Können wir eher durch einfache Geometrie als durch Formeln oder Diagramme zeigen, dass das beste Gleitverhältnis beim maximalen Verhältnis von Auftrieb zu Widerstand auftritt?

Beginnen wir mit einem Lift/Drag/Weight-Diagramm und zeichnen auch den Geschwindigkeitsvektor:

Da kein Schub beteiligt ist, muss die Summe von Heben+Gewicht+Ziehen Null ergeben. Lassen Sie uns den Ursprung dieser Vektoren ein wenig verschieben:

Lassen Sie uns nun das Geschwindigkeitsdreieck beenden und a(horizontale Entfernung) und b(vertikale Entfernung) zeichnen. Das Verhältnis zwischen aund bist per Definition die Gleitzahl .

Die Schlüsselidee hier ist zu bemerken, dass die Dreiecke LWD und Vab ähnlich sind , das heißt, sie sind bis zu einem Maßstab dasselbe Dreieck. Das Gleichnis lautet: W <-> v, D <-> b, L <-> a.

Das bedeutet, dass das Verhältnis zwischen aund bdas gleiche ist wie das Verhältnis zwischen Lund D. Letzteres ist natürlich das Verhältnis von Auftrieb zu Widerstand.

Das Gleitverhältnis ist also unter allen Bedingungen das gleiche wie das Verhältnis von Auftrieb zu Widerstand. Daraus folgt, dass das beste Gleitverhältnis für das beste Verhältnis von Auftrieb zu Widerstand erreicht wird.

Zunächst eine Einschränkung: Bitte beachten Sie, dass sich diese Antwort auf den linearen Gleitflug im stationären Zustand konzentriert. Wenn wir in dieser Antwort darüber sprechen, was passiert, wenn wir den Anstellwinkel und das L/D-Verhältnis ändern, gehen wir davon aus, dass wir lange genug gewartet haben, bis sich das Segelflugzeug wieder ins Gleichgewicht gebracht hat, unabhängig von der Fluggeschwindigkeit, für die es geeignet ist der neue Anstellwinkel und das L/D-Verhältnis.

Alle drei der folgenden Vektordiagramme stellen genau die gleiche physikalische Situation dar – anhaltender, stationärer Gleitflug entlang einer linearen Flugbahn in ruhender Luft. Wir haben die aerodynamischen Kräfte in Schwarz und die Gravitationskraft – den Gewichtsvektor – in Grün dargestellt. Das linke und das rechte Diagramm sind leichter zu verstehen als das mittlere Diagramm, da die Kraftvektoren in einem geschlossenen Polygon (in diesem Fall einem Dreieck) angeordnet sind, was uns sofort zeigt, dass die Nettokraft Null ist. In das rechte Diagramm haben wir auch den Fluggeschwindigkeitsvektor und seine horizontalen und vertikalen Komponenten aufgenommen.

Auftrieb ist definiert als im rechten Winkel zum relativen Wind wirkend, dh der ungestörte scheinbare Luftstrom, der durch die Flugbahn des Flugzeugs durch die Luftmasse erzeugt wird. Dh Auftrieb ist definiert als senkrecht zur Flugbahn durch die Luftmasse wirkend. Luftwiderstand ist definiert als parallel zum relativen Wind wirkend, dh parallel zum Flugweg des Flugzeugs durch die Luftmasse.

Beachten Sie, dass K der Gleitwinkel ist, und beachten Sie, dass im rechten Diagramm das durch die Kraftvektoren gebildete Dreieck und das durch die Geschwindigkeitsvektoren gebildete Dreieck ähnliche Dreiecke sind. Aus diesem Grund ist das Gleitverhältnis in ruhender Luft – das Verhältnis von horizontaler Geschwindigkeit zu Sinkgeschwindigkeit in ruhender Luft – identisch mit dem Verhältnis von Auftrieb zu Widerstand.

Das beste Gleitverhältnis in ruhender Luft – dh das beste Verhältnis von zurückgelegter horizontaler Distanz zu verlorener Höhe in ruhender Luft – muss mit dem besten Verhältnis von Auftrieb zu Luftwiderstand übereinstimmen.

Beachten Sie, dass bei einem stationären Gleitflug der Auftrieb im gleichen Verhältnis kleiner als das Gewicht ist, in dem die horizontale Geschwindigkeit kleiner als die Fluggeschwindigkeit ist. Für viele Berechnungen ist es eine ausreichende Annäherung, anzunehmen, dass Auftrieb und Gewicht gleich sind und dass horizontale Geschwindigkeit und Fluggeschwindigkeit gleich sind. Unser Vektordreieck reagiert jedoch sehr empfindlich auf diese Unterscheidung – wenn man sie übersieht, kollabiert unser Vektordreieck zu einer geraden Linie, was die Sinkrate auf Null zwingt und uns einen Gleitwinkel von Null gibt, dh eine Gleitzahl von unendlich.

Beachten Sie auch, dass die Geometrie des Dreiecks so ist, dass das maximale Verhältnis von Auftrieb zu Widerstand auch mit dem minimalen Widerstandswert und dem maximalen Auftriebswert zusammenfällt.

