Bedingte Stabilität

Genau aus diesem Grund denke ich, dass die Leute die Stabilität zuerst mit Nyquist-Diagrammen und DANN mit Bode-Diagrammen und den zugehörigen Verstärkungs- und Phasenranddiagrammen untersuchen sollten.

Die Verstärkungs- / Phasenspannen sind nur eine bequeme Methode, um zu bestimmen, wie nahe das System an Pole auf der rechten Seite der komplexen Ebene kommt, in Bezug darauf, wie nahe das Nyquist-Diagramm an -1 kommt, da diese Terme nach der Partialbrucherweiterung mit positive Pole enden als Exponentiale der Zeit mit positivem Koeffizienten, was bedeutet, dass sie ins Unendliche geht, was bedeutet, dass sie instabil ist.

Sie funktionieren jedoch nur, wenn der Nyquist-Plot "normal aussieht". Es kann sehr gut sein, dass es so etwas tut:

Es verstößt also gegen die Phasenrandregel, aber die Übertragungsfunktion G (s) H (s) der offenen Schleife umkreist nicht -1, sodass 1 + G (s) H (s) keine Nullen auf der rechten Seite hat. was bedeutet, dass die geschlossene Schleife auf der rechten Seite keine Stangen hat, also ist sie immer noch stabil.

Das Wort bedingt kommt von der Tatsache, dass die Verstärkung eine Ober-/Untergrenze hat, um dies so zu halten, und das Überschreiten dieser Grenzen das System instabil macht (weil es die Kurve genug verschiebt, um die Anzahl der Einkreisungen von -1 zu ändern).

Bedingte Stabilität in einer Open-Loop-Antwort.

Erstens, da dies von Ridley ist, können Sie darauf wetten, dass dies eine Open-Loop-Antwort eines Leistungswandlers ist. Diese Antwort wird für die gezeigte Verstärkung für kleine lineare Schleifenstörungen stabil sein. Wenn die Schleifenstörung groß genug wird, um die Verstärker in einen nichtlinearen Betrieb zu treiben, wird die Schleife wahrscheinlich oszillierend, weil der Betrieb im nichtlinearen Bereich eine niedrigere Verstärkung des Verstärkers haben wird.

Das Problem bei Schleifen wie dieser besteht darin, dass Systeme zwar stabil sind, aber häufig eine Verstärkung aufweisen, die je nach Eingangsspannung, Last oder Temperatur oder einer Kombination aus all diesen stark variiert. Wenn Sie eine bedingt stabile Schleife verwenden, müssen Sie sicherstellen, dass keine dieser Abhängigkeiten während eines Betriebsmodus (einschließlich Startbedingungen) ein Faktor ist. Sobald diese Art von Schleifen zu oszillieren beginnen, neigen sie dazu, zu haften (die Oszillation verringert die Verstärkung, um dies zu erreichen).

Beachten Sie, dass die Schleife wie gezeigt richtig mit 2 Nullen kompensiert wird, um die 2 Pole abzudecken. Das Problem ist, dass die Pole wahrscheinlich von einem LC-Filter (komplexe Pole) in der Schleife stammen. Es wird eine verlustarme Induktivität und eine verlustarme Kondensatorbank geben, die zusammen eine hohe Q-Antwort ergeben. Da dieses Q hoch ist, wird der gesamte Phasenbeitrag des LC in einem sehr kleinen Frequenzbereich auftreten; Aus dem Diagramm sieht es wie etwa eine Oktave für 180 Grad Phasenverlust aus. Die kompensatorischen Nullen des Operationsverstärkers sind einfach, und daher erfolgt die Phasenanhebung über eine Frequenzspanne von 2 Dekaden (mindestens). Obwohl es eine ausreichende Phasenanhebung gibt, um den LC-Phasenverlust abzudecken, gibt es also einen Phaseneinbruch und keinen oder einen negativen Phasenrand in der Mitte nahe den Polen.

Mögliche Abhilfen für eine solche Schleifenantwort:

• Die kompensatorischen Nullen können so aufgeteilt werden, dass man vor den Polen eintrifft (die Pole einklammern), wodurch man früh einen Phasenkick hinzufügt. Das könnte zu mehr Phasenspielraum beim Phaseneinbruch führen, reicht aber möglicherweise nicht aus.

• Die beste Maßnahme besteht normalerweise darin, die Güte des LC-Filters zu verringern.

Loop-Dekonstruktion:

Um zu zeigen, wie diese Art von Open-Loop-Antwort zustande kommen könnte, kann der Loop unter Verwendung eines einfachen Modells dekonstruiert werden.

