Was genau ist das Mikrogravitationsfeld im Orbit?

Für kleine Geschwindigkeiten und Verschiebungen um eine kreisförmige Keplerbahn sind die Bewegungsgleichungen die Hill-Clohessy-Wiltshire-Gleichungen. Sie können genau gelöst werden, um zu geben

(Das Obige ändert Ihre Konvention für y und z.)

Ihr Ansatz, die Kräfte in einem rotierenden Rahmen zu finden, funktioniert; Hier gibt es eine Ableitung .

Die Bewegung ist im Allgemeinen eine Art Schleife, die instabil ist. Eine reine z-Anfangsgeschwindigkeit oder eine reine y-Anfangsgeschwindigkeit oder -verschiebung führt zu periodischen Lösungen (unter Verwendung Ihrer Notation), aber jede andere anfängliche Verschiebung oder Geschwindigkeit führt zum Weglaufen. (Allerdings ist das Weglaufen zeitlich linear, nicht exponentiell.)

Ich habe hier einige Diagramme der Trajektorien erstellt .

Ich kann die Frage nicht vollständig beantworten, aber ich habe ein Ergebnis erhalten, das irgendwie hilft. Beginnen Sie mit dem Wikipedia-Artikel dazu. Wir können die für einen umlaufenden Referenzrahmen spezifische Gleichung verwenden.

$$\frac {d^2 \mathbf{x}_{A}}{dt^2} =\mathbf{ \Omega \ \times } \left( \mathbf{ \Omega \times} (\mathbf{ X}_{AB}+\mathbf{x}_B) \right) + \mathbf{a}_B + 2\ \boldsymbol{\Omega} \times\mathbf{v}_B\ \ $$

Dies sollte die richtige Antwort geben, wenn es richtig angewendet wird. Mein Verständnis ist, dass die Beschleunigung im A-Referenzrahmen die Schwerkraft ist. Dann neu anordnen, um einen Ausdruck für zu haben$\mathbf{a}_B$, und das ist die allgemeine Natur dessen, was hier gesucht wird. Hier noch ein paar Anmerkungen zur Notation.

• x - Achse entlang der Bewegungsrichtung
• y - Achse senkrecht zur Erdoberfläche und der Bewegungsrichtung
• Der positive Teil der z-Achse zeigt direkt vom Erdmittelpunkt weg
• B ist das rotierende und umlaufende Bezugssystem
• A ist das stationäre Bezugssystem, das um den Erdmittelpunkt zentriert ist
• $\mathbf{X}_{AB} = R < \cos{\omega t}, 0, \sin{\omega t}>$ist der (dynamische) Vektor zwischen dem Erdmittelpunkt und dem Ursprung des B-Bezugssystems
• $\mathbf{x}_{B}$ist der Vektor zwischen dem B-Ursprung und dem Objekt. Dies verwendet die Achsen des A-Referenzrahmens, was ich verwirrend fand, aber implementieren konnte.
• $\mathbf{\Omega} = <0,\omega,0>$ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor für die Referenzbahn
• $\omega^2 = G M / R^3$ist die skalare Winkelgeschwindigkeit der Umlaufbahn
• $M$Masse der Erde
• $R$Skalarer Radius der Umlaufbahn

Unter Verwendung dieser Mathematik konnte ich eine Teilantwort erhalten. Dies ist eine teilweise vereinfachte Version der Beschleunigung eines Objekts, die im B-Referenzrahmen angegeben ist.

$$a \approx <\frac{d^2 x }{dt^2} , \frac{d^2 y}{dt^2}, \frac{d^2 z}{dt^2}> \approx < -2 \omega v_z, - \omega^2 y, 2 \omega v_x >$$

Ich bin mir fast sicher, dass diese Begriffe zumindest ein Teil der Antwort sind. Bedenken Sie, wenn Sie im Orbit reisen und ein Objekt zu Ihrer Rechten halten, wird es gemäß dem Begriff im obigen Ausdruck zu Ihnen "beschleunigen".

Die obige Antwort ist unvollständig, weil ich angenommen habe, dass der Radius des Objekts vom Erdmittelpunkt (bezeichnen Sie$R'$) entsprach etwa dem Radius des Bezugsrahmens B vom Erdmittelpunkt ($R$). Eine bessere Annäherung fand ich:

$$R' \approx \sqrt{ R^2 + (x^2+y^2) + 2 R z } \approx R + \frac{(x^2+y^2) + 2 R z}{2R}$$

Man könnte auch den Beitrag von der vernachlässigen$x$Und$y$Verschiebung in vielen Fällen, da es offensichtlich ist, dass die vertikale Verschiebung viel größer ist. Einmal richtig abgerechnet, bricht die$R'=R$Annahme, die ich verwendet habe, sollte meiner Meinung nach eine Überarbeitung erhalten, die ungefähr so ​​​​aussieht:

$$a_x = -\omega^2 \frac{3 z }{ R } -2 \omega v_z$$

$$a_z = \omega^2 \frac{3 z}{R} + 2 \omega v_x$$

Innerhalb der xz-Ebene würde dies einem Objekt ermöglichen, die ISS oder so etwas zu "umkreisen". Stellen Sie sich vor, es ist höher als die ISS mit Nullgeschwindigkeit. In größerer Höhe reicht seine Geschwindigkeit nicht mehr für die Höhe der Umlaufbahn aus, sodass er beginnt, der ISS sowohl linear in Bewegungsrichtung hinterherzulaufen als auch zu fallen. Wenn es beginnt, sich in die Rückwärtsrichtung zu bewegen, die$\omega v$Terme treten ein und beschleunigen es nach vorne und unten, wodurch es in Richtung ISS beschleunigt wird. Ein ähnliches Argument könnte für alle Punkte im Kreis gemacht werden, was zeigt, dass er umkreist.

MTW (Gl. 32.24b) legt die Gezeitenbeschleunigungen (denn das sind sie) für die Trennungen fest$\boldsymbol{\xi}$von zwei Testmassen in einer Schwarzschild-Geometrie:

$$\begin{align*} \boldsymbol{\xi} & = \xi^{\hat{j}} \boldsymbol{e_{\hat{j}}}\\ \frac{D^2 \xi^{\hat{\rho}}}{d \tau^2} & = + \left(2M/r^3 \right) \xi^{\hat{\rho}} \\ \frac{D^2 \xi^{\hat{\theta}}}{d \tau^2} & = - \left(M/r^3 \right) \xi^{\hat{\theta}} \\ \frac{D^2 \xi^{\hat{\phi}}}{d \tau^2} & = - \left(M/r^3 \right) \xi^{\hat{\phi}} \end{align*}$$

Ersetzen$M$von$GM$zu „vereinen“.