Ermitteln der Winkelgeschwindigkeit und der regulären Geschwindigkeit beim Abprallen von einer Oberfläche mit Reibung

Wählen Sie zunächst den Referenzrahmen, der sich mit dem Paddel mitbewegt, und nehmen Sie an, dass dieser Referenzrahmen träge ist. Dies ist der Schlüssel zu allen Ball-and-Wall-Problemen. Ignorieren Sie natürlich die Schwerkraft und den Luftwiderstand. Jetzt haben wir einen rotierenden Ball, der mit Reibung auf eine stationäre Oberfläche trifft. Lassen$\mathbf{V}$sei der Vektor der Geschwindigkeit des Balls in Bezug auf das Paddel, und$\mathbf{V}_n$Und$\mathbf{V}_t$seien die normale und die tangentiale Komponente der Geschwindigkeit des Balls vor dem Aufprall. Lassen$\boldsymbol{\omega}$sei die Winkelgeschwindigkeit des Balls vor dem Aufprall. Alle fett gedruckten Größen sind Vektoren.

Dann wird es so kompliziert, wie Sie es wünschen. Um es so einfach wie möglich zu machen, nehmen wir an, dass der Ball Zeit verbringt$\tau$Kontakt mit der Oberfläche hat und dass alle während des Kontakts auf ihn einwirkenden Kräfte zeitlich konstant sind. Nehmen Sie weiterhin an, dass der Reibungskoeffizient$\mu$, hängt nicht von der relativen Geschwindigkeit des Balls und des Schlägers ab. Wichtig: Diese Annahme bricht zusammen, wenn die Drehung des Balls jemals eine solche Geschwindigkeit erreicht, dass der Ball zu rollen beginnt, anstatt zu rutschen; In diesem Moment verschwindet die Tangentialkraft, und eine solche Situation muss unabhängig behandelt werden. VIELE Annahmen, um das Problem analytisch angehen zu können, oder? Aber die gute Nachricht ist, dass ab jetzt alles Mechanik 101 ist.

Wenn die Kugel vollkommen elastisch ist, wirken keine dissipativen Kräfte in Richtung senkrecht zur Oberfläche. Das heißt, wenn der Ball zurückprallt, wird seine normale Geschwindigkeitskomponente einfach umgekehrt:

$$\mathbf{V}_n'=-\mathbf{V}_n\tag{1}$$

Damit können wir die durchschnittliche Normalkraft berechnen, die während des Kontakts auf den Ball wirkt (nur Newtons 2. Gesetz):

$$\left|F_n\right|=2m\frac{\left|V_n\right|}{\tau}$$

Tangentialkraft, die aufgrund von Reibung während des Kontakts auf die Kugel wirkt

$$\mathbf{F}_t=\mu\left|F_n\right|\hat{\mathbf{e}}=2m\mu\frac{\left|V_n\right|}{\tau},$$

Wo$\hat{\mathbf{e}}$ein Einheitsvektor in Richtung der Reibungskraft. Es ist zu finden als

$$\hat{\mathbf{e}}=\frac{\left(\mathbf{R}\times\boldsymbol{\omega}\right)-\mathbf{V}_t}{\left|\left(\mathbf{R}\times\boldsymbol{\omega}\right)-\mathbf{V}_t\right|},$$

Wo$\mathbf{R}$ist der Vektor vom Mittelpunkt des Balls zum Kontaktpunkt,$\boldsymbol{\omega}$ist die Winkelgeschwindigkeit des Balls, und$\mathbf{V}_t$ist die Tangentialgeschwindigkeit der Kugel. Hier | | bezeichnen das Nehmen des Modulus (Länge) eines Vektors.

Diese Kraft wirkt$\tau$Sekunden, ändert sich der Tangentialimpuls des Balls um

$$\Delta \mathbf{p}_t=\tau\mathbf{F}_t=2m\mu\left|V_n\right|\hat{\mathbf{e}},$$

(beachten Sie, dass$\tau$hebt sich auf!), so dass die Tangentialgeschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall gleich sein wird

$$\mathbf{V}_t'=\mathbf{V}_t+\hat{\mathbf{e}}\frac{\left|\Delta\mathbf{p}_t\right|}{m} = \mathbf{V}_t + 2\mu\left|V_n\right|\hat{\mathbf{e}}\tag{2}$$

Schließlich ist der von der Kugel aufgenommene Drehimpuls gleich

$$\Delta\mathbf{L}=R\tau|F_t|\hat{\mathbf{f}}=2Rm\mu\left|V_n\right|\hat{\mathbf{f}}$$

Wo$R$ist der Radius des Balls (auch$R=\left|\mathbf{R}\right|$), Und$\hat{\mathbf{f}}$ist ein Einheitsvektor in der Richtung, in der der Drehimpuls aufgenommen wurde. Finden$\hat{\mathbf{f}}$, verwenden

$$\hat{\mathbf{f}}=\frac{\mathbf{R}\times\hat{\mathbf{e}}}{R}.$$

Diese Änderung in$\mathbf{L}$macht die Winkelgeschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall

$$\boldsymbol{\omega}'=\boldsymbol{\omega}+\hat{\mathbf{f}}\frac{|\Delta L|}{I}=\boldsymbol{\omega} + \frac{|2Rm\mu V_n|}{I}\hat{\mathbf{f}}\tag{3}$$

Hier$I=(2/5)mR^2$ist das Trägheitsmoment der Kugel (unter der Annahme, dass es sich um eine hohle gleichförmige Kugel handelt). Beachten Sie, dass die Masse$m$hebt auf.

