Warum sollte die maximale Flugzeit (Ausdauer) nicht mit dem maximalen L / D-Betriebspunkt übereinstimmen?

Die maximale Verweilzeit oder maximale Ausdauer tritt auf, wenn die erforderliche Leistung minimal ist. Daher ist in diesem Fall die maximale Ausdauergeschwindigkeit eine Geschwindigkeit, bei der die erforderliche Leistung minimal ist, während im Fall der maximalen Bereichsgeschwindigkeit der erforderliche Schub minimal ist.

Für maximale Ausdauer müssen wir den Kraftstoffverbrauch pro Zeiteinheit, dh den Kraftstofffluss, minimieren. Für eine maximale Reichweite müssen wir den Kraftstoffverbrauch pro zurückgelegter Distanzeinheit minimieren.

Bei Propellerflugzeugen ist die Kraftstoffdurchflussrate proportional zur erzeugten Leistung. Daher tritt die maximale Lebensdauer an einem Punkt auf, an dem die Leistung minimal ist. Bei (Turbo-)Jets tritt der minimale Kraftstofffluss auf, wenn der Schub minimal ist. Daher tritt die maximale Lebensdauer auf, wenn L/D maximal ist. Für Turbofans liegt es irgendwo dazwischen.

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Stellen Sie sich ein Propellerflugzeug in einem stetigen, waagerechten Flug vor. Um den Zustand zu bestimmen, bei dem der Energieaufwand minimal ist, haben wir

$P = W (\frac{C_{D}}{C_{L}})V$

ist minimal. Für einen stabilen Flug haben wir

$V = \sqrt{\frac{W}{\frac{1}{2} \rho S C_{L}}}$

Das gibt,

$P = \sqrt{\frac{W}{\frac{1}{2} \rho S}}(\frac{C_{D}}{C_{L}^{\frac{3}{2}}})$

Somit tritt bei Propellerflugzeugen die minimale Leistung und maximale Ausdauer auf, wenn$\frac{C_{L}^{\frac{3}{2}}}{C_{D}}$, eher, als$\frac{C_{L}}{C_{D}}$ist maximal. Aus diesem Grund tritt der Zustand minimaler Leistung (maximale Ausdauer) bei einer Geschwindigkeit auf, die 76 % des Zustands minimalen Luftwiderstands (maximale Reichweite) beträgt.

Bild von eaa1000.av.org

Siehe auch hier und hier

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Schub ist eine Kraft, die das Flugzeug bewegt. Im stabilen Horizontalflug entspricht dies dem Luftwiderstand (wenn er mehr/weniger ist, beschleunigt/verlangsamt das Flugzeug). Leistung ist die Rate der Arbeit, dh die pro Zeiteinheit verbrauchte Energie oder die Rate des Energieverbrauchs (durch das A / C-Kraftwerk). Aus diesem Grund betrachten wir die Mindestleistung, dh die Rate des Energieverbrauchs, um die Ausdauer zu bestimmen.

Leistung ist das Produkt aus Kraft (Schub) und Geschwindigkeit. Stellen Sie sich das so vor: Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt der Luftwiderstand ab, erreicht ein Minimum und steigt dann an. Da die Leistung jedoch ein Produkt aus Luftwiderstand (dh Schub) und Geschwindigkeit ist, folgt auch sie einem ähnlichen Pfad; das Minimum wird jedoch vor dem minimalen Luftwiderstand erreicht. Diese Geschwindigkeit gibt die maximale Ausdauer.

Bei strahlgetriebenen Flugzeugen sind die Geschwindigkeiten unterschiedlich. In diesem Fall entspricht die Geschwindigkeit dem Minimum$\frac{C_{L}}{C_{D}}$gibt maximale Ausdauer, während die Geschwindigkeit entsprechend$\frac{C_{L}^{\frac{1}{2}}}{C_{D}}$gibt maximale Reichweite. Siehe auch hier

Der Polarpunkt für die maximale Flugzeit fällt nur dann mit dem minimalen Widerstandspunkt zusammen, wenn sich der Triebwerksschub nicht über der Geschwindigkeit ändert. Dies gilt ungefähr für reine Strahltriebwerke und Raketen. Wenn zur Schuberzeugung ein großer Luftmassenstrom beschleunigt wird, verschiebt der abnehmende Schub mit zunehmender Drehzahl bei gegebener Triebwerksleistung das Optimum zu niedrigeren Drehzahlen.

