Informationen zum TL; DR finden Sie unten in dieser Antwort.

Okay, also zunächst mal die Umlaufzeit des Gasriesen um seinen Stern$256 \times 24$Stunden, und ich möchte die Entfernung des Planeten zu seinem Stern feststellen. Da Sie nichts über den Stern selbst angegeben haben, nehme ich der Einfachheit halber unsere Sonne. Auch der Einfachheit halber (oder um die geistige Gesundheit aller, einschließlich meiner eigenen, zu bewahren) werde ich dies als zwei Zwei-Körper-Probleme und nicht als Drei-Körper-Problem angehen . Dies verringert die erreichbare Genauigkeit, vereinfacht aber die Mathematik erheblich. Als repräsentativen Gasriesen verwende ich Jupiter.

Als Näherung für die Umlaufbahn des Planeten um seinen Stern können wir die Formel für einen kleinen Körper verwenden, der einen zentralen Körper umkreist :

$$r = \sqrt[3]{\frac{\mu T^2}{4 \pi ^2}}$$

wo:

• $r$ist die große Halbachse der Umlaufbahn in Metern (Anmerkung: Dies ist nicht dasselbe wie die Umlaufbahnhöhe, kann aber als Umlaufbahnradius angenähert werden )
• $\mu$ist der Standard-Gravitationsparameter ,$\mu = GM$
  • $G$ist die Gravitationskonstante in den hier relevanten Einheiten$6.67408 \times 10^{-11} ~\text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$
  • $M$ist die Masse des Zentralkörpers (in diesem Fall des Sterns) in kg
  • $\mu_\text{Sun} \approx 1.327 \times 10^{20} ~\text{m}^3 ~\text{s}^{-2}$
• $T$ist die Umlaufzeit in Sekunden

Wir wissen, dass die gewünschten$T = 256 \times 24 \times 60 \times 60 = 22\,118\,400$Sekunden. Lassen Sie uns all diese Werte einfügen und sehen, was dabei herauskommt:

$$r = \sqrt[3]{\frac{1.327 \times 10^{20} \times 22\,118\,400^2}{4 \pi ^2}} \approx \sqrt[3]{1.644442 \times 10^{33}} \approx 1.1803375 \times 10^{11}$$

Ihr Planet umkreist also in einer Entfernung von ca$1.2 \times 10^8$km oder 120 Millionen km zu seinem Stern. Dies ist vergleichbar mit der Umlaufbahn der Venus um die Sonne (die große Halbachse der Venus ist ca$1.08 \times 10^8$km, mit einer Umlaufzeit von$224.7 \times 24$Std). Das ist schrecklich nah für einen Gasriesen in irgendetwas, das unserem Sonnensystem ähnelt, aber es ist die einzige Möglichkeit, die Umlaufzeit des Planeten zu erreichen, die Sie sich wünschen, während der Stern sonnenähnlich bleibt. Sie könnten den Knopf für die Sternmasse drehen ($M = M_\text{Sun}$, beeinflussen$\mu_\text{Sun}$oben), bis Sie mit dem Ergebnis zufrieden sind; Suchen Sie zur Inspiration nicht weiter als in der Wikipedia-Liste der Beispielparameter für Hauptreihensterne , die die Masse der Sterne in Form von Sonnenmassen angibt, aus denen Sie den entsprechenden Wert berechnen können$\mu$.

Die Bogenlänge eines Kreissektors ist gegeben durch$L = \theta \times r$wo$\theta$ist der aufgespannte Winkel. Wir kennen die ungefähre Bogenlänge (Durchmesser der Sonne: doppelter Radius von$695\,700$km) und Entfernung ($1.2 \times 10^8$km) und wollen den Winkel aufspannen, also bekommen wir

$$2 \times 695\,700~\text{km} = \theta \times 1.2 \times 10^8~\text{km} \Rightarrow \theta = \frac{2 \times 695\,700}{1.2 \times 10^8} = 0.011595$$

Da$\theta$im Bogenmaß ausgegeben wird, multiplizieren wir mit 57,296° , um den Winkel in Grad zu erhalten, der sich als 39,86 Bogenminuten oder 0,664 Grad herausstellt. Eine schnelle Überprüfung mit Wikipedia ergibt den Winkel der Sonne gegenüber der Erde (bei einem Umlaufradius von$1.5 \times 10^8$km) als 31,6-32,7 Bogenminuten, also ist dies zwar möglicherweise nicht perfekt, liegt aber durchaus im Stadionbereich. Die gleiche Berechnung für einen Umlaufradius von$1.5 \times 10^8$km ergibt 31,9 Bogenminuten, genau im angegebenen Bereich.