Die Gleichungen (1), (2) und (3) geben Ihnen die Beziehung zwischen der linearen Geschwindigkeit vor und nach dem Aufprall wieder$\mathbf{V}$und Winkelgeschwindigkeit$\boldsymbol{\omega}$. Sie werden im Referenzrahmen des Paddels bestimmt. Um also Labor- (Raum-) Rahmenmengen zu erhalten, müssen Sie zu diesem Rahmen zurückkehren. Es ist mühsam, es von Hand zu tun, aber wenn Sie einen Ping-Pong-Emulator entwickeln, in dem Sie den Beschleunigungsmesser einer Spielkonsole verwenden, um ein Paddel zu emulieren, wird der Computer dies gerne für Sie tun.

Lassen Sie mich an dieser Stelle wiederholen, dass diese Berechnung nicht für Fälle gilt, in denen der Ball rollt (oder fast rollt), im Gegensatz zum Gleiten. Diese Situation tritt ein, wenn$[\mathbf{R} \times \boldsymbol{\omega} ] = \mathbf{V}_t$, oder gleichwertig,$\hat{\mathbf{e}}=0$. Wenn diese Situation eintritt (was der Fall ist, wenn die Anfangsbedingungen nahe beieinander liegen), beginnt der Ball zu rollen, sein tangentialer Impuls und seine Winkelgeschwindigkeit frieren ein und er prallt einfach zurück. Um diese Situation richtig zu behandeln, möchten Sie vielleicht eine Endlichkeit wählen$\tau$, eine große ganze Zahl$N$, und brechen$\tau$in kleinere Zeitschritte$\Delta\tau=\tau/N$. Berechnen Sie dann alle Mengen während des Aufpralls in$\Delta\tau$Schritte. Sobald Sie den Rollzustand erkennen$\hat{\mathbf{e}}=0$, lässt du den Ball mit der Strömung zurückprallen$\mathbf{V}_t'$Und$\boldsymbol{\omega}'$.

Ich habe vielleicht hier und da die Schilder durcheinander gebracht, aber im Grunde ist alles ganz einfach. Um das Ganze abzurunden, hier ist ein Diagramm (Sie haben Recht, ich bin kein Künstler!) In meinem Beispiel$\boldsymbol{\omega}$auf uns zeigt, aber in der Lösung kann seine Richtung willkürlich sein.

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BEARBEITEN : Ich habe gerade festgestellt, dass die Gleichungen (2) und (3) nur korrekt sind, wenn sich der Ball in die Richtung dreht, in die er fliegt (dh wenn Vektor$\hat{\mathbf{e}}$parallel oder antiparallel zum Vektor ist$\mathbf{V}_t$). Also ist 2D Pong mit den Gleichungen (2) und (3) OK. Wenn sich der Ball bei einem 3D-Problem jedoch seitwärts dreht, dann während des Kontakts,$\boldsymbol{\omega}$Und$\mathbf{V}_t$ändern sich in der Länge und damit Einheitsvektoren$\hat{\mathbf{e}}$Und$\hat{\mathbf{f}}$wird die Richtung ändern. Das bedeutet, dass wir rechtzeitig integrieren müssen, um die Geschwindigkeit und den Spin des Balls zu erreichen. Es kann analytisch durchgeführt werden (ein nettes Problem, um Doktoranden zu quälen), und es ist nicht schwierig, es numerisch zu tun. Man sollte eine Zeit der Kontaktdauer wählen$\tau$eine große ganze Zahl$N$, und kleiner Zeitschritt$\Delta t=\tau/N$. Und dann rechnen

$$\mathbf{V}_t\left(t+\Delta t\right)=\mathbf{V}_t(t)+\hat{\mathbf{e}}\frac{\left|\mathbf{F}_t\right|}{m}\Delta t$$ $$\boldsymbol{\omega}\left(t+\Delta t\right)=\boldsymbol{\omega}+\hat{\mathbf{f}}\frac{\left|\mathbf{F}_t\right|R}{I}\Delta t$$

und TU es$N$Zeiten, Neuberechnung der Werte von$\hat{\mathbf{e}}$Und$\hat{\mathbf{f}}$jedes mal schritt. Als Nebenvorteil dieses Ansatzes ist es einfach, den Beginn des Rollens zu steuern. Wenn eine Komponente des Vektors$\hat{\mathbf{e}}$ändert das Vorzeichen (dh geht durch 0) bei jedem Zeitschritt, das Gleiten stoppt und das Rollen beginnt. Die Antwort sollte nicht davon abhängen oder$\tau$oder$N$. BEARBEITEN ENDE

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