Nein

Voraussetzung für das Gravitationsgleichgewicht eines flüssigen Körpers ist, dass das Gravitationspotential über seine Oberfläche konstant ist. Für den Würfel mit Dichte$\rho$, durch Integration

$$V(\mathbf r) = \int_{cube} \frac{G \rho}{\lVert \mathbf r - \mathbf r' \rVert_\lambda} d^3 \mathbf r'$$ für verschiedene Standorte $\mathbf r$ an seiner Oberfläche ist leicht zu erkennen, dass zB die Mitte einer Fläche des Würfels tiefer in der Gravitationsmulde liegt als ein Punkt auf seiner Kante (oder Scheitelpunkt).

Die richtige Form ist wahrscheinlich keine Kugel, die mit der gleichen Methode auch überprüft werden kann, aber es ist schwieriger zu integrieren, also habe ich es nicht gemacht. Es ist immer noch eine interessante mathematische Frage, was die richtige Form wäre.

Wie Danijel betont hat, kann die Frage umformuliert werden als "Welche Form hat die Äquipotentialfläche unter diesem Kraftgesetz?"

Es gibt außerdem zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ergebnisse zu betrachten: die externe Perspektive, bei der wir sehen, auf welche Formen diese "Planeten" abgebildet werden, wenn wir sie über unseren normalen euklidischen Raum legen, und die interne Perspektive - wie würden sie "aussehen"? jemand in die gleiche Metrik eingebettet?

Die externe Perspektive ist viel einfacher herauszufinden. Sie berechnen einfach die Form der Äquipotentialfläche im euklidischen Raum mit einem anderen Kraftgesetz. Die genaue Form zu finden ist kompliziert, aber die breiten Striche sind ziemlich klar: Die Kraft nimmt über die euklidische Distanz entlang der Oktanten langsamer ab als normal zu den Flächen, was bedeutet, dass das Potenzial bei gleichem euklidischem Abstand entlang der Oktanten höher ist als der Flächen. .. und so endet die Äquipotentialfläche nach innen entlang der Oktanten, anstatt herauszuragen, um Würfelscheitelpunkte zu bilden. Wenn Sie eigentlich kubische Welten wollten, benötigen Sie ein Kraftgesetz, das entlang der Oktanten schneller abnimmt , nicht langsamer.

Die Erkundung der Innenperspektive ist wesentlich komplizierter. Ehrlich gesagt bin ich mir nicht einmal sicher, wie ich es am besten angehen soll; Der Versuch, mir vorzustellen, in einer Welt mit Lambda-Norm zu leben, bricht mir das Gehirn! Als ersten Schritt würde ich wahrscheinlich versuchen, die lokale Krümmung der Äquipotentialfläche unter dieser Norm zu untersuchen; ist es ungefähr gleichförmig, in welchem ​​Fall die Bewohner dieses Universums wahrscheinlich ihre Welten als ungefähr glatt wahrnehmen würden, wie wir es bei uns tun, oder weist es regelmäßige Variationen auf, die Kanten und Scheitelpunkten entsprechen? Mit etwas mehr Formalisierung (für die Sie anscheinend bestens qualifiziert sind) können Sie diese Frage wahrscheinlich an Mathematics StackExchange stellen und viel produktivere Antworten erhalten.

Jawohl

Dies ist in der Tat nur eine Frage der Perspektive (und der Änderung der Funktionsweise der Schwerkraft). Wenn die Entfernung so definiert ist, wie Sie es vorschlagen, könnten Sie sogar argumentieren, dass unsere Erde auch ein Würfel ist, wenn Sie die Entfernung tatsächlich so wahrnehmen. Worüber wir wirklich sprechen, ist die Definition einer Metrik, und was Sie beschreiben, wird als Taxicab-Metrik bezeichnet, im Gegensatz zu einer euklidischen Metrik. Und wenn man sagt, dass die Schwerkraft die Taxicab-Metrik anstelle einer euklidischen verwendet (die Schwerkraft würde durch die Messung der Entfernung auf Taxicab-Art funktionieren), würde dies unsere Erde zu einem Würfel machen (nach euklidischen Standards), aber sie könnten sie immer noch eine Kugel nennen, weil nach der Taxi-Metrik sind diese Dinge die gleichen. Dies widerspricht auch Ihrer anderen Prämisse, dass dieser Raum den Minkowski-Raumprinzipien folgt, da dieser Raum von einer euklidischen Basis aus definiert wird. Also vielleicht ich'Ich verstehe deine Prämisse falsch.