Sie haben die Umlaufzeit des Mondes um den Gasriesen mit 192 Stunden angegeben, bzw$192 \times 3\,600 = 691\,200$Sekunden. Wir können die vis-viva-Gleichung verwenden , um den entsprechenden Orbitalradius zu berechnen. Wir haben

$$v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)$$

Für eine kreisförmige Umlaufbahn gilt$r = a$(Orbitalradius ist gleich der großen Halbachse der Umlaufbahn) und somit

$$\left( \frac{2 \pi r}{T} \right)^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{r} \right)$$

Wir haben$\mu_\text{Jupiter} \approx 1.267 \times 10^{17} ~\text{m}^3 ~\text{s}^{-2}$und$T = 691\,200 ~\text{s}$. Durch Umstellen erhalten wir

$$r = \sqrt[3]{\mu \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2} \approx 1\,153\,080 ~\text{km}$$

Der erdähnliche Mond umkreist den Gasriesen also mit einem Umlaufradius von etwa 1,15 Millionen km, denn das ist der Umlaufradius (für eine perfekt kreisförmige Umlaufbahn einer mit Exzentrizität $e = 0$oder große Halbachse gleich kleiner Halbachse), die der gewünschten Umlaufzeit entspricht. Dies ist zufällig dem Radius der Umlaufbahn von Ganymed (der 1,07 Mio. km beträgt und eine Exzentrizität von etwa 0,0013 hat, falls Sie sich fragen, sehr ähnlich), was eine gute Plausibilitätsprüfung für das Ergebnis darstellt. Ganymed umkreist Jupiter in 171 Stunden, nur etwas weniger als Ihre gewünschten 192 Stunden, also zumindest in erster Näherung.

Die Formel zur Berechnung der Länge des Kernschattens (zentraler Schatten) einer Sonnenfinsternis lautet

$$L = \frac{r \times R_o}{R_s - R_o}$$ wo $r$ist die Entfernung vom Stern zum verdeckenden Objekt (in unserem Fall der Gasriese), $R_o$ist der Radius des okkulten Objekts, und $R_s$ist der Radius des Sterns. Wir haben also einen Schattenkegel der Länge (wobei alle Entfernungs- und Größenwerte in Kilometern angegeben sind) $$L = \frac{1.2 \times 10^8 \times 71\,492}{695\,700 - 71\,492} \approx \frac{8.58 \times 10^{12}}{624\,208} \approx 13.74 \times 10^6$$

Da$1.15 \times 10^6 \lt 13.74 \times 10^6$, geht der Mond durch den vom Planeten geworfenen Schattenkegel, also haben wir eine vollständige Sonnenfinsternis (der Mond geht durch den vom Planeten geworfenen Kernschatten). Nun, wie lange dauert die Sonnenfinsternis?

Indem wir den Schattenkegel als Dreieck mit der Basislänge des Durchmessers des Planeten und der oben berechneten Höhe betrachten, können wir den Satz des Pythagoras verwenden, um die Länge der resultierenden Hypotenuse zu berechnen. (Dies stellt sich als fast identisch mit der Höhe heraus, ungefähr$1.37400 \times 10^7$gegen die Höhe ungefähr$1.37439 \times 10^7$km.) Wir können dann den Schnittsatz anwenden, der besagt, dass beim Teilen eines Dreiecks durch eine Linie parallel zur Basis des Dreiecks die Länge der neuen Basislinie zur ursprünglichen Basislinie als Hypotenuse des Teils des Dreiecks ist ist die gesamte Hypotenusenlänge. Indem wir die erforderliche innere Höhe als Umlaufradius des Mondes um den Gasriesen annähern, erhalten wir am Ende