Ich kenne die Schaltung nicht wirklich, die die vom OP gepostete Antwort ausgelöst hat, aber ich vermute, basierend auf der Art und Weise, wie die Antwort aussieht, dass sie von einem Boost-Regler im kontinuierlichen Leitungsmodus stammt. Ein Basismodell würde einen LC-Filter, einen PowerModulator und einen Fehlerverstärker enthalten. Ein Halbschema einer AC-Open-Loop-Version ist:

Die Schaltung spiegelt im Allgemeinen das Verhalten einer CCM-Boost-Schleife wider, obwohl die Einzelheiten hier so gewählt sind, dass sie vernünftig sind und die bequemste Übereinstimmung mit der angegebenen Schleife erzielen ... mit dem geringsten Arbeitsaufwand. Dies ist nur ein Werkzeug, um alle Teile der Schleife zu trennen und zu zeigen, wie sie zusammen die Gesamtschleife bilden würden.

Beginnen wir mit dem Ergebnis dieses Modells, der vollständigen Schleife:

Nicht schlecht ... sieht ziemlich nah am Original aus. Sie können sehen, dass der grundlegende Charakter der Schleife ein Integrator mit einer LC-Resonanzstörung bei 1000 Hz ist. Bei Frequenzen unterhalb der LC-Pole fällt die Schleifenverstärkung bei -20 dB pro Dekade ab, und bei Frequenzen oberhalb der LC-Pole nimmt die Verstärkung wieder -20 dB pro Dekade ab. Da es also insgesamt einen 1-Pol-Rolloff (-20 dB/) gibt, hat etwas diese 2 LC-Pole verwaltet, indem es sie mit Nullen bedeckt hat. Oberhalb von ~20 kHz treten zusätzliche Artefakte auf; ESR-Null im LC-Filter, Null der rechten Halbebene (rhpz) und Nyquist-Frequenz; was kurz erwähnt werden soll.

Antwort des LC-Filters:

Hier sieht man die LC-Pole bei 1kHz und deren Wirkung$C_o$esr eine Null bei etwa 65kHz. Beachten Sie, wie komprimiert das Phasenverhalten der LC-Pole ist, fast die gesamte Änderung erfolgt in ein paar Oktaven.

Leistungsmodulator mit LC-Filter:

Der Leistungsmodulator wurde hier zum LC-Filter hinzugefügt. Der Leistungsmodulator hat eine Verstärkung von 30 dB, die Null der rechten Halbebene bei 70 kHz und einen Pol für die Nyquist-Frequenz bei 100 kHz (ja, ich weiß, dass das Hinzufügen eines Pols nicht der richtige Weg ist, mit Nyquist umzugehen, aber dafür muss es reichen ). Abgesehen von 30 dB Gain sieht der Gain-Plot genauso aus wie nur der LC. Aber was ist mit dieser Phase? Es ist das rhpz, das eine Phase wie ein lhp-Pol aufweist, aber eine Verstärkung wie eine lhp-Null. Dies ist hauptsächlich der Grund, warum sich die Open-Loop-Phase nach der LC-Resonanz nie so stark erholt, wie Sie denken würden.

Fehlerverstärker:

Hier sehen Sie die Verstärkerantwort mit ihrem Niederfrequenzintegratorpol, gefolgt von 2 Nullen bei etwa 1 kHz und 7 kHz, einem Pol bei 42 kHz, um die letzte Null abzuflachen, bevor sie in die Verstärkungsbandbreitengrenze des Verstärkers gerät.

Der Operationsverstärker hatte eine Bandbreite von 20 MHz mit einer Verstärkung von 140 dB und einem 2-Hz-Niederfrequenzpol. Integratorverstärkung wird durch R1 und C1 eingestellt. Die erste Null wird durch C1 und R3 gesetzt. Die zweite Null wird von C2 und R1 gesetzt. Der Nivellierstab wird durch C2 und R2 eingestellt.

Zunächst eine kleine Klarstellung. Was Sie darstellen, ist die Schleifenverstärkung L(s), die G(s)H(s) im folgenden Diagramm entsprechen würde:

Die vollständige Übertragungsfunktion (auch Closed Loop Gain genannt ) ist in diesem Fall:

Die inverse Transformation hat wachsende Exponentiale (was bedeutet, dass es sich um ein instabiles System handelt), wenn diese Funktion Pole auf der rechten Seite (RHS) der s-Ebene hat. Das ist dasselbe wie herauszufinden, ob es auf der rechten Seite der s-Ebene von 1+L(s) irgendwelche Nullstellen gibt. Die Instabilität wird also grundsätzlich durch die Schleifenverstärkung bestimmt, es besteht keine Notwendigkeit, die komplexere Regelkreisverstärkung zu berechnen. Wenn es also um Stabilität geht, beziehen sich die Diagramme fast immer auf die Schleifenverstärkung L(s).