Ein Problem, dem Sie begegnen werden, ist das der Orientierung (was ist die Ursache dafür, dass eine bestimmte Richtung eine Kardinalrichtung ist). Dann befinden sich die Scheitelpunkte jedes Ihrer kubischen Planeten tatsächlich in den 8 Himmelsrichtungen. Wenn sich ein Objekt also nur in diesen Richtungen bewegen kann, könnte es sich nicht entlang der Oberfläche des Planeten bewegen, es müsste in die Richtung eines der Eckpunkte des Planeten gehen, auf dem es sich von der Oberfläche entfernt befindet. und dann "fallen" entlang der Richtung eines anderen Scheitelpunkts wieder nach unten.

Antwort der Materialwissenschaft; es wird immer eine "Gravitationskugel" sein (ein glattes rundes Objekt mit einer gravitativ flachen Oberfläche), denn so kommen stabile Massenvereinigungen immer zur Ruhe, niedrigster potentieller Energiezustand. Der Übersichtlichkeit halber ist das im planetarischen Maßstab "glatt", "rund" und "flach".

Ich bin mir überhaupt nicht sicher, wie eine Gravitationskugel für einen menschlichen Beobachter im vorgeschlagenen Universum tatsächlich aussieht, aber wenn ich sie durch den euklidischen Filter unserer physischen Sinne betrachte, bin ich mir ziemlich sicher, dass es immer noch eine Kugel sein wird.

TMM;DR (Zu viel Mathematik, nicht gelesen):

Für alle, die die folgenden Ableitungen und Berechnungen nicht durchgehen möchten, hier die wichtigen Punkte aus meiner Antwort:

• Wir arbeiten nicht mit demselben Raum wie ein normaler, freundlicher, euklidischer Raum.
• Das bedeutet, dass wir auf diesem Raum definierte skalare Funktionen zwar noch integrieren und differenzieren können, aber leichte Korrekturen vornehmen müssen.
• Diese Korrekturen können aus dem sogenannten "metrischen Tensor" berechnet werden, der die Krümmung des Raumes beschreibt.
• Es gibt mehrere Methoden, die verwendet werden könnten, um eine Äquipotentialfläche (und damit die Form des Planeten) zu finden; sie sollten diese Korrekturen verlangen.

Wenn Sie mehr Details wünschen, lesen Sie weiter!

Berechnung des metrischen Tensors

Um bestimmte Berechnungen in diesem Raum durchzuführen, ist es notwendig, den metrischen Tensor zu berechnen $g$. Dies wird häufig bei (Pseudo-)Riemannschen Mannigfaltigkeiten verwendet und spielt, wie Sie wissen, eine zentrale Rolle in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Um Berechnungen mit der Krümmung Ihres Raumes durchzuführen, müssen wir wissen$g_{ij}$, die Komponenten von $g$.

Im Riemannschen Fall haben wir die (glatte), nicht negative Norm $F$. Daraus können wir die Komponenten des metrischen Tensors ableiten durch

$$g_{ij}=\frac{1}{2}\frac{\partial^2F^2}{\partial x^i\partial x^j}\tag{1}$$ Im euklidischen Dreiraum (und in kartesischen Koordinaten) $F$ ist die Standard-Euklidische Distanzmetrik $$F=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ was ist dein fall wo $\lambda=2$, und davon kannst du dich wahrscheinlich selbst überzeugen $(1)$ ergibt das Vertraute $$g= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$ Hier können wir die Riemannsche Definition auf Finsler-Räume erweitern, indem wir Ihre $p$-Norm ; in Ihrem Fall haben wir es mit dem Allgemeineren zu tun $$F=\sqrt[\lambda]{x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda},\quad F^2=\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)^{2/\lambda}$$ Zurück gehen zu $(1)$, wir haben $$\begin{aligned} g_{ij} &=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^j}\frac{\partial F^2}{\partial x^i}\\ &=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^j}\left(2(x^i)^{\lambda-1}\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)\right)^{-1+2/\lambda} \end{aligned}$$ Und so $$g_{ij}=\begin{cases}(2-\lambda)(x^i)^{\lambda-1}(x^j)^{\lambda-1}\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)^{-2+2/\lambda},\quad i\neq j\\ \begin{aligned} &(2-\lambda)(x^i)^{2\lambda-2}\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)^{-2+2/\lambda}\\ &+(\lambda-1)(x^i)^{\lambda-2}\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)^{-1+2/\lambda},\quad i=j \end{aligned}\\ \end{cases}\tag{2}$$ Sie können erneut überprüfen, ob dies normal funktioniert, wenn $\lambda=2$.