$$\frac{DE}{2 \times 71\,492} = \frac{1\,150\,000}{13\,740\,000} \approx \frac{0.083697}{1}$$ wo $DE$ist die Länge der Linie, die die Kanten des Dreiecks am Umlaufradius des Mondes verbindet. Daher ist die verdeckte Bahn für den Mond ungefähr $\frac{2 \times 71\,492}{0.083697} \approx 1.708 \times 10^6$km. (Dies ist wirklich die Basis eines Kreissegments, wo der Mond das Kreissegment nachzeichnet, aber der Unterschied ist klein genug, um bei dieser Genauigkeit vernachlässigbar zu sein.)

Der Umfang eines Kreises mit Radius$1.15 \times 10^6$km ist

$$2 \pi r = 2 \pi \times 1.15 \times 10^6 \approx 7.226 \times 10^6 ~\text{km}$$

Das Durchqueren des vom Planeten geworfenen Kernschattens dauert also$\frac{1.708 \times 10^6}{7.226 \times 10^6} \approx 0.2364$der Umlaufzeit des Mondes. Multipliziert mit der Umlaufzeit von 192 Stunden ergibt sich eine Dauer von 45,4 Stunden innerhalb der totalen Finsterniszone (dem Kernschatten).

Beachten Sie, dass es drei Dinge gibt, die ich in den obigen Berechnungen tatsächlich ignoriere. Erstens behaupte ich, dass alle Körper innerhalb der Ekliptik Ihres Sonnensystems kreisen ; Wenn ihre Umlaufbahnen relativ zueinander geneigt sind , müssen Sie den Winkel berücksichtigen, in dem sie umlaufen (die Neigung). Dies verkompliziert die Mathematik ein wenig ohne nennenswerten Gewinn, da Körper, die sich auf natürliche Weise in einem Sonnensystem bilden, wahrscheinlich nahe an der Ekliptik kreisen. Ich überlasse das ganz als Übung für den Leser.

Zweitens ignoriere ich die Orbitalbewegung des Planeten um den Stern. Wenn der (erdähnliche) Mond den (Gasriesen-)Planeten umkreist und der (Gasriesen-)Planet den Stern umkreist, wird dies dazu führen, dass die scheinbare Sonnenfinsternis entweder etwas kürzer oder etwas länger wird. (Was es zufällig wird, hängt von der relativen Richtung der Orbitalbewegung ab.) Ich bin zu faul, um dies zu berücksichtigen, also tue ich es einfach nicht, aber es sollte nicht mehr als eine Trigonometrie sein, wenn Sie es wirklich wollen dieser Teil der Mathematik selbst.

Drittens ignoriere ich die Tatsache, dass der erdgroße Mond ein wenig am Planeten zerren wird. Das Baryzentrum des Systems befindet sich nicht wirklich im Zentrum des Planeten, sondern etwas außerhalb des Zentrums des Planeten, was dazu führen wird, dass die beiden in einer Art Orbitaltanz miteinander verbunden werden. Dies ist sehr ähnlich, wie Jupiter in unserem Sonnensystem die Sonne stört , obwohl er nur da ist$\frac{1}{1\,047}$die Masse, oder wie der Erdmond die Erde stört .

TL;DR:

Eine Reihe von Werten, die Ihren Kriterien entsprechen, sind:

• Sternmasse$1.99 \times 10^{30}$kg (1 Sonnenmasse) (nach Wahl)
• Sterndurchmesser$1\,391\,400$km (1 Sonnendurchmesser) (nach Wahl)
• Planetenmasse$1.8986 \times 10^{27}$kg (1 Jupitermasse) (nach Wahl)
• Planetendurchmesser$142\,984$km (1 Jupiterdurchmesser) (nach Wahl)
• Umlaufzeit des Planeten um den Stern$256 \times 86\,400$Sekunden (per Dekret)
• Umlaufbahnradius des Planeten um den Stern$1.2 \times 10^8$km
• Umlaufzeit des Mondes um den Planeten$192 \times 3\,600$Sekunden (per Dekret)
• Umlaufbahnradius des Mondes um den Planeten$1.15 \times 10^6$km
• Eclipse-Länge$45.4 \times 3\,600$Sekunden

Es gibt viele andere Wertesätze, die Ihren Kriterien entsprechen können. Wenn Sie mit dem Obigen nicht zufrieden sind, wählen Sie einfach andere Werte für die beteiligten Massen und Radien und berechnen Sie sie neu. An der Größe von Sonne oder Jupiter ist nichts Magisches. Vergessen Sie nur nicht, den Wert von zu ändern$\mu$entsprechend!

