Kann man die große Halbachse einer Umlaufbahn als durchschnittliche Umlaufbahnentfernung für exzentrische Umlaufbahnen annähern?

Die Mathematik sagt, dass die große Halbachse kein gutes Maß für die durchschnittliche Entfernung für (elliptische) Umlaufbahnen mit hoher Exzentrizität ist.

Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten, dies zu messen: (1) ein Durchschnitt über die gesamte Umlaufbahn auf rein geometrischer Basis und (2) der Durchschnitt über die Zeit. Diese liefern ganz unterschiedliche Ergebnisse - qualitativ unterschiedlich.

Durchschnittlicher Abstand auf geometrischer Basis.

In gewisser Weise ist dies das Offensichtlichste. Die Mathematik ist:

$$R_g = \frac a {2\pi} \int_0^{2\pi}r\,d\theta$$

Und wir verwenden für eine Ellipse:

$$r = \frac \rho {1+\epsilon\,cos\theta}$$

Das Ergebnis ist (irgendwann :-) ) :

$$R_g = a\,\sqrt{1-\epsilon^2} \tag{1}$$

Durchschnitt über die Zeit.

Dies ist eine knifflige Berechnung, aber tatsächlich ist es der "menschlichste" Durchschnitt. Wir wollen :

$$R_t = \frac 1 T \int_0^T r\,dt$$

Die Mathematik dazu ist mühsam und überhaupt nicht nützlich, aber das Ergebnis (mit ein wenig Hilfe von Wolframalpha.com) ist:

$$R_t = a\,\frac 2 {\pi} \frac{2+\epsilon^2}{(1-\epsilon^2)^{\frac 5 2}}tan^{-1}\left( \sqrt{\frac {1-\epsilon}{1+\epsilon}} \right) \tag{2}$$

Nach jeder Definition ist das eine chaotische Gleichung, aber der Hauptpunkt ist, den Hauptunterschied zwischen dem zeitlich gemittelten Ausdruck (2) und dem geometrischen (1) zu beachten.

Der geometrische Ausdruck wird kleiner , wenn die Exzentrizität größer wird.

Der Zeitmittelwert wird größer , wenn die Exzentrizität größer wird (eine leichte Vereinfachung).

Eigentlich für beide$\frac R a$beginnt um$1.000$aber wenn$\epsilon\to 1$dann$R_g\to 0$und$R_t\to \infty$!

Warum ?

Der geometrische Ausdruck berücksichtigt nicht die Umlaufgeschwindigkeit des Objekts. Wenn Sie die Exzentrizität erhöhen, führt eine Umlaufbahn zu einer schnelleren Annäherung, sodass weniger Zeit für die Nähe zu ihrer Primärbahn benötigt wird. Wenn es sich vom Primärstern wegbewegt, nimmt auch die Umlaufgeschwindigkeit ab, sodass er viel mehr Zeit in großen Entfernungen verbringt als in kurzen Entfernungen.

Nur um eine analytische Formel für die korrekte zeitgemittelte Entfernung von @uhoh bereitzustellen, hier die Ableitung von$\langle r\rangle_t=1+\epsilon^2/2$:

$$a=1 \qquad c=e\qquad b=\sqrt{1-e^2}\\ \vec{r}=(\cos \beta-e,\sqrt{1-e^2}\sin \beta)\\ \vec{r'}=(-\sin \beta,\sqrt{1-e^2}\cos \beta)\\ |r|^2=\cos^2 \beta -2e\cos \beta+e^2+\sin^2\beta-e^2\sin^2\beta=1-2e\cos \beta+e^2\cos \beta=(1-e\cos \beta)^2\\ |\vec{r}\times\vec{r'}|=(\cos \beta-e)\sqrt{1-e^2}\cos \beta+\sin \beta\sqrt{1-e^2}\sin \beta= \sqrt{1-e^2}(1-e\cos \beta)=2\,\mathrm{d}A/\mathrm{d}\beta=\text{const. }\mathrm{d}t/\mathrm{d}\beta\\\ \langle|r|\rangle_t= \int_0^{T}|r|\mathrm{d}t=\int_0^{2\pi}{|r|\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\beta}}\mathrm{d}\beta =\frac{\sqrt{1-e^2}\int_0^{2\pi}{(1-e\cos\beta)^2}\mathrm{d}\beta} {\sqrt{1-e^2}\int_0^{2\pi}({1-e\cos\beta})\mathrm{d}\beta} =\frac{2\pi+e^2\pi}{2\pi}=1+e^2/2$$

Der Kern davon ist, dass Ihre Annahme falsch ist. Es ist die große Halbachse, die den Zeitraum definiert, nicht die durchschnittliche Entfernung. Newton hat dies herausgefunden, als er die Analysis erfand und die Keplerschen Gesetze ableitete. (Einige Erklärungen finden Sie unter Ableitung der Keplerschen Gesetze). Hier ist die Wikipedia-Version des Math .

Ich sollte hinzufügen, dass Keplers drei Gesetze und Newtons Ableitung davon Umlaufbahnen immer noch nicht perfekt definieren. Sie gehen davon aus, dass nur die größere Masse zählt, obwohl die beiden Objekte in Wirklichkeit aneinander ziehen. Die Sonne zieht nicht nur an der Erde, sondern die Erde zieht an der Sonne, was die Umlaufbahn ein wenig beschleunigt (das Massenverhältnis von 330.000 zu 1 macht dies nahezu vernachlässigbar, aber es ist da). Genauere Newtonsche Orbitalberechnungen zwischen zwei massiven Objekten erfordern fortgeschrittenere Mathematik. Keplers Gesetze funktionieren nur, wenn das zentrale Objekt viel massiver ist als das 2. Objekt.