Volumenelemente

Also, warum kümmern wir uns wirklich darum? $g_{ij}$? Nun, wenn wir uns Danijels Antwort ansehen , können wir sehen, dass sie das Potenzial definieren durch

$$V(\mathbf{x})=\int\frac{G\rho(\mathbf{x})}{||\mathbf{x}-\mathbf{x}'||}d^3\mathbf{x}'\tag{3}$$ wo $d^3\mathbf{x}'$ist das Volumenelement; beachte, dass wir es erlaubt haben $\rho$variieren, wie es für einen echten Planeten der Fall wäre. Für kartesische Koordinaten im euklidischen Raum gilt: $d^3\mathbf{x}=dxdydz$. Dies ist jedoch nicht immer wahr. Tatsächlich in dem allgemeinen Fall , $$d^3\mathbf{x}=\sqrt{|g_{ij}|}dx\wedge dy\wedge dz\tag{4}$$ wo $\wedge$bezeichnet das Keilprodukt , und wir sehen, dass wir die Determinante von berechnen müssen $g$, $|g_{ij}|$. (Beachte noch einmal, wie $\sqrt{|g_{ij}|}=1$für kartesische Koordinaten im euklidischen Raum.) Die Berechnung der Determinante ist hässlich, und ich werde sie hier nicht tun, weil es wenig Sinn macht. Ich gehe jedoch davon aus, dass die Symmetrie es ermöglicht, es einigermaßen ordentlich zu schreiben.

Gradient

Wie bereits erwähnt, sollte die Oberfläche des Planeten auf einer Äquipotentialfläche liegen, d. h. auf einer Fläche, auf der $|\vec{\nabla}V|=0$. Der bekannte euklidische Gradient ist

$$\vec{\nabla}=\left(\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3}\right)\hat{x}_i$$ für verallgemeinerte Koordinaten $x^1$, $x^2$, und $x^3$, die sind $x$, $y$ und $z$. Es sollte jedoch nicht überraschen, dass dies für nicht-euklidische Räume fehlschlägt. Im allgemeineren Fall , $$\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x^i}\cdot g^{ij}\sqrt{g_{jj}}\hat{\mathbf{x}}^i\tag{5}$$ für Einheitsvektor $\hat{\mathbf{x}}^i$, und wieder $g_{ij}$ spielt eine Rolle.

Poisson-Gleichung und Schalensatz

Hier liegt natürlich das Problem - und es beschäftigt mich jetzt seit etwa einem Tag. Die Kernfrage, die Sie hier stellen, besteht darin, das Potenzial entsprechend einer gegebenen Dichteverteilung zu bestimmen. Wir können dies im flachen Raum leicht genug tun, indem wir die Poisson-Gleichung lösen ; die lösung kann gefunden werden durch$(3)$. Okay. Aber sieht die Poisson-Gleichung in diesem Finsler-Raum gleich (oder sogar ähnlich) aus und können wir sie auf die gleiche Weise lösen? Die Antwort kann sein, dass dies nicht der Fall ist. In der Allgemeinen Relativitätstheorie gilt auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Newtonsche Grenzwert der Einsteinschen Feldgleichungen. Es ist jedoch nicht klar, ob wir die gleiche Annahme im Finsler-Raum treffen können.

Nehmen wir an, die Poisson-Gleichung gilt in irgendeiner Form (hier habe ich die entsprechenden Konstanten auf gesetzt $1$):

$$\nabla^2V=\rho\tag{6}$$ Dann tatsächlich, $(3)$gilt im Allgemeinen in irgendeiner Form wieder mit dem entsprechenden Volumenelement. Was mich jetzt interessiert - und darüber habe ich im Chat ein wenig gesprochen - ist die Antwort auf eine Frage von Dietrich Epp : Ist das Gravitationsfeld außerhalb einer "Kugel" identisch mit dem außerhalb eines Punktteilchens mit dem gleiche Masse ( Schalensatz )? Wenn ja, gilt Ihre gegebene Gleichung für das Potenzial für einen Planeten, und $$V(\mathbf{x})=\frac{Gm_1m_2}{||\mathbf{x}-\mathbf{x}'||_{\lambda}}$$ Wenn nicht, müssen wir integrieren $(3)$bevor Sie Annahmen über die Form des Potenzials treffen. Auf jeden Fall würde mich ein Beweis interessieren, dass eine Version des Schalensatzes (oder eine Version des Satzes von Birkhoff ) gilt.

Ein Weg zur Lösung

Ich habe noch keine Antwort auf deine Frage. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Äquipotentialfläche zu finden:

1. Mache mit verschiedenen Oberflächen herum und finde eine, wo $(\text{3})$ ist für alle konstant $V(\mathbf{x})$ an der Oberfläche.
2. Satz $|\vec{\nabla}V|=0$ und finde die resultierende Fläche.
3. Satz $V(\mathbf{x})$ gleich einer Konstanten $C$ und finde die Oberfläche wieder.

Die dritte Methode scheint im Fall einer euklidischen Metrik für das von Ihnen gewählte Potenzial definitiv zu funktionieren. Ich kann nicht mit Sicherheit sagen, ob es für alle relevanten Finsler-Metriken funktioniert (und ich vermute, dass es nicht funktioniert), daher werde ich nicht behaupten, dass der allgemeine Fall jetzt noch funktioniert.

