Spannung von in Sperrrichtung vorgespannten Reihendioden?

Eine übliche Näherung für den Strom durch eine Diode ist also (die Shockley-Diodengleichung) bei Spannung$V$Ist:

$$I = \left(e^{\frac{V}{nV_T}}-1\right) I_S$$

mit$V_T$die Thermospannung (temperaturabhängig),$n$ein Qualitätsfaktor (geräteabhängig) und$I_S$die Sättigungsspannung ist.

So; da wir das wissen

$$I_{D1}=I_{D2}$$ darauf können wir schließen

$$\left(e^{\frac{V_1}{n_1V_{T1}}}-1\right) I_{S1}=\left(e^{\frac{V_2}{n_2V_{T2}}}-1\right) I_{S2}$$

Normalerweise haben diese Dioden nicht die gleiche Temperatur, sie hätten nicht den gleichen Qualitätsfaktor, und daher wäre diese Gleichung unterdefiniert, aber mit$V_{T1}=V_T=V_{T2}$Und$n_1=n_2=n$, wie Sie in Ihrem Kommentar andeuten mit:

Ich denke, wir können davon ausgehen, dass der einzige Unterschied zwischen den Dioden das Is ist und alles andere identisch ist!

wir bekommen, auch das bemerkend$V_2 = V_0 -V_1$:

$$\begin{align} \left(e^{\frac{V_1}{nV_{T}}}-1\right) I_{S1}&=\left(e^{\frac{V_0-V_1}{nV_{T}}}-1\right) I_{S2}\\ %\implies\\ %\frac{e^{\frac{V_1}{nV_{T}}}-1}{e^{\frac{V_0-V_1}{nV_{T}}}-1} &= \frac{I_{S2}}{I_{S1}} \end{align}$$

Nun, diese Gleichung ist analytisch schwer zu lösen, aber beide Seiten sind wirklich einfach zu zeichnen (verwenden Sie etwa 30 mV für$nV_T$). Finden Sie einfach den Schnittpunkt dieser beiden Kurven!

Analytisch können wir fortfahren mit:

$$\begin{align} \left(e^{\frac{V_1}{nV_{T}}}-1\right) I_{S1}&=\left(e^{\frac{V_0-V_1}{nV_{T}}}-1\right) I_{S2}\\ &=\left(e^{\frac{V_0-V_1}{nV_{T}}}-1\right) 50I_{S1}\\ \implies\\ e^{\frac{V_1}{nV_{T}}}-1&=50e^{\frac{V_0-V_1}{nV_{T}}}-50\\ \implies\\ \ln \left(e^{\frac{V_1}{nV_{T}}}-1\right)&=\ln\left(e^{\frac{V_0-V_1}{nV_{T}}}-1\right)+\ln 50\\ \end{align}$$

Du musst zwei Gleichungen gleichzeitig lösen:

$$\begin{align*} I_{sat_1}\left(e^{\frac{V_{D_1}}{n V_T}}-1\right) &= I_{sat_2}\left(e^{\frac{V_{D_2}}{n V_T}}-1\right)\\\\ V_0&=V_{D_1} +V_{D_2}= -3\:\textrm{V} \end{align*}$$

Dies folgt daraus, dass die Ströme in beiden Dioden gleich sein müssen und dass die Summe ihrer Spannungen mit der Versorgungsspannung übereinstimmen muss. Ziemlich offensichtlich, wirklich.

Diese gleichzeitig zu lösen ist etwas knifflig. Sie könnten es iterativ versuchen. Oder Sie könnten es mit der Funktion Lambert-W (alias ProductLog) versuchen. (Machbar für eine geschlossene Lösung, aber immer noch etwas Arbeit.)

Aber wir können ein Symmetrie-Argument verwenden, um zu behaupten, dass der Term -1 ignoriert werden kann. Dies ermöglicht eine sehr einfache Lösung:

$$\begin{align*} V_{D_1} &\approx -\frac{1}{2} \left[V_T\: \operatorname{ln}\left(\frac{I_{sat_2}}{I_{sat_1}}\right) + V_0\right]\\\\ V_{D_2} &= V_0 - V_{D_1} \end{align*}$$

Verwenden$V_T=26\:\textrm{mV}$Und$I_{sat_1}=0.1\:\textrm{pA}$Und$I_{sat_2}=5\:\textrm{pA}$, dies gibt an einigen Stellen sofort die richtige Antwort:$V_{D_1}\approx -1.5508563\:\textrm{V}$. Dies sollte in Ordnung sein.

Sie können die obige Lösungsgleichung "lesen", um zu sagen:

Beginnen Sie mit der Annahme, dass die Spannung halbiert wird. Wenden Sie dann eine Korrektur an, die die Hälfte von beträgt$V_T$mal dem Logarithmus des Verhältnisses. (Das Vorzeichen der Korrektur hängt natürlich davon ab, welche Sättigungsströme im Zähler und Nenner verwendet werden.)

Ich vermute, dass dies der Ansatz ist, den Sie wählen sollten, weil er sich auf das Wesentliche konzentriert (die Sättigungsstromverhältnisse) und es vermeidet, sich an numerischen Lösungen oder übermäßig mathematischen Diskussionen aufzuhalten, die vom Thema ablenken, anstatt es zu beleuchten.

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Eine Anmerkung zu einer großen Annahme bei all dem betrifft die Nenntemperatur. Es reicht aus, einfach "Raumtemperatur" zu sagen und einen Wert für zu verwenden$V_T$das wird häufig verwendet (irgendwo zwischen ca$25\:\textrm{mV}$zu vielleicht$26\:\textrm{mV}$wird oft ausgewählt.) Stellen Sie sich jedoch vor, das für jede Temperatur neu zu berechnen, um das richtige Verhalten aus den obigen Gleichungen zu erhalten, indem Sie einfach den neuen Wert für einsetzen$V_T$ist falsch . Es stellt sich heraus, dass die Sättigungsströme eine Funktion von sind$T^3$Zu$T^4$und so variieren sie auch. Tatsächlich variieren sie so sehr, dass sie die Wirkung überwältigen$V_T$genug, um das Vorzeichen des Effekts umzukehren!

Es ist also wahrscheinlich in Ordnung, einfach anzunehmen, dass die angegebenen Sättigungsströme bei "Raumtemperatur" gemeint sind. Aber das ist alles. Soll das Modell über einen weiten Temperaturbereich gelten, muss auch die Variation der Sättigungsströme in das Modell einfließen. Und das ist ein ganz anderes Thema.