Wenn man die feineren Details ignoriert und nur die drei Gesetze betrachtet, funktioniert Newtons Ableitung genau auf die große Halbachse. Die durchschnittliche Entfernung geht nicht in die Gleichung ein.

Die durchschnittliche Entfernung eines umlaufenden Objekts zu seiner Sonne oder seinem zentralen Objekt ist ohnehin problematisch, da sich der Planet langsamer bewegt, wenn er weiter entfernt ist. Daher gibt es einige Möglichkeiten, die durchschnittliche Entfernung zu berechnen.

Nach der Zeit, die der Planet in jedem Teil seiner Umlaufbahn verbringt (dasselbe wie der Bereich, der durch Keplers 3. Gesetz definiert ist)

Oder Sie können die durchschnittliche Entfernung nach Bogen oder Winkel messen, indem Sie immer kleinere Winkel nehmen und einen Durchschnitt berechnen.

Oder Sie können die durchschnittliche Entfernung nach Länge der Ellipse zu den spezifischen Brennpunkten nehmen.

Das sind drei separate Methoden zur Messung der durchschnittlichen Entfernung. Unnötig zu erwähnen, dass dies etwas kompliziert wird. Die gute Nachricht ist, dass Sie keine Berechnung für die durchschnittliche Entfernung durchführen müssen, da die große Halbachse tatsächlich korrekt ist.

Entspricht die große Halbachse der durchschnittlichen Entfernung, vielleicht nach Bogen oder nach Länge? Nicht sicher. Ich werde versuchen, das herauszufinden. Ich weiß, dass es nach Zeit nicht gleich Durchschnitt ist.

Ist das sinnvoll. Ich bin mir nicht sicher, ob ich das so gut erklärt habe, wie ich sollte.

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Auf durchschnittlicher Distanz. Die durchschnittliche Standardentfernung mit Umlaufbahnen ist nach Zeit oder Fläche. Keplers 3. Gesetz sagt gleiche Flächen über gleiche Zeit, also sind es eigentlich zwei Arten, dasselbe auszudrücken, gleiche Zeit und gleiche Oberfläche.

Ich finde Ihre Frage interessant und werde versuchen, eine Beziehung zwischen der großen Halbachse und der durchschnittlichen Entfernung herzustellen. Auf den ersten Blick ist es ein wenig kompliziert, aber es scheint mir, dass sich das Verhältnis zwischen der durchschnittlichen Entfernung und der großen Halbachse mit der Exzentrizität ändert, aber ich würde das lieber herausfinden, bevor ich es mit Sicherheit sage.

Dies sollte eine ergänzende Antwort auf StephenGs Antwort sein . Es scheint jedoch ein Problem mit dem Ausdruck für die zeitlich gemittelte Entfernung in dieser Antwort zu geben. Ich finde es toll, einen mathematischen Ausdruck zu suchen, aber er sollte numerisch bestätigt werden.

Ich habe eine schnelle numerische Doppelprüfung durchgeführt und diese allgemeinen Trends überprüft, aber es kann immer noch ein Problem mit einem der Ausdrücke dort geben.

Unter der Annahme einer konstanten großen Halbachse von 1 steigt der zeitlich gemittelte Abstand von 1 an an$\epsilon = 0$bis 1,5 at$\epsilon \rightarrow 1$, während für die$\theta$-gemittelter ("geometrischer") Abstand fällt von 1 auf null.

Ich denke, wir beide sollten jetzt den Pfadmittelwert der Vollständigkeit halber hinzufügen , indem wir über ds mitteln . :-)

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Python-Skript:

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in 0.5, 1, 2]

time = np.linspace(0, twopi, 10001)[:-1]

a = 1.0
eps = np.hstack((0, 0.2, 0.5, 0.7, 0.9, 0.99))

orbits = []
for ep in eps:
    rperi = a * (1. - ep)
    vperi = np.sqrt(2./rperi - 1./a)
    X0 = np.array([rperi, 0, 0, vperi])

    answer, info = ODEint(deriv, X0, time, atol = 1E-12, full_output=True)
    xy = answer.T[:2]
    orbits.append(xy)

rs = [np.sqrt((xy**2).sum(axis=0)) for xy in orbits]
rmeans = [r.mean() for r in rs]

plt.figure()
plt.subplot(3, 2, 1)
for x, y in orbits:
    plt.plot(x, y)
plt.ylim(-1, 1)
plt.plot([0], [0], 'ok')
plt.subplot(3, 2, 3)
for r in rs:
    plt.plot(time, r)
plt.subplot(3, 2, 5)
plt.plot(eps, rmeans)
plt.plot(eps, rmeans, 'ok')
plt.plot(eps, np.ones_like(eps), '--k')
plt.ylim(0, 1.6)


theta = np.linspace(0, twopi, 10001)[:-1]
rs = [a * (1-ep**2)/(1 + ep*np.cos(theta)) for ep in eps]
rmeans = [r.mean() for r in rs]

plt.subplot(3, 2, 2)
for r in rs:
    x, y = [r*f(theta) for f in (np.cos, np.sin)]
    plt.plot(x, y)
plt.ylim(-1, 1)
plt.plot([0], [0], 'ok')
plt.subplot(3, 2, 4)
for r in rs:
    plt.plot(theta, r)
plt.subplot(3, 2, 6)
plt.plot(eps, rmeans)
plt.plot(eps, rmeans, 'ok')
plt.plot(eps, np.ones_like(eps), '--k')
plt.ylim(0, 1.6)
plt.suptitle("Time averages      Theta averages")
plt.show()