Der naive dritte Fall

Okay, also legen wir los $V(\mathbf{x})=C$ für eine Konstante $C$. Hier gehe ich davon aus, dass Ihr Potenzial für einen Planeten anwendbar ist. Wir haben dann

$$||\mathbf{r}||_{\lambda}=\frac{GM}{C}\implies\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)^{1/\lambda}=\frac{GM}{C}$$ Daher bleibt uns $$z^\lambda=\left(\frac{GM}{C}\right)^{\lambda}-x^\lambda-y^\lambda\tag{7}$$ Interessanterweise, wie $\lambda\to\infty$, das wird ein Würfel!

Verweise:

• Shen 2000
• Skript zur Vorlesung von Matias Dahl
• Popvici 2017
• Busemann 1950

Meine Antwort wird nicht annähernd so ausführlich sein wie Ihre Frage, aber ich freue mich, ein paar Inputs zu geben.

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Zuerst schaue ich mir deine Partikel an:

1. Teilchen können sich nur mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen.

2. Teilchen können sich nur in sechs Richtungen bewegen. (Oder vier in meinem 2D-Modell.)

3. Teilchen haben "Schwerkraft".

Ich stelle mir jetzt zwei Teilchen in einer zweidimensionalen Ebene vor:

Wir könnten die Gravitation als Vektor von einem Teilchen zum anderen darstellen, also hätte das obere linke Teilchen (3,-2). Um diesen Zug mit der Entfernung schwächer zu machen, können wir den Vektor mit dem Kehrwert seiner Größe multiplizieren:

Wenn es andere Partikel gäbe, müssten wir für jedes den Kraftvektor berechnen. Die resultierende Gravitation wäre die Summe der Vektoren, die in diesem Beispiel gerade(3/√13, -2/√13)

Nun kann sich das Partikel in diesem 2D-Beispiel nur in eine der vier Richtungen bewegen. Nehmen wir also die Vektorkomponente mit der größten Größe: x = 3/√13und bewegen wir uns ein Quadrat in diese Richtung. Das Ergebnis wäre, dass beide Teilchen im Zickzack aufeinander zulaufen, bis sie sich treffen. An dieser Stelle können zwei Dinge passieren:

• Die Partikel hören auf sich zu bewegen.

Dies verstoße gegen deine Regel, dass sich die Teilchen "im Grunde nur mit einer bestimmten konstanten Geschwindigkeit bewegen". Sie können diese Regel ändern in Die Partikel sind entweder stationär oder bewegen sich mit einer festgelegten Geschwindigkeit und haben einen binären Wert für ihre Geschwindigkeit ODER:

• Die Teilchen oszillieren zwischen ihren beiden Positionen.

Dies bedeutet, dass die Partikel in einer "Umlaufbahn" umeinander fixiert werden, die 2 Zeitticks dauert, sie jedoch gegenseitig passieren lässt. Dies kann dadurch erklärt werden, dass sich die Partikel von einem Punkt im Raum zum benachbarten Punkt bewegen, ohne mit dem Raum dazwischen zu interagieren oder ihn zu durchqueren.

Das ist alles lustig und toll, bis Sie in eine Situation wie diese geraten:

Vorausgesetzt, es gibt keine anderen Teilchen im gesamten Universum, haben diese beiden Teilchen einen Kraftvektor, bei dem zwei oder mehr Komponenten gleich sind. Wie wählt das Teilchen in diesem Fall, welchen Weg es gehen soll?

• Lösung 1: Zufällig entscheiden

Vergessen wir all diese Spielereien von Gott spielt nicht mit dem Universum , denn wir können uns in diesem System nicht einfach "diagonal bewegen". Wenn es zwei mögliche Richtungen gibt, in die man sich bewegen kann, jede mit gleicher Eintrittswahrscheinlichkeit, muss eine von ihnen passieren. Wählen Sie einfach zufällig eine der gebundenen Richtungen aus und gehen Sie in diese Richtung.

• Lösung 2: Quantenzeug?

Bringen Sie die Teilchen einfach in Überlagerung. Weißt du, geh in beide Richtungen gleichzeitig. Warum nicht? Nach einmaligem Häkchen sieht es so aus (Partikel sind jetzt rot und blau gefärbt)

Jetzt gibt es drei mögliche Positionen für jedes Teilchen, mit Wahrscheinlichkeiten, 25%, 50%, 25%an jeder Position zu existieren.

