Ableitung des dritten Newtonschen Gesetzes aus der Homogenität des Raums

Die Herleitung in Landau und Lifschitz macht einige zusätzliche implizite Annahmen. Sie gehen davon aus, dass alle Kräfte aus Paarwechselwirkungen stammen und dass die Paarkräfte rotationsinvariant sind. Mit diesen beiden Annahmen ist die Potentialfunktion in der Lagrangefunktion

Und dann ist es einfach, Newtons drittes Gesetz zu beweisen, weil die Ableitung der Abstandsfunktion für jedes Teilchenpaar gleich und entgegengesetzt ist.

Diese Art der Herleitung ist für makroskopische Objekte physikalisch sinnvoll, aber mathematisch nicht ok, da wichtige Beispiele weggelassen werden.

Keine Rotationsinvarianz, kein drittes Gesetz

Wenn man die Annahme der Rotationsinvarianz fallen lässt, aber die Annahme der paarweisen Wechselwirkung beibehält, erhält man das folgende Gegenbeispiel in 2 Dimensionen, mit zwei Teilchen (A, B) mit Ortsvektoren$(A_x,A_y)$ $(B_x,B_y)$beziehungsweise:

wo$f$ist eine andere Funktion als$f(x)=x^2$. Dieses Paarpotential führt zu gleichen und entgegengesetzten Kräften, aber nicht zu kollinearen. Linearer Impuls und Energie bleiben erhalten, Drehimpuls jedoch nicht, außer wenn sich beide Teilchen auf den Linien befinden$y=\pm x$relativ zueinander. Das Potential ist natürlich unphysikalisch, in Abwesenheit eines Mediums wie eines Gitters, das die Rotationsinvarianz bricht.

Direkte Vielteilchen-Wechselwirkungen, keine Reflexionssymmetrie, kein dritter Hauptsatz

Es gibt eine andere Klasse von Gegenbeispielen, die viel interessanter ist, weil sie die Drehimpuls- oder Schwerpunkterhaltungsgesetze nicht brechen und daher physikalisch mögliche Wechselwirkungen im Vakuum sind, aber sie brechen Newtons drittes Gesetz. Dies ist die chirale Dreikörperwechselwirkung.

Betrachten Sie 3 Teilchen A, B, C in zwei Dimensionen, deren Potentialfunktion gleich der vorzeichenbehafteten Fläche des Dreiecks ist, das durch die Punkte A, B, C gebildet wird.

Wenn alle 3 Teilchen kollinear sind, stehen die Kräfte für dieses 3-Körper-Potential senkrecht auf der gemeinsamen Linie, auf der sie liegen. Die Ableitung der Fläche wird maximal, indem die Punkte von der gemeinsamen Linie wegbewegt werden. Sie können die Kraft also offensichtlich nicht als Summe paarweiser Wechselwirkungen entlang der Trennlinie schreiben, gleich und entgegengesetzt oder nicht. Die Kräfte und Momente addieren sich trotzdem zu Null, da dieses Potential translatorisch und rotatorisch invariant ist.

Direkte Interaktion vieler Körper, räumliche Reflexionssymmetrie, beschissener dritter Hauptsatz

Wenn die Kraft auf k Teilchen reflexionsinvariant ist, verlässt sie niemals den Unterraum, der durch ihre gegenseitige Trennung aufgespannt wird. Denn wenn sie in einem niedrigerdimensionalen Unterraum liegen, ist das System in Bezug auf Reflexionen senkrecht zu diesem Unterraum invariant, also müssen die Kräfte es auch sein.

Das heißt, man kann zwischen den Teilchen immer gleiche und gegensätzliche Kräfte zusammenbrauen, die sich zur Gesamtkraft addieren, und so tun, als wären diese Kräfte physikalisch sinnvoll. Auf diese Weise können Sie Newtons drittes Gesetz gewissermaßen retten. Aber es gibt Unsinn Kräfte.