Ich kratze mich am Kopf, aber wenn ich das richtig lese, ist die Antwort auf Ihre Frage in der Frage. :)

Soweit ich das beurteilen kann, gibt es nur zwei mögliche Antworten.

Erstens würde die Sonnenfinsternis 24 Stunden dauern. Da Sie skizziert haben, dass die Welt einen 24-Stunden-Tag hat und der achte Tag von der Sonnenfinsternis bedeckt ist, muss die Sonnenfinsternis den ganzen Tag dauern.

Oder zweitens dauert es 12 Stunden. Da sich die Welt dreht und eine Seite des Planeten sowieso Nacht wäre, müsste die Sonnenfinsternis nur den Tageslichtteil des Tages andauern und diese Seite des Planeten wäre immer noch für die gesamten 24 Stunden im Dunkeln. Die Gegenseite hätte jedoch nicht einmal gewusst, dass es auf diese Weise eine Sonnenfinsternis gab.

Aber ehrlich gesagt, da Sie den Planeten so ziemlich überall in der Umlaufbahn des Gasriesen platzieren können und Sie bei der Größe des Gasriesen viel Spielraum haben, hindert nichts die Sonnenfinsternis daran, so ziemlich jede Zeit zu verbringen, die Sie sich wünschen sein. Wenn Sie möchten, dass die Sonnenfinsternis länger dauert, ist der Planet näher am Gasriesen. Wenn Sie möchten, dass die Sonnenfinsternis kürzer ist als der Planet, ist er weiter vom Gasriesen entfernt.

Obwohl es gut ist, daran zu denken, dass der Gasriese bei einer langen Sonnenfinsternis auch größer an Ihrem Himmel sein wird. Je kürzer die Sonnenfinsternis, desto kleiner ist der Gasriese an Ihrem Himmel.

Hoffe, ich habe geholfen!

Sie müssen zwei Effekte berücksichtigen, da Sie die Größe des Mondes festgelegt haben: die Umlaufgeschwindigkeit und die scheinbare Größe des Mondes.

Eine lang anhaltende Sonnenfinsternis wird durch einen langsam umlaufenden Mond gewährt, der dadurch erreicht wird, dass er weit vom Planeten entfernt ist. Aber wenn Sie es weit weg platzieren, wird es auch kleiner aussehen, so dass es weniger in der Lage ist, den Stern abzuschirmen.

Umgekehrt, wenn es näher am Planeten ist, erscheint es größer, bewegt sich aber auch schneller am Himmel, was die Dauer der Sonnenfinsternis verkürzt.

Da Sie nicht erwähnen, wie weit der Planet vom Stern entfernt ist und wie groß der Stern ist, können Sie auch mit diesen beiden zusätzlichen Parametern spielen.

Ein weiteres Problem: Die Finsterniszeit würde sich jeden Tag ändern. Der Schatten des Gasriesen wird sich in einer anderen Position befinden, wenn er sich um den Stern bewegt.

Sie würden also keinen "Finsternistag" in einem so regelmäßigen Zeitplan bekommen.

Die einzige Möglichkeit, wie ich sehe, dass es als festes "alle 8 Tage" funktioniert, wäre, wenn der Gasriese gezeitenabhängig mit dem Stern verbunden wäre (ist das überhaupt für einen Gasriesen möglich?) Und der Mond nahe genug am Gasriesen wäre zu sein von der Rotation des Gasriesen mitgezogen.

Ich denke, um diese beiden Bedingungen zu erfüllen, müsste der Gasriese so nah am Stern und der Mond so nah am Planeten sein, dass der Mond sehr heiß wäre.