Für ein allgemeineres Optimierungsziel müssen wir nicht den Luftwiderstand, sondern den Kraftstofffluss minimieren. Da der Schub bei Propeller- und Bypass-Triebwerken (wie bei Staustrahltriebwerken ) mit dem Kraftstofffluss variiert, kann dies berechnet werden, wenn wir den Schub modellieren$T$über Geschwindigkeit$v$als$T \varpropto v^{n_v}$mit$n_v$eine negative Zahl für Propeller- und Turbofan-Triebwerke und eine positive für Staustrahltriebwerke.

Ausgehend vom Gleichgewicht im stationären Flug

$$T_0\cdot v^{n_v} = c_D\cdot\frac{\rho}{2}\cdot v^2\cdot S$$ Wir können die Geschwindigkeit ausdrücken $v$in Bezug auf den Auftriebskoeffizienten $c_L$ $$T_0 = c_D\cdot\left(\frac{\rho}{2}\cdot S\right)^{\frac{n_v}{2}}\cdot\left(\frac{m\cdot g}{c_L}\right)^{1-\frac{n_v}{2}}$$

$T_0$ist der Referenzschub bei einer bestimmten Geschwindigkeit und hängt nur vom Kraftstofffluss ab. Sie können es genauso wie die Schubeinstellung sehen, und wir wollen dies minimieren. Daher nähern wir den Luftwiderstandsbeiwert mit dem quadratischen Polarwert ($c_D = c_{D0} + \frac{c_L^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon}$), den rechten Teil der Gleichung nach differenzieren$c_L$und suchen Sie nach dem Auftriebskoeffizienten, bei dem er Null ist:

$$0 = \frac{n_v-2}{2}\cdot c_{D0}\cdot c_L^{\frac{n_v-4}{2}} + \frac{n_v+2}{2\cdot\pi\cdot AR\cdot\epsilon}\cdot c_L^{\frac{n_v}{2}}$$ $$\Leftrightarrow c_L = \sqrt{\frac{2-n_v}{n_v+2}\cdot\pi\cdot AR\cdot\epsilon\cdot c_{D0}}$$ Dies allein ist noch nicht hilfreich, aber wenn wir uns das Verhältnis der Widerstandskomponenten bei bestimmten Werten ansehen $n_v$, wird die Antwort klar: $$c_{Di} = \frac{c_L^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon} = \frac{2-n_v}{n_v+2}\cdot c_{D0}$$ Propellerflugzeug ( $n_v$= -1): $c_{Di} = 3\cdot c_{D0} \Rightarrow$76 % der Geschwindigkeit für geringsten Luftwiderstand

Turbofan-Flugzeuge ($n_v$= -0,5):$c_{Di} = \frac{5}{3}\cdot c_{D0} \Rightarrow$88 % der Geschwindigkeit für geringsten Luftwiderstand

Turbojet-Flugzeuge ($n_v$= 0):$c_{Di} = c_{D0} \Rightarrow$100 % der Geschwindigkeit für geringsten Luftwiderstand

Für eine optimale Schwebegeschwindigkeit muss der induzierte Widerstand eines Propellerflugzeugs dreimal so groß sein wie der Nullauftriebswiderstand. Da der induzierte Widerstand mit zunehmender Geschwindigkeit abnimmt, ist nur für Turbojets der optimale Polarpunkt für maximale Flugdauer gleich dem für den niedrigsten Widerstand.

Nomenklatur:
$c_L \:\:\:$Auftriebskoeffizient
$n_v \:\:\:$Schubexponent, wie in$T = T_0\cdot v^{n_v}$
$\pi \:\:\:\:\:$3.14159$\dots$
$AR \:\:$Seitenverhältnis des Flügels
$\epsilon \:\:\:\:\:$der Oswald-Faktor des Flügels
$c_{D0} \:$Nullauftriebs-Widerstandsbeiwert
$c_{Di} \:\:$induzierter Luftwiderstandsbeiwert