Um zu sehen, dass dies Unsinn ist, betrachten Sie das Potenzial des Drei-Teilchen-Dreiecks von zuvor, aber nehmen Sie diesmal den absoluten Wert. Das Ergebnis ist reflexionsinvariant, enthält aber eine Diskontinuität in der Ableitung, wenn die Teilchen kollinear werden. In der Nähe der Kollinearität haben die senkrechten Kräfte eine endliche Grenze. Aber um diese endlichen Kräfte als Summe gleicher und entgegengesetzter Beiträge der drei Teilchen zu schreiben, müssen die Kräfte zwischen den Teilchen bei Kollinearität divergieren.

Drei Körperwechselwirkungen sind natürlich

Es gibt natürliche Physik, die eine solche Drei-Körper-Wechselwirkung ergibt. Sie können sich vorstellen, dass die drei Körper durch starre, reibungsfreie Streben verbunden sind, die sich wie zusammenklappbare Antennen frei ausdehnen und zusammenziehen können, und eine sehr hochwertige masselose Seifenblase wird zwischen den Streben gespannt. Die Seifenblase hat entsprechend ihrer von Null verschiedenen Oberflächenspannung bevorzugt eine kleinere Fläche. Wenn die Dynamik der Seifenblase und der Streben im Vergleich zu den Partikeln schnell ist, kann man die Freiheitsgrade der Seifenblase herausintegrieren und erhält eine solche Drei-Körper-Wechselwirkung.

Dann ist der Grund, warum die Körper nahe der Kollinearität mit einer endlichen Querkraft zusammenschnappen, klar – die Seifenblase will auf eine Nullfläche kollabieren, also zieht sie sie hinein. Es ist dann offensichtlich, dass es keinen Sinn gibt, in dem sie divergieren paarweise Kräfte oder irgendwelche paarweisen Kräfte überhaupt.

Andere Fälle, in denen Sie direkt drei Körperinteraktionen erhalten, sind, wenn Sie ein nichtlineares Feld zwischen den drei Objekten haben und die Felddynamik schnell ist. Betrachten Sie ein kubisch selbstwechselwirkendes massives Skalarfeld (mit kubischer Kopplung$\lambda$) aus klassischen stationären Delta-Funktionsquellen der Stärke g. Der führende nichtlineare Beitrag zum klassischen Potential ist eine klassische Drei-Körper-Interaktion der Form auf Baumebene

was heuristisch so ungefähr geht${e^{-mr_{123}}r_{123}\over r_{12}r_{23}r_{13}}$wobei die r die Seitenlängen des Dreiecks sind und$r_{123}$ist der Umfang (dies ist nur eine Skalierungsschätzung). Für Nukleonen sind viele Körperpotentiale von Bedeutung.

Die Kräfte aus dem beschissenen dritten Hauptsatz sind nicht integrierbar

Wenn Sie immer noch auf der Beschreibung des dritten Newtonschen Gesetzes von Drei-Körper-Wechselwirkungen wie den Seifenblasenteilchen bestehen und für jedes Teilchenpaar eine paarweise Kraft angeben, die sich zur vollständigen Vielteilchen-Wechselwirkung aufsummiert, können diese paarweisen Kräfte nicht gedacht werden als von einer Potentialfunktion kommend. Sie sind nicht integrierbar.

Das Beispiel der Seifenblasenkraft macht es deutlich: Wenn A, B, C zwischen A und C fast kollinear mit B sind, näher an A, können Sie B von A weg in Richtung C schieben, sehr, sehr nahe an der Kollinearität, und Bringen Sie es weniger nahe an die Kollinearität zurück. Die AB-Kraft verläuft entlang der Trennlinie und divergiert bei Kollinearität, sodass das Integral der Kraft entlang dieser Schleife nicht Null sein kann.

Die Kraft ist natürlich immer noch konservativ, sie kommt immerhin von einem Drei-Körper-Potential. Dies bedeutet, dass die Zweikörper-AB-Kraft plus die Zweikörper-BC-Kraft integrierbar ist. Es ist nur so, dass der AC Two Body Force nicht ist. Die Trennung ist also völlig albern.