Jetzt müssen wir eine Messung durchführen, da jede Überlagerung mit etwas kollidieren kann. Und die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Rot als auch Blau an einer bestimmten Position existieren, ist eine Binomialverteilung! Das ist in Ordnung, entscheide einfach zufällig, welchen der Pfade die beiden Partikel genommen haben... Aber warte! Was passiert, wenn beide auf demselben Feld landen? Nun, ETWAS müsste passieren. Ich kann mein Leben lang keinen Weg finden, das zu umgehen. Vielleicht kannst du das, ich weiß es nicht.

Der Vorteil von Lösung 2: QUANTUMSTUFF??? ist, dass es den überlagerten Partikeln ermöglicht, mit anderen Partikeln von Drittanbietern zu interagieren, was zu einer frühen Messung führen kann. Dies würde wiederum dazu führen, dass zwei Teilchen an derselben Stelle existieren. Der Vorteil der Methode 1: Keine bösen Wahrscheinlichkeiten.

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Okay, du hast also viel über die Schwerkraft geredet. Sachen können verklumpen. Aber nichts kann ohne Schwung umkreisen!

Das Momentum kann als ein anderer Vektor dargestellt werden. Bei jedem Tick wird die resultierende Kraft der Gravitationsanziehung zu jedem anderen Teilchen im gesamten Universum zum Impuls des Teilchens addiert und bildet einen neuen Impulsvektor. Anstatt sich nun in Richtung der stärksten Schwerkraft zu bewegen, bewegen sich die Teilchen in Richtung der stärksten Komponente ihres Impulsvektors.

Nun, das ist alles großartig, aber funktioniert es? Ich werde versuchen, dies in Python zu simulieren und dann meinen Beitrag zu gegebener Zeit aktualisieren.

Meine Vorhersagen:

• Wenn ich nicht einen Weg finde, um zu verhindern, dass sich mehrere Partikel in denselben Raum bewegen, kann das gesamte System zu einer Singularität zusammenbrechen.

• Wenn das Momentum richtig funktioniert, KANN irgendeine Form von Orbitalmechanik möglich sein.

• Partikelklumpen können sich bilden. Wenn dies der Fall ist, haben sie entweder eine ungefähr kreisförmige Form oder können "Kristallformen" wie diese erzeugen:

Meine Theorie ist, dass sich ein Partikel eher auf einen anderen Partikelkörper zubewegen kann, wenn es vertikal oder horizontal mit ihm ausgerichtet ist, was zu Vorsprüngen aus dem Klumpen entlang der Achsen und möglichen diagonalen Kanten führt.

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Die Simulation

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Folgendes habe ich bisher:

import pygame
import random

(width, height) = (1000, 1000)
screen = pygame.display.set_mode((width, height))


class Particle:
    def __init__(self):
        self.position = (random.randint(-50, 50), random.randint(-50,50))
        self.momentum = (random.randint(-10, 10)/10, random.randint(-10,10)/10)

    def move(self, positions):
        resultant = (0, 0)
        for position in positions:
            vector = (position[0] - self.position[0], position[1] - self.position[1])
            magnitude = (vector[0] ** 2) + (vector[1] ** 2)
            if magnitude == 0:
                return
            resultant += (vector[0]/magnitude, vector[1]/magnitude)
        self.momentum += resultant

        if abs(self.momentum[0]) > abs(self.momentum[1]):
            self.position[0] += self.momentum[0]/abs(self.momentum[0])
        elif abs(self.momentum[0]) < abs(self.momentum[1]):
            self.position[1] += self.momentum[1]/abs(self.momentum[1])
        else:
            if random.randint(0, 1) == 1:
                self.position[0] += self.momentum[0]/abs(self.momentum[0])
            else:
                self.position[1] += self.momentum[1] / abs(self.momentum[1])

    def render(self):
        pygame.draw.rect(screen, (255, 255, 255),
                         (int((self.position[0] * 10) + 495), int((self.position[1] * 10) + 495), 10, 10),
                         0)


def run():
    screen.fill((0, 0, 0))

    particles = []
    for x in range(10):
        particles.append(Particle())

    running = True
    while running:
        for event in pygame.event.get():
            if event.type == pygame.QUIT:
                running = False

        positions = []
        for particle in particles:
            positions.append(particle.position)

        for particle in particles:
            particle.move(positions)

        for particle in particles:
            particle.render()

        pygame.display.flip()


run()

Entweder dauert es unglaublich lange, den nächsten Frame zu berechnen, oder es funktioniert nicht. Das habe ich noch nicht ausgearbeitet...

Bearbeiten: Ich glaube, ich habe die Frage falsch verstanden, aber das Wesentliche ist: Wenn Ihre Würfelform gleich weit vom Massenmittelpunkt entfernt ist und die Schwerkraft von der Entfernung abhängt, dann ist die Form des Planeten alle "gleich weit" von der Center.

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Eine gute erste Näherung ist ein Oktoeder.

