Plancksche Konstante und Phasenraum in der Quantenmechanik

Während meines Physikunterrichts im Grundstudium bin ich auf mehrere scheinbar verwandte Phänomene gestoßen, mit denen ich mich befasse H und Phasenraum in der Quantenmechanik.

  1. Lassen T X sei ein Übersetzungsoperator von X im Positionsraum und let T P übersetzen von P im Impulsraum. Dann T X Und T P pendeln wenn X P ist ein Vielfaches von H .
  2. Angenommen, ein System von Teilchen kann ein gewisses Volumen einnehmen 2 N -dimensionaler Phasenraum. Dann ist die Dichte der Quantenzustände (in bestimmten netten Fällen). 1 / H 2 N .
  3. Die Quantisierungsbedingung der alten Quantentheorie: die legalen Phasenraumpfade erfüllen ∫ P D Q = N H .
  4. Die WKB-Näherung mit zwei harten Wänden: Stationäre Zustände müssen genügen ∫ P D X = N H / 2 .

Wie aus dem Kommentar unten hervorgeht, sind diese Dinge alle durch das Gebiet der semiklassischen Analyse verbunden. Ich hätte gerne einen kurzen Überblick darüber, was semiklassische Analyse ist und wie diese Verbindungen funktionieren.

Sie sollten sich wahrscheinlich den Zweig der Mathematik ansehen, der als semiklassische Analysis bezeichnet wird. Insbesondere denke ich, dass das Weyl-Gesetz in diesem Zusammenhang nützlich sein kann ...
Wow, das ist genau das, wonach ich gesucht habe! Die Mathematik ist zu diesem Zeitpunkt über meinem Kopf, aber ich werde definitiv in ein oder zwei Jahren darauf zurückkommen.

Antworten (1)

I) Der gemeinsame Ausgangspunkt ist das CCR

(1) [ Q ^ , P ^ ]   =   ich ℏ   1 .

Für eine allgemeine irreduzible Darstellung des CCR (1) siehe Theorem von Stone-von Neumann . Die Standard-Schrödinger-Positionsdarstellung lautet

(2) Q ^   =   Q , P ^   =   − ich ℏ ∂ ∂ Q .

Es gibt eine ähnliche Schrödinger-Impulsdarstellung. Der CCR (1) schreibt auch die Überlappung zwischen der Positions- und Impulsbasis vor

(3) ⟨ P , T ∣ Q , T ⟩   =   1 2 π ℏ exp ⁡ ( P Q ich ℏ )

bis zu Phasenfaktorkonventionen, vgl. zB diese . Phys.SE-Beitrag. Daraus folgt, dass die potenzierten Operatoren

(4) T A   :=   exp ⁡ ( ich A ℏ P ^ ) Und T ~ B   :=   exp ⁡ ( B ich ℏ P ^ )
werden die Übersetzungsoperatoren
(5) T A ψ ( Q )   =   ψ ( Q + A ) , T ~ B ψ ~ ( P )   =   ψ ~ ( P + B ) .
Aus der CCR (1) und der BCH- ähnlichen Formel
(6) e A ^ e B ^   =   e C ^ e B ^ e A ^ , C ^   :=   [ A ^ , B ^ ] ,
was gilt wenn
(7) [ A ^ , C ^ ]   =   0 Und [ B ^ , C ^ ]   =   0 ,
es ist einfach, das zu sehen
(8) [ T A , T ~ B ]   =   0 ⇔ A B   ∈   H Z ,
Das ist die erste Aussage von OP.

II) Die TISE in der Schrödinger-Stellungsdarstellung lautet

(9) ( P ^ 2 − P ( Q ) 2 ) ψ ( Q )   =   0 , P ( Q )   :=   2 M ( E − v ( Q ) ) .
Die halbklassische WKB-Erweiterung
(10) ψ ( Q )   =   A ( Q ) exp ⁡ ( ich ℏ S ( Q ) )
führt zu
(11) D S ( Q ) D Q   =   ± P ( Q ) .
Die WKB/Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung 1
(12) ∮ P ( Q )   D Q   ∈   H Z
folgt dann im Wesentlichen daraus, dass die Wellenfunktion (10) einwertig sein soll. Für eine detailliertere Herleitung siehe z. B. die in diesem Phys.SE-Beitrag angegebenen Referenzen. Die WKB/Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung (12) zeigt, dass es in 1D ungefähr einen gebundenen Zustand pro klassisch verfügbarem Phasenraumbereich dividiert durch die Plancksche Konstante gibt H . Dies lässt sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern, siehe zB Weylsches Gesetz , vgl. obiger Kommentar von Benutzer yuggib.

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1 In Gl. (12) wir haben der Einfachheit halber die metaplektische Korrektur / Maslov-Index vernachlässigt .

Plancksche Konstante und Phasenraum in der Quantenmechanik
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