Fehlen von Mehrkörperwechselwirkungen für makroskopische Objekte im leeren Raum

Die Wechselwirkungen makroskopischer Objekte erfolgen durch Kontaktkräfte, die notwendigerweise paarweise sind, da alle anderen Kontakte weit entfernt sind, und elektromagnetische und Gravitationsfelder, die auf diesen Skalen sehr nahe an linear sind. Die elektromagnetischen und Gravitationskräfte addieren sich am Ende linear zwischen Paaren, und das Ergebnis ist ein Potential der Form, die Landau und Lifschitz betrachten – paarweise Wechselwirkungen, die einzeln rotationsinvariant sind.

Aber für dicht gepackte Atome in einem Kristall gibt es keinen Grund, 3-Körper-Potentiale zu ignorieren. Es ist sicherlich richtig, dass im Kern Dreikörper- und Vierkörperpotentiale notwendig sind, aber in beiden Fällen handelt es sich um Quantensysteme.

Ich glaube also nicht, dass das dritte Gesetz besonders grundlegend ist. Als philosophisches Ding gilt, dass nichts handeln kann, ohne dass danach gehandelt wird, es ist so gültig wie jedes andere allgemeine Prinzip. Aber als mathematische Aussage über die Natur der Wechselwirkungen zwischen Teilchen ist es völlig veraltet. Die grundlegenden Dinge sind die Erhaltung des linearen Impulses, des Drehimpulses und des Massenschwerpunkts, die unabhängige Gesetze sind, die jeweils von der Translationsinvarianz, Rotationsinvarianz und Galilei-Invarianz abgeleitet werden. Die paarweise entlang der Trennrichtung wirkenden Kräfte sind nur ein Zufall.

Im Rahmen der klassischen Mechanik ist das dritte Newtonsche Gesetz ein eigenständiges Postulat.

Newtons drittes Gesetz in seiner starken Form besagt, dass nicht nur die gegenseitigen Aktions- und Reaktionskräfte zwischen zwei Körpern an einer Position gleich und entgegengesetzt sind$\vec{r}_1$und$\vec{r}_2$, sie sind auch kollinear, dh parallel zu$\vec{r}_2-\vec{r}_1$.

Wenn wir Lagrange-Gleichungen aus den Newtonschen Gesetzen ableiten (siehe zB Herbert Goldstein, „Klassische Mechanik“, Kapitel 1), mag es etwas versteckt erscheinen, wenn wir tatsächlich das dritte Newtonsche Gesetz verwenden.

Bei der Herleitung gehen wir davon aus, dass Zwangskräfte keine virtuelle Arbeit leisten$^{1}$. Betrachten Sie nun einen starren Körper. Es ist eine Tatsache, dass wir uns stark auf Newtons drittes Gesetz in seiner starken Form stützen, um zu argumentieren, dass die inneren Kräfte von Beschränkungen (die den starren Körper zusammenhalten) keine virtuelle Arbeit leisten.

Siehe auch das Prinzip von D'Alembert und das Prinzip der virtuellen Arbeit für weitere Informationen.

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$^{1}$Dies gilt zB nicht für Gleitreibungskräfte, die wir daher ausschließen müssen.

Nachdem Sie herausgefunden haben, dass die Summe aller Kräfte Null ist, warum haben Sie angenommen, dass die inneren Kräfte dieselbe kollineare Richtung haben (dh warum sollten sie entlang derselben Linie entgegengesetzt sein? Sie können in jeder Richtung sein, solange die Summe ist Null?) Außerdem betrachten Sie 2 Teilchen;$\vec{F_1}$+$\vec{F_2}$=$0$könnte Ihnen eine Vorstellung davon geben, wie sich die Kräfte verhalten. Verallgemeinern Sie auf 3 und mehr Richtungen.