Warum ist es ein Oktoeder und kein Würfel? Das liegt daran, dass Ihr Universum 6 spezielle Richtungen hat und sie den 6 Punkten des Polyeders entsprechen.

In diesem Koordinatensystem sind alle Punkte auf der Oberfläche eines Oktoeders gleich weit vom Massenmittelpunkt entfernt.

Es ist erwähnenswert, dass Würfel und Oktoeder "Doppelpolygone" sind und die Flächen des einen den Punkten des anderen entsprechen.

Ich werde eine kurze und einfache Antwort versuchen.

Ich gehe davon aus, dass die Gravitation ähnlich wie unser Universum funktioniert, mit Ausnahme der Entfernungsberechnung. Eine gravitativ stabile Form liegt vor, wenn die Oberflächenpunkte gleich weit vom Zentrum entfernt sind. Wenn einige Punkte weiter vom Zentrum entfernt wären als andere, würde ihre Glättung die potentielle Gravitationsenergie reduzieren.

In der verwendeten Metrik ist der Abstand die größte der x-, y- und z-Differenzen. Wenn wir als Beispiel einen Radius von 3 nehmen, ist die äquidistante Fläche die, die in einer Dimension 3 entfernt ist und in jeder anderen Dimension nicht mehr als 3 beträgt. Das gibt uns einen Würfel.

Wenn der Abstand x + y + z wäre, erhalten wir ein Oktaeder, das ich dem Leser als Übung überlasse.

Ich wünschte, ich hätte mehr Zeit, um mit der Mathematik zu spielen, aber lass uns etwas Logik verwenden.

• Geschwindigkeitsvektoren müssen in beide Richtungen funktionieren. Wenn sich Ihr Teilchen nur in einem Oktanten bewegen kann, kann die Schwerkraft nur einen Oktanten anziehen. Das deutet an...

  1. Diese Schwerkraft ist funktional diskret. Anders als in unserem Universum, wo wir dieses Problem mit zwei Kugellagern, die an jedem Punkt mit gleicher Schwerkraft kontinuierlich um die Oberfläche rollen, vereinfachen und simulieren könnten, sieht Ihres wie in den folgenden Diagrammen aus.

  2. Die Schwerkraft über die Entfernung ist wild wackelig. Anstatt es als eine wachsende Sphäre mit abnehmendem Einfluss zu simulieren, ist es eher wie ein einfacher Stern, den man auf einen Weihnachtsbaum plumpsen lässt. Die "Arme" des Sterns würden mit dem Quadrat der Entfernung abnehmen, aber zwischen den Armen würde sie mit etwas mehr wie dem Bazillionsten Exponenten der Entfernung abnehmen. Zufällige Anziehung in eurem Universum wäre ein viel, viel langsamerer Prozess.

Schauen wir uns die hübschen Bilder an, die ich mir rücksichtslos aus deinem Beitrag angeeignet habe. Ich hoffe, es macht Ihnen nichts aus.

Die schwächste Gravitationskraft, die Einzelscheitelkraft

Doppelte Gravitationskraft, die Doppelscheitelkraft

Die stärkste Gravitationskraft, die Quad-Scheitelkraft

Sofern Sie nicht die verschiedenen Regeln für den niedrigsten Energiezustand/die Erhaltung von X in Ihrem Universum ändern, werden Ihre Planeten hauptsächlich durch Teilchen gebildet, die in die Position der Viereck-Scheitelkraft einschnappen. Sie können sich im Einzel-Scheitelpunkt-Zustand bilden, aber jede kleine "Beule" wird sie in einen der beiden Zustände höherer Schwerkraft bringen, schließlich in den Quad.

Auf den ersten Blick würde dies darauf hindeuten, dass Ihre Planeten wie dieser Weihnachtsstern oder eine 8-zackige Pinata geformt sind.

Außer es gibt all diese Zwischenräume mit 6-Scheitel- und 8-Scheitel-Verbindungen ... Am Ende würde man, glaube ich, Planeten bekommen, die rund mit Ecken sind. Denken Sie an einen Würfelballon, bei dem sich die Seiten vom Innendruck wölben:

Zum Schluss noch ein Wort zu Orbits

Ich sage voraus, dass alle Ihre Umlaufbahnen aufgrund der diskreten Natur der Gravitationsvektoren ekliptisch sein werden. Möglicherweise haben Sie kleine / leichte Objekte, die auf einer um 45° zur Ekliptik geneigten elliptischen Ebene kreisen, aber das ist der schwächste Gravitationspfad. Ich vermute auch, dass Sie nicht viel an axialen Neigungen der Planeten haben werden (0 °, 45 °, 90 °).

Wenn Sie das Wortspiel vernebeln, neigen diese Gravitationsvektoren dazu, die Dinge "boxed" zu halten.

