Wie finde ich die Übertragungsfunktion zweiter Ordnung aus diesem Sprungantwortdiagramm?

Aus dem Sprungantwortdiagramm wird das Spitzenüberschwingen definiert als

$$M_p = \frac{y_{\text{peak}}-y_{\text{steady-state}}}{y_{\text{steady-state}}}\approx\frac{1.25-0.92}{0.92}=0.3587$$ Auch das Verhältnis zwischen$M_p$und Dämpfungsverhältnis$\zeta$($0\leq\zeta<1$) wird gegeben durch:

$$M_p=e^\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}$$

Oder in Bezug auf$\zeta$:

$$\zeta=\sqrt{\frac{\ln^2M_p}{\ln^2M_p+\pi^2}}$$ Ersetzen Sie also diese Schätzung$M_p$: $$\zeta\approx0.31$$ Auch aus dem Diagramm der Sprungantwort ist die gedämpfte Eigenfrequenz ungefähr. 0,5Hz bzw$\pi$rad/s. Der Zusammenhang mit der ungedämpften Eigenfrequenz ist: $$\omega_n=\frac{\omega_d}{\sqrt{1-\zeta^2}}\approx3.3\text{ rad/s}$$ Endlich der Gewinn$G_{DC}=y_{\text{steady-state}}\approx0.92$

Eine Standardübertragungsfunktion zweiter Ordnung hat die Form:

$$H(s)=G_{DC}\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$$ Setzen der erhaltenen Werte: $$H(s)\approx\frac{10}{s^2+2s+11}$$ Vergleichen Sie die folgende Sprungantwort mit der von Ihnen gelieferten:

Die Berechnung der Eigenfrequenz und des Dämpfungsgrades ist eigentlich recht einfach.

Wenn Sie sich dieses Diagramm ansehen, sehen Sie, dass der Ausgang um einen konstanten Wert oszilliert, der sich schließlich darauf niederlässt: Die Frequenz dieser Oszillationen ist die gedämpfte Frequenz . Um es aus dem Diagramm zu messen, sollten Sie den Abstand zwischen den Punkten messen, an denen der Ausgang den Einschwingwert kreuzt, das ist die Hälfte der Periode, die der Kehrwert der gedämpften Frequenz ist. Wenn ich mir Ihr Diagramm ansehe, würde ich sagen, dass dieser Abstand ungefähr eine Sekunde beträgt, also sollte die gedämpfte Frequenz ungefähr 0,5 Hz betragen, dh$f_\mathrm{d}=0.5$Hertz. Behalten wir das jetzt einfach im Hinterkopf.

Nun zum Dämpfungsverhältnis. Das ist etwas kniffliger, das Dämpfungsverhältnis misst, wie schnell die Schwingungen abklingen, dh wie schnell sich der Ausgang einpendelt. Wenn das Dämpfungsverhältnis 0 ist, setzen sie sich nicht, wenn es über Eins liegt, haben Sie keine Schwingungen, sondern nur eine schöne Exponentialfunktion. Was Sie tun müssen, ist, eine Kurve an die Ausgangsmaxima anzupassen, wobei die Kurve zur Familie gehört$Ae^{-\frac{t}{\tau}}+C$. Sie brauchen drei Punkte, Sie haben drei Punkte, was Sie brauchen, ist so winzig$\tau$. Ich möchte die Kurve nicht wirklich anpassen, also mache ich eine wilde Vermutung und sage das$\tau=3s$. Fassen wir jetzt zusammen:

$$f_\mathrm{d}=0.5\text{ Hz}\\ \tau=3\text{ s}$$ Da dies ein unterdämpftes System ist, gilt Folgendes: $$\omega_\mathrm{d} = \omega_0 \sqrt{1 - \zeta^2 }\\ \tau = \frac{1}{\omega_0\zeta}$$ Und Sie haben es erraten:

• $\omega_\mathrm{d}=2\pi f_\mathrm{d}$
• $\omega_0$ist die Eigenpulsation, also die Eigenfrequenz$f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}$
• $\zeta$ist der Dämpfungsfaktor

Jetzt einfach rechnen und profitieren.

beachte die$\tau=3$s Vermutung könnte richtiger sein, als Sie denken.