Zurück zu deiner Frage:

In Bezug auf die Behauptung, dass das System instabil ist, wenn die Verstärkung größer als 0 dB mit invertierter Phase (-180) ist, möchte ich mit einem leicht nachvollziehbaren Gegenbeispiel antworten. Betrachten Sie das sehr einfache:

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Die Schleifenübertragungsfunktion ist

Nach dem allzu anmaßenden Kriterium, das besagt:

wenn die Schleifenverstärkung bei -180° positiv ist, wird das System instabil.

Wenn dann |K| > 1, dann muss es instabil sein.

Aber das ist es nicht. Die Ausgabe ist:

Wenn also K = -2 (positive Verstärkung in dB und Phase von -180),

Stabil.

Wenn andererseits K = -1 ist, dann haben wir ein Problem (es wird instabil).

Das Obige war nur ein Beispiel für eine Konstante, aber im Allgemeinen bedeutet das Wissen, dass die Verstärkung bei -180 > 0 dB ist, nicht, dass das System instabil ist . Wenn Ihr Buch das sagt, ist es falsch (aber es scheint für viele typische Fälle richtig zu sein).

Wenn Sie sich vorstellen, dass das obige System eine winzige Verzögerung hat und dass das Signal E keine Zeit zum Antworten hatte und den falschen Wert hat, und dann sehen, wie es sich iterativ durch die Schleife ausbreitet, werden Sie zu dem Schluss kommen, dass das Signal wachsen wird ohne gebunden. Und damit geraten Sie in eine mentale Falle, aus der Sie nur schwer herauskommen können. Dies ist meiner Meinung nach das zugrunde liegende Missverständnis, das es nicht zulässt, konzeptionell zu akzeptieren, dass das System in Ihrer Frage stabil sein kann.

Das Bode-Diagramm ist nur ein Teil von Nyquist, und das Bode-Stabilitätskriterium ist nur anwendbar, wenn das Nyquist-Diagramm typisch ist, aber Bode ist nur eine Annehmlichkeit (es ist einfacher zu zeichnen als Nyquist).

Nyquist-Plots und seine vereinfachte Version von Bode-Plots sind nur grafische Methoden, um hauptsächlich:

1. Finden Sie heraus, ob das System RHS-Pole hat, die zu wachsenden Exponenten werden.
2. Erhalten Sie einen Einblick, wie weit das System davon entfernt ist, stabil/instabil zu sein, und was dagegen getan werden kann.

Nur zur Verdeutlichung: Es gibt kein Überschwemmen, das instabile Frequenzen minimiert. Eine einfache Erklärung ist zu bedenken, dass die Gesamtantwort die Überlagerung der Antworten aller Frequenzen ist, sodass es einfach keine Möglichkeit gibt, sie zu fixieren, genauso wie Sie eine Sinuskurve einer bestimmten Frequenz nicht mit einer beliebigen Anzahl von auslöschen können Sinuskurven verschiedener Frequenzen.

Aber andererseits ist es auch falsch, in Frequenzen zu denken, die das System instabil machen. Diese Instabilität ist nicht dasselbe wie eine unendliche Resonanzfrequenz, wie in einem ungedämpften System 2. Ordnung. Das ist ein oszillierendes System, aber die Instabilität, über die wir sprechen, besteht darin, mit jeder Eingabe (außer Null) grenzenlos zu wachsen.

Ein einfacher Weg, dies zu beweisen, besteht darin, zu erkennen, dass ein instabiles System Pole auf der rechten Seite der S-Ebene haben wird, und dass:

Es besteht also keine Möglichkeit, einen Pol in der multiplizierenden Übertragungsfunktion aufzuheben. Der Output wird noch grenzenlos wachsen.

Die Schwingungsantwort kommt nur ins Spiel, wenn die Phase beim Nulldurchgang der Verstärkung schlecht ist. Diese Schleife ist bedingt stabil, denn wenn ein Faktor die Verstärkung reduziert (was zu einem früheren Übergang führt), könnte sie in diesem 2-kHz-Bereich, in dem die Phase gefährlich ist, übergehen und die Schwingungsantwort erzeugen.

Um diese Schleife bedingungslos stabil zu machen, müsste es entweder eine gewisse Phasenanhebung geben, um diesen 2-kHz-Abschnitt aus der Gefahrenzone zu bewegen, oder die Verstärkung müsste bei einer viel niedrigeren Frequenz übergehen (in dem Bereich, bevor die Phase zusammenbricht).