Deine Bewegungsregeln... sind sehr verwirrend, was mit den acht speziellen Richtungen und der Tendenz der Materie, sich ständig mit Lichtgeschwindigkeit entlang einer von ihnen zu bewegen. Wenn ich das überhaupt richtig verstehe. Für den Rest dieser Antwort gehe ich also davon aus, dass die von Ihnen erwähnte "Kohäsionskraft" dazu führt, dass sich Urteilchen zu Clustern ("Atomen") gruppieren, die sich freier bewegen können. Die Urteilchen innerhalb dieser Atome prallen mit Lichtgeschwindigkeit in den acht speziellen Richtungen hin und her, aber das ganze Atom kann sich mit beliebiger Geschwindigkeit in jede Richtung bewegen, je nachdem, welcher Bruchteil der Urteilchen darin sich in jede der speziellen Richtungen bewegt.

Als Randnotiz erinnert mich das tatsächlich an die starke Kernkraft. Protonen und Neutronen sind ein chaotisches Durcheinander von Quarks und Gluonen, die durch die unglaublich starken Kräfte der Quantenchromodynamik miteinander verbunden sind. Kleinere Hadronen treten gelegentlich aus ihnen heraus und können mit anderen Nukleonen interagieren, die sich zufällig in der Nähe befinden, was zu den Kräften führt, die Atomkerne miteinander verbinden. Die Atome, die ich oben beschreibe, sind ein chaotisches Durcheinander von Urteilchen, die von einer unglaublich starken Kraft zusammengehalten werden. Einzelne Urteilchen (oder, wenn Sie es vorziehen, kleinere "atomare" Cluster) könnten gelegentlich aus ihnen austreten und mit anderen nahe gelegenen Atomen interagieren, was zu etwas Analogem entweder zur Kernphysik oder zur Chemie führt.

Trotzdem. Wenn wir das aus dem Weg geräumt haben, schauen wir uns die Schwerkraft an.

Du gibst in der Frage ein Definitionsrecht:

$$V = {G m_1 m_2 \over ‖\mathbf{r}‖_λ}$$

die mit dem Kehrwert der sup-Norm des Ortes abnimmt, vermutlich analog zum Gravitationspotential in unserem Universum, das mit dem Kehrwert des euklidischen Abstands abnimmt. Daher funktioniert die Fluchtgeschwindigkeit auf die gleiche Weise, und Umlaufbahnen sollten zumindest existieren, obwohl ihre Formen ziemlich funky sind und stabil sein können oder nicht.

Die Antwort auf die Frage "Welche Form wird ein flüssiger Planet haben" ist immer "jede Form hat ein konstantes Gravitationspotential über seine gesamte Oberfläche." Für einen Planeten, der aus einem Volumen masseloser Flüssigkeit besteht, ist dies ganz einfach: Es ist ein Würfel. In der sup-Norm hat die gesamte Oberfläche eines Würfels den gleichen Abstand von seinem Mittelpunkt, und hier kommt es genau auf den sup-Normabstand an.

Wenn es um Planeten geht, machen Punktmassen, die mit masselosen Flüssigkeiten bedeckt sind, jedoch eine etwas zu starke Vereinfachung. Es funktioniert in unserem Universum dank Symmetrie und dem Gaußschen Gesetz, aber die Physik hier ist ganz anders. Um herauszufinden, wie Planeten in diesem Universum tatsächlich aussehen, müssen wir etwas tiefer graben.

Insbesondere müssen wir herausfinden, wie die Schwerkraft tatsächlich funktioniert. Die Kraft, meine ich; nicht nur das Potenzial. Bei Punktmassen ist dies ziemlich einfach: Die Richtung verläuft gerade entlang des Potenzialgradienten und die Größe ist gleich der Steigung dieses Gradienten. Somit wird die Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen immer in einer der sechs kartesischen Himmelsrichtungen sein. Das heißt, senkrecht zu den Flächen eines kubischen Planeten. Und die Magnitude wird, wie in unserem Universum, mit dem inversen Quadrat des (sup-Norm)-Abstands abfallen.

Damit können wir beginnen, die Gravitationsfelder von Dingen zu erforschen, die keine Punktmassen sind. Beachten Sie, dass wir uns bei der Berechnung der Gravitationskraft entlang jeder Achse nur um die Materie in einer 45-Grad-Pyramide kümmern, die auf dieser Achse zentriert ist. Stellt man sich einen Würfel vor, der in sechs identische Pyramiden mit quadratischer Basis zerlegt ist, so dass die Spitze einer jeden in der Mitte des Würfels liegt, gibt jede Pyramide das Volumen an, in dem Materie den Mittelpunkt des Würfels in eine der sechs axialen . ziehen kann Richtungen.

