufige Umlaufbahn bringen. Jetzt ist die Hügelkugel die richtige Wahl in Bezug auf die Umlaufbahn, in der Sie Ihren Asteroiden platzieren.

Soweit es die Frage betrifft, ist die Einflusssphäre die richtige Antwort, einfach weil der Fragesteller nach der Einflusssphäre gefragt hat, nicht nach der Hill-Sphäre. Ob es Lagrange oder Tisserand war, beide haben Vorrang bei der Benennung von "Einflusssphären" gegenüber Hill, einfach weil beide älter als Hill sind.

Ich gebe zu, dass das lächerlich pingelig ist. Die „richtige“ Antwort lautet, dass die beiden Konzepte zwei unterschiedliche Fragestellungen ansprechen. Beide haben "Recht".

Quellen:

Einflussbereich: http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_of_influence_(astrodynamics) , oder praktisch jedes Lehrbuch auf dem Gebiet der Astrodynamik in der Luft- und Raumfahrttechnik. Zum Beispiel schreiben sowohl Vallado ( Fundamentals of Astrodynamics and Applications ) als auch Bate, Mueller und White ( Fundamentals of Astrodynamics ) über den Einflussbereich.

Hügelkugel: http://en.wikipedia.org/wiki/Hill_sphere , oder praktisch jedes Lehrbuch oder jeder Zeitschriftenartikel, der sich mit invarianten Mannigfaltigkeiten befasst, wie sie auf die Weltraumforschung angewendet werden. Koon, Lo, Marsden und Ross ( Dynamical Systems, the Three-Body Problem and Space Mission Design ) schreiben beispielsweise über die Hill-Sphäre.

Das verwende ich im Unterricht, das sind Standardformeln aus jedem Lehrbuch. Definiere 2 Funktionen

sphereOfInfluence[dominantMass_, minorMass_, distanceBetween_] := 
   (minorMass/dominantMass)^(2/5)*distanceBetween

sphereOfGravitation[dominantMass_, minorMass_, distanceBetween_] := 
   (minorMass/dominantMass)^(1/2)*distanceBetween
   (*valid only for  minorMass<<dominantMass*)

Zum Beispiel, um Erde SOI wrt Sonne zu finden

sunMass = 1.989*10^30;
earthMass = 5.944*10^24;
earthSunDistance = 1.495978*10^8;
earthSOI = sphereOfInfluence[sunMass, earthMass, earthSunDistance]

(* 922790.  in km *)

Um den Mond SOI bezüglich der Erde zu finden

earthMass = 5.944*10^24;
moonMass = 7.3483*10^22;
moonEarthDistance = 384400;
moonSOI = sphereOfInfluence[earthMass, moonMass, moonEarthDistance]

(* 66317.3  in km *)

Den Einflussbereich der Erdgravitation bezüglich der Sonne finden

earthgSOI = sphereOfGravitation[sunMass, earthMass, earthSunDistance]
(* 258611. km *)

Wie erwartet ist der Einflussbereich der Gravitation viel kleiner als der SOI.