Teilchenlochsymmetrie eines einzelnen Ortes?

Nein, man kann diese Transformation nicht so schreiben$c_{i\uparrow}^\dagger|0\rangle=c_{i\downarrow}^\dagger|0\rangle$, Weil$c_{i\uparrow}^\dagger|0\rangle$Und$c_{i\downarrow}^\dagger|0\rangle$sind zwei orthogonale Quantenzustände: Sie können nicht gleich sein. Die Verwandlung$c_{i\uparrow}^\dagger|0\rangle\to c_{i\uparrow}|0\rangle$Sie beginnen mit ist auch falsch, weil der resultierende Zustand ist$c_{i\uparrow}|0\rangle= 0$, was die Transformation nicht einheitlich macht. Was Sie normalerweise verwenden$c_{i\uparrow}^\dagger=c_{i\downarrow}^\dagger$ist immer noch falsch, weil$c_{i\uparrow}^\dagger$Und$c_{i\downarrow}^\dagger$sind verschiedene Operatoren und können nicht gleich sein.

Die korrekte Art, alles zu schreiben, besteht darin, mit der Definition eines Partikel-Loch-Transformationsoperators zu beginnen$\mathcal{P}$, so dass seine Wirkung auf den Fermion-Operator ist

$$\mathcal{P}c_{i\sigma}^\dagger\mathcal{P}^{-1} = c_{i\sigma}, \tag{1}$$

und seine Wirkung auf den Vakuumzustand ist

$$\mathcal{P}|0\rangle = \prod_{i,\sigma} c_{i\sigma}^\dagger|0\rangle. \tag{2}$$

Es ist wichtig, dass der Vakuumzustand$|0\rangle$muss auch unter umwandeln$\mathcal{P}$. Physikalisch liegt es daran, dass der Vakuumzustand der Zustand ohne Teilchenbesetzung ist, was bedeutet, dass es ein Zustand ist, der vollständig von Löchern besetzt ist. Unter der Teilchen-Loch-Umwandlung wird der Vakuumzustand also zu einem vollständig besetzten Zustand von Teilchen, wie in Gleichung (2) ausgedrückt. Mathematisch folgt Gl. (2) aus Gl. (1) als Ergebnis der Konsistenz. Da der Vakuumzustand als der Zustand definiert ist , der durch alle Vernichtungsoperatoren vernichtet wird, dh$c_{i\sigma}|0\rangle=0$. Jetzt, wenn wir uns bewerben$\mathcal{P}$auf beiden Seiten der Gleichung haben wir$\mathcal{P}c_{i\sigma}|0\rangle=\mathcal{P}0=0$(weil jeder lineare Operator wirkt$0$ist immer noch$0$). Allerdings liest die linke Seite$\mathcal{P}c_{i\sigma}|0\rangle=\mathcal{P}c_{i\sigma}\mathcal{P}^{-1}\mathcal{P}|0\rangle=c_{i\sigma}^\dagger\mathcal{P}|0\rangle$, was bedeutet, dass der Staat$\mathcal{P}|0\rangle$wird durch den Erstellungsoperator vernichtet$c_{i\sigma}^\dagger$stattdessen also der Staat$\mathcal{P}|0\rangle$muss ein vollständig besetzter Zustand sein.

Anwenden von Gl. (1) und Gl. (2) auf einen einzelnen Standort (wobei der Standortindex weggelassen wird$i$), wir haben

$$\mathcal{P}c_{\uparrow}^\dagger|0\rangle = (\mathcal{P}c_{\uparrow}^\dagger\mathcal{P}^{-1})(\mathcal{P}|0\rangle)=c_{\uparrow}c_{\uparrow}^\dagger c_{\downarrow}^\dagger|0\rangle=c_{\downarrow}^\dagger|0\rangle.$$

Das bedeutet also unter der Teilchen-Loch-Transformation den Spin-up-Zustand$c_{\uparrow}^\dagger|0\rangle$in einen Spin-Down-Zustand überführt wird$c_{\downarrow}^\dagger|0\rangle$.