... Ich bin mir nicht sicher, ob diese Beschreibung überhaupt Sinn machte, aber egal. Weiter!

Fallstudie 1: Eine unendliche, flache Ebene ohne Dicke gleichförmiger Dichte, senkrecht zu einer der Achsen. Ein Objekt auf beiden Seiten der Ebene wird eine Anziehungskraft auf sich spüren. Insbesondere spürt es die Schwerkraft eines quadratischen Bereichs der Ebene, wobei die Seitenlänge dem doppelten Abstand zur Ebene entspricht. Die Gravitationskraft ist proportional zur Fläche des Quadrats (die mit dem Quadrat der Entfernung steigt) geteilt durch das Quadrat der Entfernung ... so dass die Ebene auf beiden Seiten ein gleichmäßiges Gravitationsfeld erzeugt. Wie im wirklichen Leben, ohne euklidische Normen. Dies bedeutet auch, dass sich auch unendliche Ebenen mit einer Dicke ungleich Null auf die gleiche Weise verhalten.

Fallbeispiel 2: Ein unendlich langer, unendlich dünner Stab, ausgerichtet auf eine der Achsen. Ein Objekt wird die Schwerkraft eines Abschnitts dieses Stabes spüren, dessen Länge proportional zum sup-Normabstand zu ihm ist - und bei gegebenem inversen quadratischen Gesetz ergibt dies eine Schwerkraft proportional zum Kehrwert des sup-Normabstands zum Stab . Wieder, ähnlich wie im wirklichen Leben.

Fallstudie 3: Ein solider Würfel. In extremen Entfernungen sieht dies ähnlich wie eine Punktmasse aus, aber diese Frage bezieht sich auf die Form eines flüssigen Planeten, also ist die Oberfläche wirklich wichtig. In der Mitte jeder Fläche zeigt die Schwerkraft direkt auf die Mitte, senkrecht zur Fläche. In der Mitte jeder Kante wird die Hälfte der Masse des Würfels entlang einer Achse gezogen, während die andere Hälfte entlang einer anderen Achse gezogen wird, was zu einer Nettokraft in einem 45-Grad-Winkel führt. Punkte in der Nähe der Kante erfahren nur eine geringfügig unterschiedliche Schwerkraft, sodass Flüssigkeiten von den Scheitelpunkten und Kanten nach unten fließen und sich in den Mitten der Flächen ansammeln. Daher sind flüssige Planeten mit gleichmäßiger Dichte keine Würfel.

Fallstudie 4: Vielleicht reicht dann ein Oktaeder? An jedem Scheitelpunkt wird die gesamte Masse des Oktaeders Materie in Richtung einer der Achsen ziehen. An Punkten in der Nähe jedes Scheitelpunkts übt fast die gesamte Masse des Oktaeders eine Kraft in dieselbe Richtung aus ... noch einmal, wodurch Flüssigkeiten zum Zentrum der nächstgelegenen Fläche fließen.

Flüssige Planeten in diesem Universum werden also eindeutig weder Würfel noch Oktaeder sein. Sie werden eine Art glatte Oberfläche sein. Das Gravitationsfeld in der Nähe eines Objekts mit endlicher Dichte (dh wenn wir Dinge wie Punktmassen und die oben diskutierten Ebenen und Stäbe mit Nulldicke ausschließen) wird immer stetig und differenzierbar sein; damit seine Oberfläche senkrecht zu seinem eigenen Gravitationsfeld steht, muss seine Oberfläche auch differenzierbar sein. Welche Form werden die Planeten haben? Kugeln? Vielleicht. Ich weiß nicht. Sie werden mindestens so viel Symmetrie haben wie Würfel und Oktaeder, so viel kann ich Ihnen sagen.

In jedem Fall, egal welche Form Planeten mit gleichmäßiger Dichte haben, je dichter der Kern des Planeten, desto würfelartiger wird er sein. In dem Grenzfall, in dem die gesamte Masse des Planeten in einem Punkt in seinem Zentrum konzentriert ist, ist der Planet ein perfekter Würfel.

Obwohl nicht vollständig verwandt, wollte ich hinzufügen, was die GBE mit solchen kubischen Planeten wäre.

-G * ((Mshell * Minterior)/r)

Was sich unter der Annahme von r = a/2 ändern würde zu:

-G * Integral (Unterer: 0, Grenze: R) * ((2r)^3)*p)((24r)^2)*p)/r)

was geht an:

(4608Gr^5p^2)/(5)

Einstecken für Dichte:

(72GM^2)/(5r) Joule Gravitationsbindungsenergie.

Wenn man nur normale Seitenlänge verwendet:

(36GM^2)/(5a) Joule GBE.

Bitte benachrichtigen Sie mich, wenn ich etwas falsch gemacht habe.