Beachten Sie, dass der Mindestwiderstandswert nicht mit dem Mindestwert des Widerstandskoeffizienten übereinstimmt . Der Luftwiderstandsbeiwert wird bei sehr niedrigen Anstellwinkeln, dh bei sehr hohen Fluggeschwindigkeiten, minimiert. Wir müssen also vorsichtig sein, was wir meinen, wenn wir sagen, dass wir den Luftwiderstand minimieren wollen, um die Gleitzahl zu maximieren. Dies gilt nur, wenn wir über den Luftwiderstand als tatsächliche Kraft und nicht als Koeffizient sprechen. Gleiches gilt für Lift. Während (für relativ hohe L/D-Verhältnisse) der Auftrieb viel weniger variiert als der Luftwiderstand, wenn wir das L/D-Verhältnis ändern, ist es immer noch wahr, dass im Gleitflug der Auftrieb am Punkt des maximalen L/D-Verhältnisses etwas höher ist als an jedem anderen anderes L/D-Verhältnis. Sondern der Auftriebsbeiwertwird am Punkt des maximalen L/D-Verhältnisses nicht maximiert – vielmehr wird es in der Nähe des Strömungsabriss-Anstellwinkels maximiert. Trotz alledem ist es eine arithmetische Tatsache, dass wir bei Maximierung des L/D-Verhältnisses auch das Verhältnis von Auftriebsbeiwert/Widerstandsbeiwert maximieren – obwohl wir weder den Auftriebsbeiwert noch den Luftwiderstandsbeiwert individuell maximieren .

Warnung: Verwechseln Sie das rechte Diagramm nicht mit einem Hinweis darauf, dass wir zur Minimierung der Sinkrate einfach den Widerstandsvektor minimieren müssen. Das Kraftvektordreieck und das Fluggeschwindigkeitsvektordreieck sind geometrisch ähnlich , aber sie sind nicht identisch. Wenn sich die Fluggeschwindigkeit ändert, wird die Größe des gesamten Fluggeschwindigkeitsvektordreiecks vergrößert oder verkleinert, während die Größe des Kraftvektordreiecks durch die Tatsache fixiert wird, dass der Gewichtsvektor konstant ist. Wenn wir diese Beziehung übersehen, neigen wir dazu anzunehmen, dass die Fluggeschwindigkeit der minimalen Sinkrate mit der Fluggeschwindigkeit für den minimalen Luftwiderstand übereinstimmen muss, was auch die Fluggeschwindigkeit für das maximale L/D-Verhältnis ist. Dies ist nicht der Fall – wie wir weiter unten sehen werden, ist die Fluggeschwindigkeit für die minimale Sinkrate niedriger als die Fluggeschwindigkeit für den minimalen Luftwiderstand, was auch die Fluggeschwindigkeit für das maximale L/D-Verhältnis ist.

Jeder mögliche Anstellwinkel des Flügels ist mit einem bestimmten Auftriebsbeiwert, einem bestimmten Luftwiderstandsbeiwert und einem bestimmten Auftriebs-/Widerstandsverhältnis verbunden. Wenn wir Effekte aufgrund von Änderungen der Reynoldszahl im Zusammenhang mit Änderungen der Fluggeschwindigkeit ignorieren, können wir die Annäherung vornehmen, dass derselbe Anstellwinkel des Flügels immer mit demselben Auftriebskoeffizienten, Luftwiderstandsbeiwert und Auftriebswiderstandsverhältnis verbunden ist Unabhängig davon, ob das Flugzeug schwer oder leicht ist – eine Gewichtsänderung wird als eine Änderung der Fluggeschwindigkeit ausgedrückt, die mit einem bestimmten Anstellwinkel verbunden ist, aber keine Änderung des Auftriebskoeffizienten, des Luftwiderstandsbeiwerts oder des damit verbundenen Auftriebs-/Widerstandsverhältnisses mit jedem gegebenen Anstellwinkel. Wenn wir das Gewicht erhöhen, tritt jedes gegebene L/D-Verhältnis – einschließlich des maximalen L/D-Verhältnisses – nun bei einer höheren Fluggeschwindigkeit auf.

Wenn das beste Gleitverhältnis in stiller Luft bei demselben Anstellwinkel auftritt, der das beste L/D-Verhältnis ergibt, dann folgt klar, dass wir die Sinkrate minimieren können, indem wir den Anstellwinkel erhöhen, um leicht zu verlangsamen, auch wenn dies das L/D-Verhältnis und die Gleitzahl etwas verschlechtert. Mit anderen Worten, wenn wir einen etwas steileren Gleitpfad langsamer hinunterfliegen, können wir die Sinkrate minimieren. Offensichtlich gibt es eine Grenze für diesen Prozess – wenn wir den Anstellwinkel weiter erhöhen und das L/D-Verhältnis verschlechtern, erreichen wir irgendwann, lange bevor wir einen ausgewachsenen Strömungsabriss erreichen, einen Punkt, an dem wir Die erhöhte Steilheit des Gleitpfads ist zu stark, um durch die verringerte Fluggeschwindigkeit ausgeglichen zu werden, und die Sinkrate beginnt wieder zu steigen.

