Wie würde man die synodische Periode der Erde und eine elliptische Umlaufbahn berechnen?

Wann zum Beispiel könnte jemand mit einem Teleskop Starman und seinen Roadster sehen (wann wird die elliptische Umlaufbahn des Tesla-Roadsters unsere wieder kreuzen, und wie würde das berechnet werden?)

Für zwei kreisförmige Umlaufbahnen verstehe ich, dass dies gegeben ist durch

1 S = 1 T 2 − 1 T 1
.

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tl;dr:

Die synodische Periode wäre die gleiche. Bei diesem Objekt geht es um:

( 1 365.25 − 1 557 ) − 1 ≈ 1061   d a j s .

Sie können das bestätigen, indem Sie diesen neuen ArXiv-Preprint über Roadster: The Random Walk of Cars and their Collision Probability with Planets lesen . In § 3 Absatz 2 heißt es:

Die Körper erreichen die gleiche orbitale Länge auf ihrer synodischen Zeitskala von ∼ 2,8 Jahren.

Es gibt einen kleinen Unterschied, da die Umlaufbahn des Roadsters weiter verfeinert wird und das Papier sich mit der Evolution über lange Zeiträume befasst.

Ich denke jedoch, was Sie wirklich wissen wollen, sind die Zeiten der engsten Annäherung, wenn (mindestens) eine Umlaufbahn signifikant exzentrisch ist, und diese werden nicht periodisch sein oder in regelmäßigen Abständen auftreten.

Nun, der Roadster ist jetzt ziemlich weit weg und bewegt sich schnell weiter. In dieser Antwort finden Sie einige Details und einige schöne Bilder von mittelgroßen Nachführteleskopen. Von der Erde aus gesehen ist es bereits dunkler als +22 Magnituden, und meines Wissens wird es für lange Zeit keine wirklich nahe Annäherung an die Erde geben.

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Aber um Ihre Frage zu beantworten, der Zeitraum beträgt ungefähr 557 Tage. Sie können dies zum Beispiel sehen, wenn Sie zu JPL's Horizons gehen und sich die oskulierenden Elemente ansehen. Wenn Sie einige Wochen in die Zukunft blicken, wenn der Roadster weit genug von der Erde entfernt ist, um nicht gestört zu werden, flacht die Periode um die Sonne auf 557 Tage ab.

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oben x2: Oben: Entfernungsdaten von JPLs Horizons , gezeichnet mit Python von hier . Unten: Geschätzte scheinbare Helligkeit unter Verwendung von Entfernungen von Horizonten plus Mathematik, die im Text dieser Antwort gezeigt werden . Ihr Kilometerstand kann variieren, aber wahrscheinlich innerhalb von +/-2 Größenordnungen von "offiziellen" Vorhersagen, wenn sie herauskommen.

Ein wirklich cooles GIF ist im Space.com-Artikel Observatory Spots Elon Musk's Tesla Roadster Zooming Through Space (Video) zu sehen . Es ist über 7 MB groß, daher kann ich es hier nicht hinzufügen. Hier sind jedoch zehn Frames von irgendwo in der Mitte. Trotzdem sollten Sie sich das Ganze ansehen.

GIF:

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DEMIOS-Bild unten, von hier aus auch von Jonathan McDowell getwittert . Der kleine Punkt in der Nähe der Mitte, der sich nach rechts und oben bewegt, ist Roadster im reflektierten Sonnenlicht, wahrscheinlich hauptsächlich von der weißen FH-2. Stufe, die noch angebracht ist.

GIF:

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Warum ist es nicht periodisch, folgt es nicht einer elliptischen Umlaufbahn mit dieser Periode von 557 Tagen? Gibt es viele Störungen? Schließlich geht diese synodische Periodengleichung von kreisförmigen Bahnen aus, gilt sie wirklich auch noch für elliptische Bahnen?
@ hawaii12 Sowohl die elliptischen Umlaufbahnen der Erde als auch des Roadsters sind periodisch. Aber ein Diagramm der Entfernung zwischen den beiden wird nur dann periodisch sein, wenn die beiden Umlaufbahnen kreisförmig sind. Sie können immer eine synodische Periode mit Ihrer Gleichung berechnen, aber je mehr eine oder beide Umlaufbahnen elliptisch sind, desto weniger nützlich ist es, weil die Idee "erscheint an derselben Position" immer weniger richtig ist. Es ist die Nützlichkeit der synodischen Periode, die nahezu kreisförmige Umlaufbahnen erfordert, nicht die Definition. Für Ellipsenbahnen wird es keine andere Gleichung geben.
Also, je elliptischer die Umlaufbahnen sind, desto weiter wird die synodische Periode von einem wahren Schnittpunkt der beiden Objekte entfernt sein? Gibt es einen Ort, an dem ich nachsehen kann, warum die Abstände zwischen zwei elliptischen Umlaufbahnen nicht periodisch sind? Dies ist das Bild, das ich sehe (der Abstand scheint periodisch zu sein).
@ hawaii12 Oh, dein Bild zeigt zwei Körper, die um einen gemeinsamen Massenmittelpunkt kreisen. Das ist etwas völlig anderes als zwei Körper , die um einen dritten Körper wie die Sonne im Fall Ihrer Frage kreisen. Dieser kleine grüne Punkt in dem in Ihrem Kommentar verlinkten Bild ist der Ort des Massenschwerpunkts der beiden, aber dort ist physikalisch nichts. Sie umkreisen einander. Mathematisch können Sie es als eine einzige Umlaufbahn sehen. Die Umlaufbahn des kleineren Körpers ist genau 3,6-mal größer als die des schwereren Körpers, beide haben die gleiche Exzentrizität und liegen beide in einer Ebene.
Ihre Grafik ist die gleiche wie die anderen, die in Wikipedias Artikel über das Zwei-Körper-Problem gezeigt werden . In diesen Figuren gibt es einen roten Punkt in der Mitte, aber an diesem Punkt gibt es keinen physischen Körper oder Masse. Aber da Erde und Roadster beide um ein Drittel kreisen, sind die Dinge sehr unterschiedlich, sodass die Umlaufbahnen von Erde und Roadster um die Sonne größtenteils unabhängig voneinander sind.
Wie würde man die synodische Periode der Erde und eine elliptische Umlaufbahn berechnen?
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