Tatsächlich tritt das höchste L/D-Verhältnis bei dem Anstellwinkel auf, der das höchste Verhältnis von Cl/Cd ergibt, während die minimale Sinkgeschwindigkeit bei dem Anstellwinkel auftritt, der das höchste Verhältnis von (Cl^3 ) / (Cd^2), was auch das höchste Verhältnis von ((L^3) / (D^2)) / Fluggeschwindigkeit ist. Es ist klar, dass wir, wenn wir die Sinkrate minimieren wollen, mehr gewinnen, wenn wir den Auftriebsbeiwert maximieren, als wenn wir den Luftwiderstandsbeiwert minimieren, also sollten wir einen Anstellwinkel wählen, der etwas höher ist als der Anstellwinkel für den bestes L/D- oder Cl/Cd-Verhältnis. Dies bedeutet, dass die Fluggeschwindigkeit für das minimale Sinken immer langsamer ist als die Fluggeschwindigkeit für die beste Gleitzahl in stiller Luft.

Vektordiagramme wie die in dieser Antwort enthaltenen sind in Büchern über Segelflug überraschend selten. Von der FAA veröffentlichte Materialien versuchen manchmal, ein solches Diagramm aufzunehmen, aber sie sind ausnahmslos verpfuscht, wobei die Länge der verschiedenen Kraftvektoren so geändert wird, dass sie unmöglich ein geschlossenes Vektordreieck bilden können, wodurch dem Leser jegliche Möglichkeit zum Verständnis genommen wird die Beziehung zwischen den Kraftvektoren und der Gleitzahl. (Man könnte optimistisch hoffen, dass sie versuchen, darauf hinzuweisen, dass ein Segelflugzeug nicht immer in einer geraden Linie ohne Beschleunigung fliegt?) (Siehe zum Beispiel Abbildung 3-1 auf Seite 3-2 des "Glider Flying Handbook" der FAA. (2013)-- hier ist sogar ein Schubvektor enthalten!) Selbst einem theoriereichen Buch wie "New Soaring Pilot" von Welch, Welch und Irving (3. Auflage, 1977) fehlt jegliche Darstellung des Lift-Drag- Gewichtsdiagramm für stationären Gleitflug. Auf Seite 233 dieses Buches finden Sie jedoch eine "Polarkurve", die deutlich zeigt, dass das maximale L / D-Verhältnis bei einer höheren Fluggeschwindigkeit als der minimalen Sinkrate auftritt.

Ein paar zusätzliche Anmerkungen –

• Unsere Vektordreiecke zeigen auch, dass der Maximalwert von (Horizontalgeschwindigkeit / Sinkrate) und der Maximalwert von (Fluggeschwindigkeit / Sinkrate) beide genau beim maximalen L/D-Verhältnis auftreten, sodass wir auch die Fluggeschwindigkeit für maximalen Gleitwinkel finden können indem Sie sich das Diagramm von (Fluggeschwindigkeit / Sinkrate) gegenüber der Fluggeschwindigkeit ansehen und die Fluggeschwindigkeit auswählen, bei der (Fluggeschwindigkeit / Sinkrate) maximiert oder (Sinkrate / Fluggeschwindigkeit) minimiert ist. Natürlich ist dies nicht die Fluggeschwindigkeit für die minimale Sinkrate. Die Fluggeschwindigkeit für minimale Sinkrate wird natürlich immer niedriger sein als die Fluggeschwindigkeit für minimale (Sinkrate / Fluggeschwindigkeit).

• Gelegentlich stößt man auf den Vorschlag, dass die beste L/D-Geschwindigkeit oder die minimale Sinkgeschwindigkeit etwas mit dem Punkt zu tun hat, an dem der induzierte Widerstand liegtwird minimiert. Die obigen Vektordiagramme zeigen, dass wir, solange das Gewicht festgelegt ist, bei Maximierung von L/D auch den Luftwiderstand minimieren. Bei der Fluggeschwindigkeit mit dem besten Gleitverhältnis, bei der das L / D-Verhältnis maximiert ist, wird der Luftwiderstand minimiert. Da der induzierte Widerstand mit der Fluggeschwindigkeit abnimmt und der parasitäre Widerstand mit der Fluggeschwindigkeit zunimmt, folgt daraus, dass am Punkt des maximalen L/D – dh am Punkt des minimalen Widerstands – die Hälfte des Widerstands induzierter Widerstand und die Hälfte des Widerstands parasitärer Widerstand sein muss . Dies ist der einzige Punkt, an dem der Widerstand minimal sein kann. Der Punkt des besten L/D kann natürlich nicht an ein Minimum des induzierten Widerstands oder ein Maximum des Auftriebs/induzierten Widerstands gebunden werden. Das Verhältnis von Auftrieb zu induziertem Widerstand ist am höchsten bei sehr niedrigen Anstellwinkeln , dh bei sehr hohen Fluggeschwindigkeiten .

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